概率與統(tǒng)計(jì)應(yīng)用性問(wèn)題是歷年高考命題的主要題型之一，解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵：一是能讀懂、理解陳述的材料，深刻理解題意，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言；二是能將轉(zhuǎn)化后的數(shù)學(xué)語(yǔ)言構(gòu)建為數(shù)學(xué)模型，化新情景問(wèn)題為已學(xué)知識(shí)，找到解題突破口；三是還需具備快速準(zhǔn)確的計(jì)算能力，具備足夠的心理定力.為突破“概率與統(tǒng)計(jì)”這一高考大題，本節(jié)將分設(shè)兩課時(shí)給予突破：第一課時(shí)——解題能力“過(guò)三關(guān)”(從必備技能上給予指導(dǎo))；第二課時(shí)——高考命題“三交匯”(從考查題型上給予點(diǎn)撥).
第一課時(shí)　解題能力“過(guò)三關(guān)”(審答怎么辦)

文字關(guān)——抓關(guān)鍵語(yǔ)句，破干擾信息

[例1]　調(diào)查表明，市民對(duì)城市的居住滿(mǎn)意度與該城市環(huán)境質(zhì)量、城市建設(shè)、物價(jià)與收入的滿(mǎn)意度有極強(qiáng)的相關(guān)性.現(xiàn)將這三項(xiàng)的滿(mǎn)意度指標(biāo)分別記為x，y，z，并對(duì)它們進(jìn)行量化：0表示不滿(mǎn)意，1表示基本滿(mǎn)意，2表示滿(mǎn)意.再用綜合指標(biāo)ω＝x＋y＋z的值評(píng)定居民對(duì)城市的居住滿(mǎn)意度等級(jí)：若ω≥4，則居住滿(mǎn)意度為一級(jí)；若2≤ω≤3，則居住滿(mǎn)意度為二級(jí)；若0≤ω≤1，則居住滿(mǎn)意度為三級(jí).為了解某城市居民對(duì)該城市的居住滿(mǎn)意度，研究人員從此城市居民中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行調(diào)查，得到如下結(jié)果：
人員編號(hào)
1
2
3
4
5
(x，y，z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(0,1,1)
(1,2,1)

人員編號(hào)
6
7
8
9
10
(x，y，z)
(1,2,2)
(1,1,1)
(1,2,2)
(1,0,0)
(1,1,1)
(1)在這10名被調(diào)查者中任取2人，求這2人的居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z相同的概率；
(2)從居住滿(mǎn)意度為一級(jí)的被調(diào)查者中任取一人，其綜合指標(biāo)為m，從居住滿(mǎn)意度不是一級(jí)的被調(diào)查者中任取一人，其綜合指標(biāo)為n，記隨機(jī)變量X＝m－n，求隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
[解]　(1)記事件A為“從10名被調(diào)查者中任取2人，這2人的居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z相同”，則居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z為0的只有編號(hào)為9的1名；居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z為1的編號(hào)有2,4,5,7,10共5名；居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z為2的編號(hào)有1,3,6,8共4名.
從10名被調(diào)查者中任取2人，所有可能的結(jié)果為C＝45(種)，這2人的居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z相同的結(jié)果為C＋C＝10＋6＝16(種)，所以在這10名被調(diào)查者中任取2人，這2人的居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z相同的概率為P(A)＝.
(2)計(jì)算10名被調(diào)查者的綜合指標(biāo)，可列下表：
人員編號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
綜合指標(biāo)
4
4
6
2
4
5
3
5
1
3
其中居住滿(mǎn)意度為一級(jí)的編號(hào)有1,2,3,5,6,8共6名，則m的值可能為4,5,6；居住滿(mǎn)意度不是一級(jí)的編號(hào)有4,7,9,10共4名，則n的值可能為1,2,3，所以隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,3,4,5.
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
所以隨機(jī)變量X的分布列為
X
1
2
3
4
5
P





E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.

本題文字?jǐn)⑹鲚^長(zhǎng)，解答此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)過(guò)文字關(guān)，其技巧是：
(1)快速了解“無(wú)關(guān)信息”(如本例第一句話(huà))；
(2)仔細(xì)閱讀題中重要信息，把握信息所給內(nèi)容(如本例字母x，y，z，ω所指什么)；
(3)明確題目所求內(nèi)容.　　　　

