銳角三角函數(shù)(第2課時)





學習目標


1.探究體驗,當直角三角形的銳角固定時,它是鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊都固定這一事實.


2.理解余弦、正切的概念,能根據(jù)余弦、正切的概念進行相關計算.





學習過程


一、自主復習


1.在直角三角形中,當銳角A的度數(shù)一定時,不管三角形的大小如何,∠A的對邊與斜邊的比都是 .





2.在Rt△ABC中,∠C=90°,我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的 ,記作 .


二、新知探究


1.問題如圖,在Rt△ABC和Rt△A'B'C',中,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'.


那么(1)有什么關系?(2)呢?





解析:(1)∵∠C=∠C'=90°, ,


∴△ABC∽△A'B'C',


∴ ,


即.


(3)∵△ABC∽△A'B'C',


∴ ,


即.


2.結(jié)論:


(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,叫做∠A的 ,記作 ,即cs A= .


(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,叫做∠A的 ,記作 ,即tan A= .


(3)銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的 .


三、例題探析





1.例題:(教材例2)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sin A、 cs A、tan A的值.


解:由勾股定理,得


AC= = = ,


故sin A== = ,


cs A== = ,


tan A== = .


2.拓展:在例題的條件下,求sin B,cs B,tan B的值.


解:








四、知識梳理


本節(jié)課你所學習的三個定義分別是什么?


答:





評價作業(yè)(滿分100分)


1.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c,則下列等式中不正確的是( )


A.a=c×sin A B.b=a×tan B


C.b=c×sin BD.c=


2.(8分)已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,則tan B的值是( )


A.B.


C.D.


3.(8分)已知Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=8,則AC等于( )


A.6B.


C.10D.12





4.(8分)如圖所示,若cs α=,則sin α的值為( )


A.


B.


C.


D.





5.(8分)如圖,在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC的三個頂點均在格點上,則cs∠ABC的值是 .


6.(8分)如圖所示,AB是☉O的直徑,AB=15,AC=9,連接BC,則tan∠ADC= .





7.(8分)如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是BC邊上的中線,sin∠CAM=,則tan B的值是 .


8.(10分)在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,AB=26.求cs B及AC的長.




















9.(10分)如圖所示,在△ABC中,AD是BC邊上的高,tan B=cs∠DAC.


(1)求證AC=BD;








(2)若sin C=,BC=12,求AD的長.














10.(12分)如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC邊上一點,AC=2,CD=1,設∠CAD=α.


(1)求sin α,cs α,tan α的值;











(2)若∠B=∠CAD,求BD的長.











11.(12分)在Rt△ABC中,∠C=90°,請利用銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理探索∠A的正弦、余弦之間的關系.














參考答案


學習過程


一、自主復習


1.固定的


2.正弦 sin A


二、新知探究


1.解析:(1)∠A=∠A'


(2)


2.結(jié)論:


(1)余弦 cs A


(2)正切 tan A


(3)銳角三角函數(shù)


三、例題探析


1.解: 8


2.解:sin B=,cs B=,tan B=.


四、知識梳理


答:略


評價作業(yè)


1.D 2.D 3.A 4.D 5. 6. 7.


8.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∴tan A=,∴設BC=2k,AC=3k,由勾股定理可得AB=k,∴k=26,∴k=2,∴BC=2k=4,AC=3k=6,∴cs B=.∴AC的長為6,cs B=.


9.(1)證明:∵AD是BC邊上的高,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∠ADC=90°.在Rt△ABD和Rt△ADC中,tan B=,cs∠DAC=,又∵tan B=cs∠DAC,∴,∴AC=BD.


(2)解:在Rt△ADC中,sin C=,故可設AD=12k,AC=13k,∴CD==5k,∵BC=BD+CD,又AC=BD,∴BC=13k+5k=18k,∵BC=12,∴18k=12,∴k=,∴AD=12k=12×=8.


10.解:在Rt△ACD中,∵AC=2,DC=1,∴AD=.(1)sin α=,cs α=,tan α=.


(2)在Rt△ABC中,tan B=,即tan α=,∴BC=4,∴BD=BC-CD=4-1=3.


11.解:∠A的正弦、余弦值的平方和等于1,理由如下:


∵sin A=,cs A=,a2+b2=c2,


∴sin2A+cs2A==1.





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28.1 銳角三角函數(shù)

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