1．兩條直線的位置關(guān)系
(1)兩條直線平行與垂直
①兩條直線平行：
(ⅰ)對于兩條不重合的直線l1、l2，若其斜率分別為k1、k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.
(ⅱ)當直線l1、l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.
②兩條直線垂直：
(ⅰ)如果兩條直線l1、l2的斜率存在，設(shè)為k1、k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.
(ⅱ)當其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時，l1⊥l2.
(2)兩條直線的交點
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點坐標就是方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
2．幾種距離
(1)兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
(2)點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)間的距離d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
【知識拓展】
1．直線系方程
(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
2．兩直線平行或重合的充要條件
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要條件是A1B2－A2B1＝0.
3．兩直線垂直的充要條件
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0.
4．過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
5．點到直線與兩平行線間的距離的使用條件：
(1)求點到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式．
(2)求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等．
【思考辨析】
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)當直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.( × )
(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.( × )
(3)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.( √ )
(4)點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).( × )
(5)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離．( √ )
(6)若點A，B關(guān)于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對稱，則直線AB的斜率等于－eq \f(1,k)，且線段AB的中點在直線l上．( √ )
1．(2016·天津模擬)過點(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是( )
A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0
答案 A
解析 直線x－2y－2＝0可化為y＝eq \f(1,2)x－1，
所以過點(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程可設(shè)為y＝eq \f(1,2)x＋b，
將點(1,0)代入得b＝－eq \f(1,2).
所以所求直線方程為x－2y－1＝0.
2．(教材改編)已知點(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于( )
A.eq \r(2)B．2－eq \r(2)
C.eq \r(2)－1D.eq \r(2)＋1
答案 C
解析 依題意得eq \f(|a－2＋3|,\r(1＋1))＝1.
解得a＝－1＋eq \r(2)或a＝－1－eq \r(2).∵a>0，∴a＝－1＋eq \r(2).
3．已知直線l過圓x2＋(y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則l的方程是( )
A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0
答案 D
解析 圓x2＋(y－3)2＝4的圓心為點(0,3)，
又因為直線l與直線x＋y＋1＝0垂直，
所以直線l的斜率k＝1.
由點斜式得直線l：y－3＝x－0，化簡得x－y＋3＝0.
4．(2017·朝陽調(diào)研)已知過點A(－2，m)和點B(m，4)的直線為l1，直線2x＋y－1＝0為l2，直線x＋ny＋1＝0為l3，若l1∥l2，l2⊥l3，則實數(shù)m＋n的值為( )
A．－10B．－2C．0D．8
答案 A
解析 ∵l1∥l2，∴kAB＝eq \f(4－m,m＋2)＝－2，解得m＝－8.
又∵l2⊥l3，∴(－eq \f(1,n))×(－2)＝－1，
解得n＝－2，∴m＋n＝－10.
5．(教材改編)若直線(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0與(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，則a＝________.
答案 0或1
解析 由兩直線垂直的充要條件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.
題型一 兩條直線的平行與垂直
例1 (1)設(shè)不同直線l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0.則“m＝2”是“l(fā)1∥l2”的( )
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
答案 C
解析 當m＝2時，代入兩直線方程中，
易知兩直線平行，即充分性成立．
當l1∥l2時，顯然m≠0，從而有eq \f(2,m)＝m－1，
解得m＝2或m＝－1，
但當m＝－1時，兩直線重合，不合要求，
故必要性成立，故選C.
(2)已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
①試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；
②當l1⊥l2時，求a的值．
解 ①方法一 當a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
當a＝0時，l1：y＝－3，
l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
當a≠1且a≠0時，兩直線可化為l1：y＝－eq \f(a,2)x－3，
l2：y＝eq \f(1,1－a)x－(a＋1)，
l1∥l2?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)＝\f(1,1－a)，,－3≠－?a＋1?，))解得a＝－1，
綜上可知，a＝－1時，l1∥l2.
方法二 由A1B2－A2B1＝0，
得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
∴l(xiāng)1∥l2?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a?a－1?－1×2＝0，,a?a2－1?－1×6≠0，))
?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a－2＝0，,a?a2－1?≠6))?a＝－1，
故當a＝－1時，l1∥l2.
②方法一 當a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，
l1與l2不垂直，故a＝1不成立；
當a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2；
當a≠1且a≠0時，
l1：y＝－eq \f(a,2)x－3，l2：y＝eq \f(1,1－a)x－(a＋1)，
由(－eq \f(a,2))·eq \f(1,1－a)＝－1?a＝eq \f(2,3).
方法二 由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0?a＝eq \f(2,3).
思維升華 (1)當直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件．
(2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．
已知兩直線l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
解 (1)方法一 當sinα＝0時，直線l1的斜率不存在，
l2的斜率為0，顯然l1不平行于l2.