圖表關(guān)——會(huì)轉(zhuǎn)換信息，建解題模型

[例2]　(2019·石家莊質(zhì)檢)交強(qiáng)險(xiǎn)是車(chē)主必須為機(jī)動(dòng)車(chē)購(gòu)買(mǎi)的險(xiǎn)種.若普通6座以下私家車(chē)投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一年度車(chē)輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如下表：
交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表

浮動(dòng)因素
浮動(dòng)比率
A1
上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故
下浮10%
A2
上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故
下浮20%
A3
上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故
下浮30%
A4
上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故
0%
A5
上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故
上浮10%
A6
上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故
上浮30%

某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車(chē)的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車(chē)齡已滿(mǎn)三年的該品牌同型號(hào)私家車(chē)的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格：
類(lèi)型
A1
A2
A3
A4
A5
A6
數(shù)量
10
5
5
20
15
5

以這60輛該品牌車(chē)的投保類(lèi)型的頻率代替一輛車(chē)投保類(lèi)型的概率，完成下列問(wèn)題：
(1)按照我國(guó)《機(jī)動(dòng)車(chē)交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》汽車(chē)交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格的規(guī)定，a＝950.記X為某同學(xué)家的一輛該品牌車(chē)在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字)
(2)某二手車(chē)銷(xiāo)售商專(zhuān)門(mén)銷(xiāo)售這一品牌的二手車(chē)，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車(chē)輛記為事故車(chē).假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車(chē)虧損5 000元，一輛非事故車(chē)盈利10 000元：
①若該銷(xiāo)售商購(gòu)進(jìn)三輛(車(chē)齡已滿(mǎn)三年)該品牌二手車(chē)，求這三輛車(chē)中至多有一輛事故車(chē)的概率；
②若該銷(xiāo)售商一次購(gòu)進(jìn)100輛(車(chē)齡已滿(mǎn)三年)該品牌二手車(chē)，求他獲得利潤(rùn)的期望值.
[解]　(1)由題意可知，X的可能取值為0.9a,0.8a,0.7a，a,1.1a,1.3a.
由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知：
P(X＝0.9a)＝，P(X＝0.8a)＝，P(X＝0.7a)＝，
P(X＝a)＝，P(X＝1.1a)＝，P(X＝1.3a)＝.
所以X的分布列為
X
0.9a
0.8a
0.7a
a
1.1a
1.3a
P







所以E(X)＝0.9a×＋0.8a×＋0.7a×＋a×＋1.1a×＋1.3a×＝＝≈942.
(2)①由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車(chē)齡已滿(mǎn)三年的二手車(chē)為事故車(chē)的概率為，三輛車(chē)中至多有一輛事故車(chē)的概率為P＝3＋C××2＝.
②設(shè)Y為該銷(xiāo)售商購(gòu)進(jìn)并銷(xiāo)售一輛二手車(chē)的利潤(rùn)，Y的可能取值為－5 000,10 000.
所以Y的分布列為
Y
－5 000
10 000
P



所以E(Y)＝(－5 000)×＋10 000×＝5 000，所以該銷(xiāo)售商一次購(gòu)進(jìn)100輛(車(chē)齡已滿(mǎn)三年)該品牌的二手車(chē)獲得利潤(rùn)的期望值為100×E(Y)＝500 000元.

概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的考查離不開(kāi)圖表(頻率分布直方圖、莖葉圖、折線圖、頻數(shù)分布表等)，解決此類(lèi)問(wèn)題重在審圖表、明數(shù)據(jù)，能從所給圖表中正確提取解題所需要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，然后根據(jù)信息一步步實(shí)現(xiàn)圖表數(shù)據(jù)與數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題.　　　　

