1．拋物線的概念
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
【知識(shí)拓展】
1．拋物線y2＝2px (p>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑．
2．y2＝ax的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq \f(a,4).
3．設(shè)AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(2)弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)．
(3)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．
(4)通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長(zhǎng)等于2p，通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦．
【思考辨析】
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．( × )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是(eq \f(a,4)，0)，準(zhǔn)線方程是x＝－eq \f(a,4).( × )
(3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．( × )
(4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過(guò)焦點(diǎn)F(eq \f(p,2)，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p.( √ )
1．(2016·四川)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A．(0,2) B．(0,1)
C．(2,0) D．(1,0)
答案 D
解析 ∵對(duì)于拋物線y2＝ax，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，
∴對(duì)于y2＝4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．
2．(2016·甘肅張掖一診)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于( )
A．9B．8C．7D．6
答案 B
解析 拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.
根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
3．設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))B．[－2,2]
C．[－1,1]D．[－4,4]
答案 C
解析 Q(－2,0)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k≤1.
4．(教材改編)已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2，－4)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________．
答案 y2＝－8x或x2＝－y
解析 設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．將P(－2，－4)代入，分別得方程為y2＝－8x或x2＝－y.
5．(2017·合肥調(diào)研)已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓x2＋y2－6x－7＝0相切，則p的值為_(kāi)_______．
答案 2
解析 拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為x＝－eq \f(p,2)，
圓x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，
則圓心為(3,0)，半徑為4.
又因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋eq \f(p,2)＝4，
解得p＝2.
題型一 拋物線的定義及應(yīng)用
例1 設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若B(3,2)，則|PB|＋|PF|的最小值為_(kāi)_______．
答案 4
解析 如圖，
過(guò)點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，
交拋物線于點(diǎn)P1，
則|P1Q|＝|P1F|.則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值為4.
引申探究
1．若將本例中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(3,4)，試求|PB|＋|PF|的最小值．
解 由題意可知點(diǎn)(3,4)在拋物線的外部．
∵|PB|＋|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離，
∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝eq \r(42＋22)
＝eq \r(16＋4)＝2eq \r(5)，
即|PB|＋|PF|的最小值為2eq \r(5).
2．若將本例中的條件改為：已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋5＝0，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1＋d2的最小值．
解 由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)．
點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離d1＝|PF|－1，
所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.
易知d2＋|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d2＋|PF|的最小值為eq \f(|1＋5|,\r(12＋?－1?2))＝3eq \r(2)，
所以d1＋d2的最小值為3eq \r(2)－1.
思維升華 與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．由于拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性，因此此類問(wèn)題也有一定的難度．“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題的重要途徑．
設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值為_(kāi)_______．
答案 eq \r(5)
解析 如圖，
易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線是x＝－1，
由拋物線的定義知：點(diǎn)P到直線x＝－1的距離等于點(diǎn)P到F的距離．
于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)P，
使點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最小，
顯然，連接AF與拋物線相交的點(diǎn)即為滿足題意的點(diǎn)，
此時(shí)最小值為eq \r([1－?－1?]2＋?0－1?2)＝eq \r(5).
題型二 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
命題點(diǎn)1 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
例2 已知雙曲線C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為( )
A．x2＝eq \f(8\r(3),3)yB．x2＝eq \f(16\r(3),3)y
C．x2＝8yD．x2＝16y
答案 D
解析 ∵eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的離心率為2，
∴eq \f(c,a)＝2，即eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝4，∴eq \f(b2,a2)＝3，eq \f(b,a)＝eq \r(3).
x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x，即y＝±eq \r(3)x.由題意得eq \f(\f(p,2),\r(1＋?\r(3)?2))＝2，∴p＝8.故C2的方程為x2＝16y.
命題點(diǎn)2 拋物線的幾何性質(zhì)
例3 已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過(guò)F的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
(2)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)為定值；
(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．
證明 (1)由已知得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq \f(p,2)，0)．
由題意可設(shè)直線方程為x＝my＋eq \f(p,2)，代入y2＝2px，
得y2＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(my＋\f(p,2)))，即y2－2pmy－p2＝0.(*)
則y1，y2是方程(*)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以y1y2＝－p2.
因?yàn)閥eq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2，所以yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＝4p2x1x2，
所以x1x2＝eq \f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),4p2)＝eq \f(p4,4p2)＝eq \f(p2,4).
(2)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,x1＋\f(p,2))＋eq \f(1,x2＋\f(p,2))
＝eq \f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)?x1＋x2?＋\f(p2,4)).
因?yàn)閤1x2＝eq \f(p2,4)，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，
得eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(|AB|,\f(p2,4)＋\f(p,2)?|AB|－p?＋\f(p2,4))＝eq \f(2,p)(定值)．
(3)設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，分別過(guò)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，D，過(guò)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則|MN|＝eq \f(1,2)(|AC|＋|BD|)＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)|AB|.