當sinα≠0時，k1＝－eq \f(1,sinα)，k2＝－2sinα.
要使l1∥l2，需－eq \f(1,sinα)＝－2sinα，即sinα＝±eq \f(\r(2),2).
所以α＝kπ±eq \f(π,4)，k∈Z，此時兩直線的斜率相等．
故當α＝kπ±eq \f(π,4)，k∈Z時，l1∥l2.
方法二 由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，
所以sinα＝±eq \f(\r(2),2)，所以α＝kπ±eq \f(π,4)，k∈Z.
又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sinα≠0，即sinα≠－1.
故當α＝kπ±eq \f(π,4)，k∈Z時，l1∥l2.
(2)因為A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要條件，
所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z.
故當α＝kπ，k∈Z時，l1⊥l2.
題型二 兩條直線的交點與距離問題
例2 (1)(2016·長沙模擬)求經(jīng)過兩條直線l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交點，且與直線2x－y－1＝0垂直的直線方程為________________．
(2)直線l過點P(－1,2)且到點A(2,3)和點B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為________________．
答案 (1)x＋2y－7＝0 (2)x＋3y－5＝0或x＝－1
解析 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－4＝0，,x－y＋2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3，))
∴l(xiāng)1與l2的交點坐標為(1,3)．
設(shè)與直線2x－y－1＝0垂直的直線方程為x＋2y＋c＝0，
則1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.
∴所求直線方程為x＋2y－7＝0.
(2)方法一 當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為
y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由題意知eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，
即|3k－1|＝|－3k－3|，
∴k＝－eq \f(1,3).
∴直線l的方程為y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，也符合題意．
故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.
方法二 當AB∥l時，有k＝kAB＝－eq \f(1,3)，
直線l的方程為y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
當l過AB的中點時，AB的中點為(－1,4)．
∴直線l的方程為x＝－1.
故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.
思維升華 (1)求過兩直線交點的直線方程的方法
求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．
(2)利用距離公式應(yīng)注意：①點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等．
(1)如圖，設(shè)一直線過點(－1,1)，它被兩平行直線l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的線段的中點在直線l3：x－y－1＝0上，求其方程．
解 與l1、l2平行且距離相等的直線方程為x＋2y－2＝0.
設(shè)所求直線方程為(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，
即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直線過(－1,1)，
∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.
解得λ＝－eq \f(1,3).∴所求直線方程為2x＋7y－5＝0.
(2)(2016·濟南模擬)若動點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分別在直線l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移動，則P1P2的中點P到原點的距離的最小值是( )
A.eq \f(5,2)eq \r(2)B．5eq \r(2)C.eq \f(15,2)eq \r(2)D．15eq \r(2)
答案 B
解析 設(shè)P1P2的中點為P(x，y)，則x＝eq \f(x1＋x2,2)，y＝eq \f(y1＋y2,2).
∵x1－y1－5＝0，x2－y2－15＝0.
∴(x1＋x2)－(y1＋y2)＝20，即x－y＝10.
∴y＝x－10，∴P(x，x－10)，
∴P到原點的距離d＝eq \r(x2＋?x－10?2)
＝eq \r(2?x－5?2＋50)≥eq \r(50)＝5eq \r(2).
題型三 對稱問題
命題點1 點關(guān)于點中心對稱
例3 過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為________________．
答案 x＋4y－4＝0
解析 設(shè)l1與l的交點為A(a,8－2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.
命題點2 點關(guān)于直線對稱
例4 如圖，已知A(4,0)，B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是( )
A．3eq \r(3)B．6C．2eq \r(10)D．2eq \r(5)
答案 C
解析 直線AB的方程為x＋y＝4，點P(2,0)關(guān)于直線AB的對稱點為D(4,2)，關(guān)于y軸的對稱點為C(－2,0)．則光線經(jīng)過的路程為|CD|＝eq \r(62＋22)＝2eq \r(10).
命題點3 直線關(guān)于直線的對稱問題
例5 (2016·泰安模擬)已知直線l：2x－3y＋1＝0，求直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程．
解 在直線m上任取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M′必在直線m′上．
設(shè)對稱點M′(a，b)，則
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(6,13)，,b＝\f(30,13)，))
∴M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,13)，\f(30,13))).
設(shè)直線m與直線l的交點為N，則
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))
得N(4,3)．
又∵m′經(jīng)過點N(4,3)．
∴由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.