計(jì)算關(guān)——重計(jì)算能力，防不慎失分

[例3]　某學(xué)校為了解本校學(xué)生的身體素質(zhì)情況，決定在全校的1 000名男生和800名女生中按分層抽樣的方法抽取45名學(xué)生對(duì)他們課余參加體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，將學(xué)生課余參加體育鍛煉時(shí)間的情況分三類(lèi)：A類(lèi)(課余參加體育鍛煉且平均每周參加體育鍛煉的時(shí)間超過(guò)3小時(shí))，B類(lèi)(課余參加體育鍛煉但平均每周參加體育鍛煉的時(shí)間不超過(guò)3小時(shí))，C類(lèi)(課余不參加體育鍛煉)，調(diào)查結(jié)果如表：

A類(lèi)
B類(lèi)
C類(lèi)
男生
18
x
3
女生
8
10
y

(1)求出表中x，y的值；
(2)根據(jù)表格統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為課余參加體育鍛煉且平均每周參加體育鍛煉的時(shí)間超過(guò)3小時(shí)與性別有關(guān).

男生
女生
總計(jì)
A類(lèi)



B類(lèi)和C類(lèi)



總計(jì)




(3)在抽取的樣本中，從課余不參加體育鍛煉學(xué)生中隨機(jī)選取三人進(jìn)一步了解情況，求選取三人中男女都有且男生比女生多的概率.
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635

[解]　(1)由題意，＝，21＋x＋18＋y＝45，
∴x＝4，y＝2.
(2)2×2列聯(lián)表如下所示：

男生
女生
總計(jì)
A類(lèi)
18
8
26
B類(lèi)和C類(lèi)
7
12
19
總計(jì)
25
20
45
∴K2＝≈4.664＞3.841，
∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為課余參加體育鍛煉且平均每周參加體育鍛煉的時(shí)間超過(guò)3小時(shí)與性別有關(guān).
(3)在抽取的樣本中，從課余不參加體育鍛煉的學(xué)生中隨機(jī)選取3人進(jìn)一步了解情況，有C＝10種情況，選取三人中男女都有且男生比女生多，有CC＝6種情況，故所求概率為＝0.6.

(1)本例在計(jì)算K2的值時(shí)應(yīng)仔細(xì)，計(jì)算中易出錯(cuò)，要明確公式中n，a，b，c，d所表示的值.
(2)利用最小二乘法求“”時(shí)，應(yīng)注意避免計(jì)算出錯(cuò).　　　　
第二課時(shí)　高考命題“三交匯”(高考怎么考)

[典例]　高考改革新方案，不分文理科，高考成績(jī)實(shí)行“3＋3”的構(gòu)成模式，第一個(gè)“3”是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，每門(mén)滿(mǎn)分150分，第二個(gè)“3”由考生在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個(gè)科目中自主選擇其中3個(gè)科目參加等級(jí)性考試，每門(mén)滿(mǎn)分100分，高考錄取成績(jī)卷面總分滿(mǎn)分750分.為了調(diào)查學(xué)生對(duì)物理、化學(xué)、生物的選考情況，將“某市某一屆學(xué)生在物理、化學(xué)、生物三個(gè)科目中至少選考一科的學(xué)生”記作學(xué)生群體S，從學(xué)生群體S中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選考物理，化學(xué)，生物的科目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：
選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)
1
2
3
人數(shù)
5
25
20

(1)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名，求他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概率；
(2)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名，記X表示這2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)量之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)將頻率視為概率，現(xiàn)從學(xué)生群體S中隨機(jī)抽取4名學(xué)生，記其中恰好選考物理、化學(xué)、生物中的兩科目的學(xué)生數(shù)記作Y，求事件“Y≥2”的概率.
[解]　(1)記“所選取的2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量相等”為事件A，
則P(A)＝＝，
所以他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概率為
1－P(A)＝.
(2)由題意可知X的可能取值分別為0,1,2.
由(1)知，P(X＝0)＝，
又P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
從而X的分布列為
X
0
1
2
P



E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)所調(diào)查的50名學(xué)生中物理、化學(xué)、生物選考兩科目的學(xué)生有25名，相應(yīng)的頻率為p＝＝，
由題意知，Y～B，
所以事件“Y≥2”的概率為P(Y≥2)＝C22＋C3＋C4＝.

