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1．直接證明
(1)綜合法
①定義：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法．
②框圖表示：―→―→―→…―→
(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論)．
③思維過(guò)程：由因?qū)Ч?br /> (2)分析法
①定義：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．
②框圖表示：―→―→―→…―→
(其中Q表示要證明的結(jié)論)．
③思維過(guò)程：執(zhí)果索因．
2．間接證明
反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立的證明方法．
【思考辨析】
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明．(　×　)
(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件．(　×　)
(3)用反證法證明結(jié)論“a>b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“aab>b2.
2．(2016·北京)袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三個(gè)空盒，每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就放入丙盒．重復(fù)上述過(guò)程，直到袋中所有球都被放入盒中，則(　　)
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多
C．乙盒中紅球不多于丙盒中紅球
D．乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多
答案　B
解析　取兩個(gè)球往盒子中放有4種情況：
①紅＋紅，則乙盒中紅球數(shù)加1；
②黑＋黑，則丙盒中黑球數(shù)加1；
③紅＋黑(紅球放入甲盒中)，則乙盒中黑球數(shù)加1；
④黑＋紅(黑球放入甲盒中)，則丙盒中紅球數(shù)加1.
因?yàn)榧t球和黑球個(gè)數(shù)一樣，所以①和②的情況一樣多．③和④的情況完全隨機(jī)，③和④對(duì)B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)沒(méi)有任何影響．①和②出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對(duì)B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣．綜上選B.
3．要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明(　　)
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a(chǎn)2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
答案　D
解析　a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.
4．如果a＋b>a＋b，則a、b應(yīng)滿足的條件是__________________________．
答案　a≥0，b≥0且a≠b
解析　∵a＋b－(a＋b)
＝(a－b)＋(b－a)
＝(－)(a－b)
＝(－)2(＋)．
∴當(dāng)a≥0，b≥0且a≠b時(shí)，(－)2(＋)>0.
∴a＋b>a＋b成立的條件是a≥0，b≥0且a≠b.
5．(2016·青島模擬)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函數(shù)y＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值為________．
答案　
解析　∵f(x)＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，且A、B、C∈(0，π)．
∴≤f()＝f()，
即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝，
∴sinA＋sinB＋sinC的最大值為.

題型一　綜合法的應(yīng)用
例1　(2016·重慶模擬)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1.證明：(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
證明　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因?yàn)椋玝≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
思維升華　(1)綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性．(2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理．
　對(duì)于定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)，如果同時(shí)滿足：
①對(duì)任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0；
②f(1)＝1；
③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù)．
(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)＝0；
(2)試判斷函數(shù)f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是不是理想函數(shù)．
(1)證明　取x1＝x2＝0，則x1＋x2＝0≤1，
∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.
又對(duì)任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0，
∴f(0)≥0.于是f(0)＝0.
(2)解　對(duì)于f(x)＝2x，x∈[0,1]，
f(1)＝2不滿足新定義中的條件②，
∴f(x)＝2x(x∈[0,1])不是理想函數(shù)．
對(duì)于f(x)＝x2，x∈[0,1]，顯然f(x)≥0，且f(1)＝1.
對(duì)任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，
f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)
＝(x1＋x2)2－x－x＝2x1x2≥0，
即f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．
∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函數(shù)．
對(duì)于f(x)＝，x∈[0,1]，顯然滿足條件①②.
對(duì)任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，
有f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2＋x2)＝－2≤0，
即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.
∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不滿足條件③.
∴f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函數(shù)．
綜上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函數(shù)，
f(x)＝2x(x∈[0,1])與f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函數(shù)．
題型二　分析法的應(yīng)用
例2　已知函數(shù)f(x)＝tanx，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，求證：[f(x1)＋f(x2)]>f.
證明　要證[f(x1)＋f(x2)]>f，
即證明(tanx1＋tanx2)>tan，
只需證明>tan，
只需證明>.
由于x1，x2∈，故x1＋x2∈(0，π)．
所以cosx1cosx2>0，sin(x1＋x2)>0,1＋cos(x1＋x2)>0，
故只需證明1＋cos(x1＋x2)>2cosx1cosx2，
即證1＋cosx1cosx2－sinx1sinx2>2cosx1cosx2，
即證cos(x1－x2)f.
引申探究
若本例中f(x)變?yōu)閒(x)＝3x－2x，試證：對(duì)于任意的x1，x2∈R，均有≥f.
證明　要證明≥f，
即證明≥－2·，
因此只要證明－(x1＋x2)≥－(x1＋x2)，
即證明≥，
因此只要證明≥，
由于x1，x2∈R時(shí)，>0,>0，
由基本不等式知≥顯然成立，故原結(jié)論成立．
思維升華　(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過(guò)反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件．正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵．(2)證明較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過(guò)分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過(guò)綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證．
　(2017·重慶月考)設(shè)a>0，b>0,2c>a＋b，求證：
(1)c2>ab；
(2)c－0,2c>a＋b≥2，
∴c>，平方得c2>ab.
(2)要證c－，f(16)>3.觀察上述結(jié)果，按照上面規(guī)律，可推測(cè)f(128)>________.
答案　
解析　觀察f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3可知，等式及不等式右邊的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故f(128)>＋6×＝.
7．(2016·全國(guó)甲卷)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是________．
答案　1和3
解析　由丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”可知，丙為“1和2”或“1和3”，又乙說(shuō)“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，所以乙只可能為“2和3”，又甲說(shuō)“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，所以甲只能為“1和3”．
8．若二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f(c)>0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是____________．
答案　
解析　若二次函數(shù)f(x)≤0在區(qū)間[－1,1]內(nèi)恒成立，
則
解得p≤－3或p≥，
故滿足題干條件的p的取值范圍為.
9．已知a>0，證明：－≥a＋－2.
證明　要證－≥a＋－2，
只需證≥(a＋)－(2－)．
因?yàn)閍>0，所以(a＋)－(2－)>0，
所以只需證( )2≥[(a＋)－(2－)]2，
即2(2－)(a＋)≥8－4，
只需證a＋≥2.
因?yàn)閍>0，a＋≥2顯然成立(a＝＝1時(shí)等號(hào)成立)，
所以要證的不等式成立．
10．設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函數(shù)f(x＋1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求證：f(x＋)為偶函數(shù)．
證明　由函數(shù)f(x＋1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可知f(x＋1)＝f(－x)．
將x換成x－代入上式可得f(x－＋1)＝f[－(x－)]，
即f(x＋)＝f(－x＋)，
由偶函數(shù)的定義可知f(x＋)為偶函數(shù)．
11．已知函數(shù)f(x)＝ax＋(a>1)．
(1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)；
(2)用反證法證明方程f(x)＝0沒(méi)有負(fù)數(shù)根．
證明　(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，
不妨設(shè)x10.
∵a>1，∴
∴
又∵x1＋1>0，x2＋1>0，
∴－＝
＝>0.
于是f(x2)－f(x1)＝＋－>0，
故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．
(2)假設(shè)存在x01，∴0

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