思維升華 解決對稱問題的方法
(1)中心對稱
①點P(x，y)關(guān)于Q(a，b)的對稱點P′(x′，y′)滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))
②直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決．
(2)軸對稱
①點A(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點A′(m，n)，則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))
②直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決．
已知直線l：3x－y＋3＝0，求：
(1)點P(4,5)關(guān)于l的對稱點；
(2)直線x－y－2＝0關(guān)于直線l對稱的直線方程；
(3)直線l關(guān)于(1,2)的對稱直線．
解 (1)設(shè)P(x，y)關(guān)于直線l：3x－y＋3＝0的對稱點為P′(x′，y′)，
∵kPP′·kl＝－1，即eq \f(y′－y,x′－x)×3＝－1.①
又PP′的中點在直線3x－y＋3＝0上，
∴3×eq \f(x′＋x,2)－eq \f(y′＋y,2)＋3＝0.②
由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(－4x＋3y－9,5)， ③,y′＝\f(3x＋4y＋3,5).④))
把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，
∴P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點P′的坐標為(－2,7)．
(2)用③④分別代換x－y－2＝0中的x，y，
得關(guān)于l的對稱直線方程為eq \f(－4x＋3y－9,5)－eq \f(3x＋4y＋3,5)－2＝0，
化簡得7x＋y＋22＝0.
(3)在直線l：3x－y＋3＝0上取點M(0,3)關(guān)于(1,2)的對稱點M′(x′，y′)，
∴eq \f(x′＋0,2)＝1，x′＝2，eq \f(y′＋3,2)＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．
l關(guān)于(1,2)的對稱直線平行于l，∴k＝3，
∴對稱直線方程為y－1＝3×(x－2)，
即3x－y－5＝0.
20．妙用直線系求直線方程
一、平行直線系
由于兩直線平行，它們的斜率相等或它們的斜率都不存在，因此兩直線平行時，它們的一次項系數(shù)與常數(shù)項有必然的聯(lián)系．
典例1 求與直線3x＋4y＋1＝0平行且過點(1,2)的直線l的方程．
思想方法指導(dǎo) 因為所求直線與3x＋4y＋1＝0平行，因此，可設(shè)該直線方程為3x＋4y＋c＝0(c≠1)．
規(guī)范解答
解 依題意，設(shè)所求直線方程為3x＋4y＋c＝0(c≠1)，
又因為直線過點(1,2)，
所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.
因此，所求直線方程為3x＋4y－11＝0.
二、垂直直線系
由于直線A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件為A1A2＋B1B2＝0.因此，當兩直線垂直時，它們的一次項系數(shù)有必要的關(guān)系．可以考慮用直線系方程求解．
典例2 求經(jīng)過A(2,1)，且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程．
思想方法指導(dǎo) 依據(jù)兩直線垂直的特征設(shè)出方程，再由待定系數(shù)法求解．
規(guī)范解答
解 因為所求直線與直線2x＋y－10＝0垂直，所以設(shè)該直線方程為x－2y＋C1＝0，又直線過點(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直線方程為x－2y＝0.
三、過直線交點的直線系
典例3 求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程．
思想方法指導(dǎo) 可分別求出直線l1與l2的交點及直線l的斜率k，直接寫出方程；也可以利用過交點的直線系方程設(shè)直線方程，再用待定系數(shù)法求解．
規(guī)范解答
解 方法一 解方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得P(0,2)．
因為l3的斜率為eq \f(3,4)，且l⊥l3，
所以直線l的斜率為－eq \f(4,3)，
由斜截式可知l的方程為y＝－eq \f(4,3)x＋2，
即4x＋3y－6＝0.
方法二 設(shè)直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，
解得λ＝11.
∴直線l的方程為4x＋3y－6＝0.
1．設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 ( )
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 (1)充分性：當a＝1時，
直線l1：x＋2y－1＝0與直線l2：x＋2y＋4＝0平行；
(2)必要性：當直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行時有a＝－2或1.
所以“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要條件，故選A.
2．(2016·濟南模擬)“m＝3”是“直線l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0與直線l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，
∴m＝3或m＝－2.
∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要條件．
3．(2016·山東省實驗中學(xué)質(zhì)檢)從點(2,3)射出的光線沿與向量a＝(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為( )
A．x＋2y－4＝0B．2x＋y－1＝0
C．x＋6y－16＝0D．6x＋y－8＝0
答案 A
解析 由直線與向量a＝(8,4)平行知：過點(2,3)的直線的斜率k＝eq \f(1,2)，所以直線的方程為y－3＝eq \f(1,2)(x－2)，其與y軸的交點坐標為(0,2)，又點(2,3)關(guān)于y軸的對稱點為(－2,3)，所以反射光線過點(－2,3)與(0,2)，由兩點式知A正確．
4．(2017·蘭州月考)一只蟲子從點O(0,0)出發(fā)，先爬行到直線l：x－y＋1＝0上的P點，再從P點出發(fā)爬行到點A(1，1)，則蟲子爬行的最短路程是( )
A.eq \r(2)B．2C．3D．4
答案 B
解析 點O(0,0)關(guān)于直線x－y＋1＝0的對稱點為O′(－1,1)，
則蟲子爬行的最短路程為|O′A|＝eq \r(?1＋1?2＋?1－1?2)＝2.