高考常將求概率與等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件、超幾何分布、二項(xiàng)分布等交匯在一起進(jìn)行考查，因此在解答此類(lèi)題時(shí)，準(zhǔn)確把題中所涉及的事件進(jìn)行分解，明確所求問(wèn)題所屬的事件類(lèi)型是關(guān)鍵.特別是要注意挖掘題目中的隱含條件.　　　　
[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
(2018·聊城模擬)2016年微信用戶(hù)數(shù)量統(tǒng)計(jì)顯示，微信注冊(cè)用戶(hù)數(shù)量已經(jīng)突破9.27億.微信用戶(hù)平均年齡只有26歲，97.7%的用戶(hù)在50歲以下，86.2%的用戶(hù)在18～36歲之間.為調(diào)查大學(xué)生這個(gè)微信用戶(hù)群體中每人擁有微信群的數(shù)量，現(xiàn)在從北京大學(xué)生中隨機(jī)抽取100位同學(xué)進(jìn)行了抽樣調(diào)查，結(jié)果如下：
微信群數(shù)量
頻數(shù)
頻率
0至5個(gè)
0
0
6至10個(gè)
30
0.3
11至15個(gè)
30
0.3
16至20個(gè)
a
c
20個(gè)以上
5
b
合計(jì)
100
1

(1)求a，b，c的值；
(2)若從100位同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，求這2人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15個(gè)的概率；
(3)以這100個(gè)人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)北京市的總體數(shù)據(jù)且以頻率估計(jì)概率，若從全市大學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記X表示抽到的是微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15個(gè)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).
解：(1)由已知得0＋30＋30＋a＋5＝100，解得a＝35，
b＝＝0.05，c＝＝0.35.
(2)記“這2 人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15個(gè)”為事件A，則P(A)＝＝，
所以這2人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15個(gè)的概率為.
(3)依題意可知，微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15個(gè)的概率為P＝.
X的所有可能取值為0,1,2,3.
則P(X＝0)＝3＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C2·1＝，
P(X＝3)＝3＝.
所以X的分布列為
X
0
1
2
3
P





數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

[典例]　某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效，對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行了一次安全意識(shí)測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定“合格”“不合格”兩個(gè)等級(jí)，同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷，統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如圖.
等級(jí)
不合格
合格
得分
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100]
頻數(shù)
6
a
24
b

(1)求a，b，c的值；
(2)用分層抽樣的方法，從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行座談.現(xiàn)再?gòu)倪@10人中任選4人，記所選4人的量化總分為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)；
(3)某評(píng)估機(jī)構(gòu)以指標(biāo)M來(lái)評(píng)估該校安全教育活動(dòng)的成效.若M≥0.7，則認(rèn)定教育活動(dòng)是有效的；否則認(rèn)定教育活動(dòng)無(wú)效，應(yīng)調(diào)整安全教育方案.在(2)的條件下，判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案？
[解]　(1)由題知，樣本容量為＝60，b＝60×(0.01×20)＝12，a＝60－6－12－24＝18，c＝＝0.015.
(2)在評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行座談，其中“不合格”的學(xué)生人數(shù)為×10＝4，“合格”的學(xué)生人數(shù)為10－4＝6.
由題意可得ξ的所有可能取值為0,5,10,15,20.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝10)＝＝，P(ξ＝15)＝＝，P(ξ＝20)＝＝.
所以ξ的分布列為
ξ
0
5
10
15
20
P






E(ξ)＝0＋5×＋10×＋15×＋20×＝12.
(3)D(ξ)＝(0－12)2×＋(5－12)2×＋(10－12)2×＋(15－12)2×＋(20－12)2×＝16.所以M＝＝＝0.75＞0.7，則認(rèn)定教育活動(dòng)是有效的
在(2)的條件下，可知該校不用調(diào)整安全教育方案.

(1)概率常與隨機(jī)抽樣、雙圖(頻率分布直方圖、莖葉圖)、統(tǒng)計(jì)、獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等綜合，注意頻率分布直方圖的縱軸不表示頻率.
(2)當(dāng)題目中出現(xiàn)“在……條件(前提)下”等字眼時(shí)，所求概率一般為條件概率；若無(wú)上述字眼，但已發(fā)生的事件影響了所求事件的概率，也認(rèn)為是條件概率.條件概率的公式需記牢，易混淆事件A，B.也有不用條件概率的公式，根據(jù)實(shí)際意義求概率的，如“甲、乙比賽時(shí)，甲每局獲勝的概率皆為，且各局比賽勝負(fù)互不影響，比賽采用五局三勝制.已知第一局乙獲勝，求甲獲勝的概率.”易得甲獲勝的概率P＝3＋×C2×＝.　　　　
[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
　(2019·湘東五校聯(lián)考)已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x，y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表所示：
x
2
4
6
8
10
y
3
6
7
10
12

