【學(xué)習(xí)目標(biāo)】


1、了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；


2、進(jìn)一步探索相似三角形的判定及其應(yīng)用，提高運(yùn)用“類比”思想的自覺性，提高推理能力.


【要點(diǎn)梳理】


要點(diǎn)一、相似三角形


在和中，如果我們就說與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.


要點(diǎn)詮釋：


(1)書寫兩個(gè)三角形相似時(shí)，要注意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置要一致，即∽，則說明點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C′；


(2)對(duì)于相似比，要注意順序和對(duì)應(yīng)的問題，如果兩個(gè)三角形相似，那么第一個(gè)三角形的一邊和第二個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做第一個(gè)三角形和第二個(gè)三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時(shí)，兩個(gè)三角形全等.


要點(diǎn)二、相似三角形的判定定理


1．判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似；


2．判定方法（二）：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；


3．判定方法（三）：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.


要點(diǎn)詮釋：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.


4．判定方法（四）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.


要點(diǎn)詮釋：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.


要點(diǎn)三、相似三角形的常見圖形及其變換：


【典型例題】


類型一、相似三角形


1. 判斷對(duì)錯(cuò)：


(1)兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？為什么？


(2)兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？為什么？


(3) 兩個(gè)等邊三角形一定相似嗎？為什么？


【思路點(diǎn)撥】注意相似三角形判定定理的靈活運(yùn)用.


【答案與解析】


(1).不一定相似，反例：


直角三角形只確定一個(gè)直角，其他的兩對(duì)角可能相等，也可能不相等.


所以直角三角形不一定相似.


(2)不一定相似，反例：


等腰三角形中只有兩邊相等，而底邊不固定.因此兩個(gè)等腰三角形中有兩邊


對(duì)應(yīng)成比例，兩底邊的比不一定等于對(duì)應(yīng)腰的比，所以等腰三角形不一定


相似.


(3) 一定相似.


因?yàn)榈冗吶切胃鬟叾枷嗟龋鹘嵌嫉扔?0度，所以兩個(gè)等邊三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，因此兩個(gè)等邊三角形一定相似.


【總結(jié)升華】要說明兩個(gè)三角形相似，要同時(shí)滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.要說明不相似，則只要否定其中的一個(gè)條件.


舉一反三：


【變式】下列說法錯(cuò)誤的是（ ）．


A．有一對(duì)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似 B．全等的兩個(gè)三角形一定相似


C．對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)多邊形相似 D．兩條鄰邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)矩形相似


【答案】C.類型二、相似三角形的判定


2. （2016?興化市校級(jí)二模）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，AE=ED，DF=DC，連接EF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．


（1）求證：△ABE∽△DEF；


（2）若正方形的邊長(zhǎng)為4，求BG的長(zhǎng)．





【思路點(diǎn)撥】（1）利用正方形的性質(zhì)，可得∠A=∠D，根據(jù)已知可得，根據(jù)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；


（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CG的長(zhǎng)，即可求得BG的長(zhǎng)．


【答案與解析】（1）證明：∵ABCD為正方形，


∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，


∵AE=ED，


∴，


∵DF=DC，


∴，


∴，


∴△ABE∽△DEF；





（2）解：∵ABCD為正方形，


∴ED∥BG，


∴，


又∵DF=DC，正方形的邊長(zhǎng)為4，


∴ED=2，CG=6，


∴BG=BC+CG=10．


【總結(jié)升華】此題考查了相似三角形的判定（有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似）、正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．


舉一反三：


【變式】（2015?大慶模擬）如圖，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D為AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D的直線與BC交于點(diǎn)E，若直線DE截△ABC所得的三角形與△ABC相似，則DE= ．





【答案】解：∵D為AB的中點(diǎn)，


∴BD=AB=，


∵∠DBE=∠ABC，


∴當(dāng)∠DBE=∠ACB時(shí)，△BDE∽△BAC時(shí)，如圖1，則=，即=，解得DE=2；





當(dāng)∠BDE=∠ACB時(shí)，如圖2，DE交AC于F，





∵∠DAF=∠CAB，


∴△ADF∽△ACB，


∴△BDE∽△BCA，


∴，即，解得DE=


綜上所述，若直線DE截△ABC所得的三角形與△ABC相似，則DE=2或


3.如圖，小正方形邊長(zhǎng)均為1，則圖中的三角形（陰影部分）與相似的是哪一個(gè)？








圖（1） 圖（2） 圖（3） 圖（4）


【答案與解析】圖中的三角形為格點(diǎn)三角形，可根據(jù)勾股定理求出各邊的長(zhǎng)，然后根據(jù)三 角形三邊的長(zhǎng)度的比是否相等來判斷哪兩個(gè)三角形相似．


由勾股定理知，，．


圖（1）中，三角形的三邊長(zhǎng)分別為1，，．


圖（2）中，三角形的三邊長(zhǎng)分別為1，，．


圖（3）中，三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，3．


圖（4）中，三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，，．


由于，故圖（2）中的三角形和相似．


【總結(jié)升華】判斷三邊是否成比例，應(yīng)先將三邊按大小順序排列，然后分別計(jì)算它們對(duì)應(yīng)邊的比，最后由比值是否相等來確定兩個(gè)三角形是否相似．


4. 已知：如圖，，，，當(dāng)BD與a、b之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，這兩個(gè)三角形相似？


























【答案與解析】由于兩個(gè)三角形是直角三角形，所以只要有夾直角兩邊的比相等，就有兩個(gè) 三角形相似．


，


∴（1）當(dāng)時(shí)，∽．


此時(shí)，，即，


．


即當(dāng)時(shí)，∽．


（2）當(dāng)時(shí)，∽．


此時(shí)，，即，．


即當(dāng)時(shí)，∽．


綜上所述，當(dāng)或時(shí)，這兩個(gè)三角形相似．


【總結(jié)升華】本題仍是考慮兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等時(shí)，夾這兩個(gè)角兩邊的比相等時(shí)有兩種情況．


舉一反三：


【變式】如圖，正方形ABCD和等腰Rt，其中，G是CD與EF的交點(diǎn)．


（1）求證：≌．


（2）若，，，求的值．





【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，


，．


是等腰直角三角形，，


，，≌．


（2）解：在中，，，，


．


≌，


∴DE=BF=4，∠DEC=∠BFC=90°.


∵∠EDC+∠DCE=90°，∠FCD+∠DCE=90°.


∴∠EDC=∠FCD.


∴ ∴∽,


．





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27.2.1 相似三角形的判定

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