故選B.
5．(2016·綿陽模擬)若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為( )
A.eq \f(9,5)B.eq \f(18,5)C.eq \f(29,10)D.eq \f(29,5)
答案 C
解析 因為eq \f(3,6)＝eq \f(4,8)≠eq \f(－12,5)，所以兩直線平行，
由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，
即eq \f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq \f(29,10)，
所以|PQ|的最小值為eq \f(29,10)，故選C.
6．(2016·廈門模擬)將一張坐標紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則m＋n等于( )
A.eq \f(34,5)B.eq \f(36,5)C.eq \f(28,3)D.eq \f(32,3)
答案 A
解析 由題意可知，紙的折痕應(yīng)是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線，
即直線y＝2x－3，它也是點(7,3)與點(m，n)連線的中垂線，
于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))
故m＋n＝eq \f(34,5)，故選A.
7．(2016·忻州訓(xùn)練)已知兩直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐標原點到這兩條直線的距離相等，則a＋b＝________.
答案 0或eq \f(8,3)
解析 由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b?a－1?＝0，,\f(4,\r(a2＋?－b?2))＝\f(|b|,\r(?a－1?2＋1)).))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(2,3)，,b＝2.))經(jīng)檢驗，兩種情況均符合題意，
∴a＋b的值為0或eq \f(8,3).
8．已知直線l1：ax＋y－1＝0，直線l2：x－y－3＝0，若直線l1的傾斜角為eq \f(π,4)，則a＝________；若l1⊥l2，則a＝________；若l1∥l2，則兩平行直線間的距離為________．
答案 －1 1 2eq \r(2)
解析 若直線l1的傾斜角為eq \f(π,4)，則－a＝k＝taneq \f(π,4)＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，則a×1＋1×(－1)＝0，故a＝1；若l1∥l2，則a＝－1，l1：x－y＋1＝0，兩平行直線間的距離d＝eq \f(|1－?－3?|,\r(1＋1))＝2eq \r(2).
9.如圖，已知直線l1∥l2，點A是l1，l2之間的定點，點A到l1，l2之間的距離分別為3和2，點B是l2上的一動點，作AC⊥AB，且AC與l1交于點C，則△ABC的面積的最小值為________．
答案 6
解析 以A為坐標原點，平行于l1的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)B(a，－2)，C(b,3)．
∵AC⊥AB，
∴ab－6＝0，ab＝6，b＝eq \f(6,a).
Rt△ABC的面積S＝eq \f(1,2)eq \r(a2＋4)·eq \r(b2＋9)
＝eq \f(1,2)eq \r(a2＋4)·eq \r(\f(36,a2)＋9)＝eq \f(1,2)eq \r(72＋9a2＋\f(144,a2))
≥eq \f(1,2)eq \r(72＋72)＝6.
10．(2016·重慶模擬)在平面直角坐標系內(nèi)，到點A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距離之和最小的點的坐標是________．
答案 (2,4)
解析 如圖，設(shè)平面直角坐標系中任一點P，P到點A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距離之和為|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|PB|＋|PD|＋|PA|＋|PC|≥|BD|＋|AC|＝|QA|＋|QB|＋|QC|＋|QD|，故四邊形ABCD對角線的交點Q即為所求距離之和最小的點．
∵A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)，
∴直線AC的方程為y－2＝2(x－1)，直線BD的方程為y－5＝－(x－1)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－2＝2?x－1?，,y－5＝－?x－1?，))得Q(2,4)．
11．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0與點P(－2,2)．
(1)證明：對任意的實數(shù)λ，該方程都表示直線，且這些直線都經(jīng)過同一定點，并求出這一定點的坐標；
(2)證明：該方程表示的直線與點P的距離d小于4eq \r(2).
證明 (1)顯然2＋λ與－(1＋λ)不可能同時為零，故對任意的實數(shù)λ，該方程都表示直線．
∵方程可變形為2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2，))故直線經(jīng)過的定點為M(2，－2)．
(2)過P作直線的垂線段PQ，由垂線段小于斜線段知|PQ|≤|PM|，當且僅當Q與M重合時，|PQ|＝|PM|，
此時對應(yīng)的直線方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直線系方程唯獨不能表示直線x－y－4＝0，
∴M與Q不可能重合，而|PM|＝4eq \r(2)，∴|PQ|

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