(1)請(qǐng)根據(jù)上表數(shù)據(jù)在圖中繪制散點(diǎn)圖；
(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋，并估計(jì)當(dāng)x＝20時(shí)y的值；
(3)將表格中的數(shù)據(jù)看作5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則從這5個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)抽取3個(gè)點(diǎn)，記落在直線2x－y－4＝0右下方的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式：＝，＝－.
解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示.

(2)依題意得，＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
＝×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，
＝4＋16＋36＋64＋100＝220，
iyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272，
＝＝＝1.1，
所以＝7.6－1.1×6＝1，
所以線性回歸方程為 ＝1.1x＋1，
故當(dāng)x＝20時(shí)，＝23.
(3)可以判斷，落在直線2x－y－4＝0右下方的點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足2x－y－4＞0，
所以符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,7)，(8,10)，(10,12)，
故ξ的所有可能取值為1,2,3.
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
故ξ的分布列為
ξ
1
2
3
P




E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.

[典例]　為了引導(dǎo)居民合理用電，國(guó)家決定實(shí)行合理的階梯電價(jià)，居民用電原則上以住宅為單位(一套住宅為一戶(hù)).
階梯級(jí)別
第一階梯
第二階梯
第三階梯
月用電范圍/度
(0,210]
(210,400]
(400，＋∞)

某市隨機(jī)抽取10戶(hù)同一個(gè)月的用電情況，得到統(tǒng)計(jì)表如下：
居民用電戶(hù)編號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
用電量/度
53
86
90
124
132
200
215
225
300
410

(1)若規(guī)定第一階梯的電價(jià)為每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元，試計(jì)算A居民用電戶(hù)用電410度時(shí)應(yīng)交電費(fèi)多少元？
(2)現(xiàn)要在這10戶(hù)家庭中任意抽取3戶(hù)，求抽到用電量為第二階梯的戶(hù)數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(3)以表中抽到的10戶(hù)作為樣本估計(jì)全市的居民用電，現(xiàn)從全市中抽取10戶(hù)，若抽到k戶(hù)的用電量為第一階梯的可能性最大，求k的值.
[解]　(1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元).
(2)設(shè)抽到用電量為第二階梯的戶(hù)數(shù)為ξ.由題意知，用電量為第二階梯的用戶(hù)有3戶(hù)，則ξ的所有可能取值為0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
故ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P





所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(3)由題意知，從全市中抽取10戶(hù)，用電量為第一階梯的戶(hù)數(shù)X滿(mǎn)足X～B，可知
P(X＝k)＝Ck10－k(k＝0,1,2,3，…，10).
由
解得≤k≤，k∈N*.
所以當(dāng)k＝6時(shí)，概率最大，即抽到6戶(hù)的用電量為第一階梯的可能性最大.
　　
1.(變?cè)O(shè)問(wèn))其他條件不變，求居民一個(gè)月應(yīng)交電費(fèi)關(guān)于用電量n(n∈N)的函數(shù)解析式f(n).
解：因?yàn)楫?dāng)0＜n≤210時(shí)，f(n)＝0.5n；
當(dāng)210＜n≤400時(shí)，f(n)＝210×0.5＋(n－210)×0.6＝0.6n－21；
當(dāng)n＞400時(shí)，f(n)＝210×0.5＋(400－210)×0.6＋(n－400)×0.8＝0.8n－101，
所以f(n)＝
2.設(shè)甲投球命中的概率為p.
(1)[考查不等式]如果甲一共投球4次，甲恰好投中2次的概率不大于其恰好投中3次的概率，試求p的取值范圍.
解：由C·p2·(1－p)2≤C·p3·(1－p)，0＜p＜1，解得≤p＜1，故p的取值范圍為.
(2)[考查基本不等式]如果甲一共投球6次，那么甲恰好命中3次的概率可能是嗎？
解：不可能.P(X＝3)＝C·p3·(1－p)3≤
203＝＜.
(3)[與導(dǎo)數(shù)交匯]記甲3次投球中恰有2次投中的概率為q，則當(dāng)p取何值時(shí)，q最大？
解：由題意知q＝C·p2·(1－p)＝－3p3＋3p2,0＜p＜1，則q′＝－9p2＋6p＝－3p(3p－2)，易知在上q＝－3p3＋3p2為增函數(shù)，在上q＝－3p3＋3p2為減函數(shù)，故當(dāng)p＝時(shí)，q取得最大值.
[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
　經(jīng)銷(xiāo)商經(jīng)銷(xiāo)某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲得利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元.根據(jù)歷史資料，得到銷(xiāo)售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖如圖所示.經(jīng)銷(xiāo)商為下一個(gè)銷(xiāo)售季度購(gòu)進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品.以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)經(jīng)銷(xiāo)該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn).

(1)將T表示為X的函數(shù)；
(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57 000元的概率；
(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)，求T的均值.
解：(1)當(dāng)X∈[100,130)時(shí)，
T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000.
當(dāng)X∈[130,150]時(shí)，T＝500×130＝65 000.
所以T＝
(2)由(1)知利潤(rùn)T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150時(shí).由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57 000元的概率的估計(jì)值為0.7.
(3)依題意可得T的分布列為
T
45 000
53 000
61 000
65 000
P
0.1
0.2
0.3
0.4

所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.


1.(2019·湖北七市協(xié)作體聯(lián)考)甲、乙兩家銷(xiāo)售公司擬各招聘一名產(chǎn)品推銷(xiāo)員，日工資方案如下：甲公司規(guī)定底薪80元，每銷(xiāo)售一件產(chǎn)品提成1元；乙公司規(guī)定底薪120元，日銷(xiāo)售量不超過(guò)45件沒(méi)有提成，超過(guò)45件的部分每件提成8元.
(1)請(qǐng)將兩家公司各一名推銷(xiāo)員的日工資y(單位：元)分別表示為日銷(xiāo)售件數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式；
(2)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名推銷(xiāo)員，對(duì)他們過(guò)去100天的銷(xiāo)售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下條形圖：

若將該頻率視為概率，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
①記乙公司一名員工的日工資為X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
②某大學(xué)畢業(yè)生擬到兩家公司中的一家應(yīng)聘推銷(xiāo)員工作，如果僅從日均收入的角度考慮，請(qǐng)你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為他作出選擇，并說(shuō)明理由.
解：(1)由題意得，甲公司一名推銷(xiāo)員的日工資y(單位：元)與銷(xiāo)售件數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式為y＝80＋n(n∈N*)；
乙公司一名推銷(xiāo)員的日工資y(單位：元)與銷(xiāo)售件數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式為y＝
(2)①記乙公司一名員工的日工資為X(單位：元)，由條形圖得X的可能取值為120,128,144,160，
P(X＝120)＝＝0.2，P(X＝128)＝＝0.3，
P(X＝144)＝＝0.4，P(X＝160)＝＝0.1，
所以X的分布列為
X
120
128
144
160
P
0.2
0.3
0.4
0.1

所以E(X)＝120×0.2＋128×0.3＋144×0.4＋160×0.1＝136.
②由條形圖知，甲公司一名員工的日均銷(xiāo)售量為
42×0.2＋44×0.4＋46×0.2＋48×0.1＋50×0.1＝45(件)，
所以甲公司一名員工的日均工資為125元.
由①知乙公司一名員工的日均工資為136元.故應(yīng)該應(yīng)聘乙公司.
2.(2019·西安質(zhì)檢)基于移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的共享單車(chē)被稱(chēng)為“新四大發(fā)明”之一，短時(shí)間內(nèi)就風(fēng)靡全國(guó)，帶給人們新的出行體驗(yàn).某共享單車(chē)運(yùn)營(yíng)公司的市場(chǎng)研究人員為了解公司的經(jīng)營(yíng)狀況，對(duì)該公司最近六個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：
月份
2018.8
2018.9
2018.10
2018.11
2018.12
2019.1
月份代碼x
1
2
3
4
5
6
市場(chǎng)占有率y(%)
11
13
16
15
20
21


(1)請(qǐng)?jiān)诮o出的圖中作出散點(diǎn)圖，并用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明能否用線性回歸模型擬合市場(chǎng)占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系；
(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司2019年2月份的市場(chǎng)占有率.
參考數(shù)據(jù)：(xi－)2＝17.5，(xi－)(yi－)＝35，
≈36.5.
參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝；
回歸直線方程為＝x＋，其中＝，＝－.
解：(1)作出散點(diǎn)圖如下.

＝＝16，∴(yi－)2＝76，
∴r＝＝＝≈≈0.96.
∴兩變量之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，故可用線性回歸模型擬合市場(chǎng)占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系.
(2)由已知得，＝＝＝2，
＝＝3.5，
∴＝－＝16－2×3.5＝9，
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為＝2x＋9.
又2019年2月的月份代碼為x＝7，
∴＝2×7＋9＝23，
∴估計(jì)該公司2019年2月份的市場(chǎng)占有率為23%.
3.(2018·蕪湖一模)某校高一200名學(xué)生的期中考試語(yǔ)文成績(jī)服從正態(tài)分布N(70,7.52)，數(shù)學(xué)成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如下：

(1)計(jì)算這次考試的數(shù)學(xué)平均分，并比較語(yǔ)文和數(shù)學(xué)哪科的平均分較高(假設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)陬l率分布直方圖中各段是均勻分布的)；
(2)如果成績(jī)大于85分的學(xué)生為優(yōu)秀，這200名學(xué)生中本次考試語(yǔ)文、數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)大約各多少人？
(3)如果語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的共有4人，從(2)中的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩科都優(yōu)秀的有ξ人，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附參考公式：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.96.
解：(1)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為(0.012×45＋0.02×55＋0.025×65＋0.035×75＋0.006×85＋0.002×95)×10＝65.9(分)，
根據(jù)語(yǔ)文成績(jī)服從正態(tài)分布N(70,7.52)，知語(yǔ)文成績(jī)的平均分為70分，所以語(yǔ)文的平均分高些.
(2)語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的概率為P1＝P(X＞85)＝(1－0.96)×＝0.02，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率為P2＝×10＝0.05，所以語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為200×0.02＝4(人)，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為200×0.05＝10(人).
(3)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的有4人，數(shù)學(xué)單科優(yōu)秀的有6人，ξ所有可能的取值為0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P





E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
4.(2019·寶雞模擬)某公司準(zhǔn)備將1 000萬(wàn)元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)建設(shè)項(xiàng)目選擇，若投資甲項(xiàng)目一年后可獲得的利潤(rùn)ξ1(萬(wàn)元)的概率分布列如表所示，且ξ1的期望E(ξ1)＝120；
ξ1
110
120
170
P
m
0.4
n

若投資乙項(xiàng)目一年后可獲得的利潤(rùn)ξ2(萬(wàn)元)與該項(xiàng)目建設(shè)材料的成本有關(guān)，在生產(chǎn)的過(guò)程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否在第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價(jià)格調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨(dú)立且調(diào)整的概率分別為p(0＜p＜1)和1－p.若乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年內(nèi)調(diào)整的次數(shù)X與ξ2的關(guān)系如表所示：
X
0
1
2
ξ2
41.2
117.6
204.0

(1)求m，n的值；
(2)求ξ2的分布列；
(3)若該公司投資乙項(xiàng)目一年后能獲得較多的利潤(rùn)，求p的取值范圍.
解：(1)由題意得
解得
(2)ξ2的所有可能取值為41.2,117.6,204.0.
根據(jù)題意，P(ξ2＝41.2)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)，
P(ξ2＝117.6)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2，
P(ξ2＝204)＝p(1－p).
隨機(jī)變量ξ2的分布列為
ξ2
41.2
117.6
204.0
P
p(1－p)
p2＋(1－p)2
p(1－p)

(3)由(2)可得，E(ξ2)＝41.2p(1－p)＋117.6[p2＋(1－p)2]＋204p(1－p)＝－10p2＋10p＋117.6，
由于該公司投資乙項(xiàng)目一年后能獲得較多的利潤(rùn)，
所以E(ξ2)＞E(ξ1)，所以－10p2＋10p＋117.6＞120，
解得0.4＜p＜0.6，
所以p的取值范圍是(0.4,0.6).



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