所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．
思維升華 (1)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問(wèn)題更是如此．
(1)(2016·全國(guó)乙卷)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4eq \r(2)，|DE|＝2eq \r(5)，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為( )
A．2B．4C．6D．8
(2)(2016·昆明三中、玉溪一中統(tǒng)考)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A、B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AFB＝120°.過(guò)弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則eq \f(|MN|,|AB|)的最大值為( )
A.eq \f(\r(3),3)B．1C.eq \f(2\r(3),3)D．2
答案 (1)B (2)A
解析 (1)不妨設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)，則圓的方程可設(shè)為x2＋y2＝r2(r>0)，如圖，
又可設(shè)A(x0,2eq \r(2))，
Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，\r(5)))，
點(diǎn)A(x0,2eq \r(2))在拋物線y2＝2px上，∴8＝2px0，①
點(diǎn)A(x0,2eq \r(2))在圓x2＋y2＝r2上，∴xeq \\al(2,0)＋8＝r2，②
點(diǎn)Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，\r(5)))在圓x2＋y2＝r2上，
∴5＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)))2＝r2，③
聯(lián)立①②③，解得p＝4，即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p＝4，故選B.
(2)設(shè)|AF|＝a，|BF|＝b，分別過(guò)A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為Q、P，
由拋物線的定義知，|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，
在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.
|AB|2＝a2＋b2－2abcs120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab.
又ab≤(eq \f(a＋b,2))2，
所以(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－eq \f(1,4)(a＋b)2＝eq \f(3,4)(a＋b)2，
得到|AB|≥eq \f(\r(3),2)(a＋b)，
所以eq \f(|MN|,|AB|)≤eq \f(\f(1,2)?a＋b?,\f(\r(3),2)?a＋b?)＝eq \f(\r(3),3)，
即eq \f(|MN|,|AB|)的最大值為eq \f(\r(3),3).
題型三 直線與拋物線的綜合問(wèn)題
命題點(diǎn)1 直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題
例4 已知拋物線C：y2＝8x與點(diǎn)M(－2,2)，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A、B兩點(diǎn)．若eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝0，則k＝________.
答案 2
解析 拋物線C的焦點(diǎn)為F(2,0)，則直線方程為y＝k(x－2)，與拋物線方程聯(lián)立，消去y化簡(jiǎn)得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
則x1＋x2＝4＋eq \f(8,k2)，x1x2＝4.
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝eq \f(8,k)，
y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.
因?yàn)閑q \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，
將上面各個(gè)量代入，化簡(jiǎn)得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.
命題點(diǎn)2 與拋物線弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題
例5 (2016·全國(guó)丙卷)已知拋物線C：y2＝2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)．
(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程．
(1)證明 由題意知，F(xiàn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，設(shè)l1：y＝a，l2：y＝b，則ab≠0，
且Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,2)，a))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,2)，b))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，a))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，b))，
Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(a＋b,2))).
記過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線為l，則l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0.
由于F在線段AB上，故1＋ab＝0.
記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則k1＝eq \f(a－b,1＋a2)＝eq \f(a－b,a2－ab)＝eq \f(1,a)＝－eq \f(ab,a)＝－b＝eq \f(b－0,－\f(1,2)－\f(1,2))＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)解 設(shè)過(guò)AB的直線為l，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0)，
則S△ABF＝eq \f(1,2)|b－a||FD|＝eq \f(1,2)|b－a|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,2)))，
S△PQF＝eq \f(|a－b|,2).
由題意可得|b－a|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,2)))＝eq \f(|a－b|,2)，所以x1＝1，x1＝0(舍去)．
設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x，y)．
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由kAB＝kDE可得eq \f(2,a＋b)＝eq \f(y,x－1)(x≠1)．而eq \f(a＋b,2)＝y(tǒng)，所以y2＝x－1(x≠1)．
當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D重合，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，
所以，所求軌跡方程為y2＝x－1(x≠1)．
思維升華 (1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．
(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．
(3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法．
提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解．
(2017·北京東城區(qū)質(zhì)檢)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線y＝4與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且|QF|＝eq \f(5,4)|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)過(guò)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點(diǎn)，且A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上，求l的方程．
解 (1)設(shè)Q(x0,4)，代入y2＝2px，得x0＝eq \f(8,p).
所以|PQ|＝eq \f(8,p)，|QF|＝eq \f(p,2)＋x0＝eq \f(p,2)＋eq \f(8,p).
由題設(shè)得eq \f(p,2)＋eq \f(8,p)＝eq \f(5,4)×eq \f(8,p)，
解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以C的方程為y2＝4x.
(2)依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直，
故可設(shè)l的方程為x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故AB的中點(diǎn)為D(2m2＋1,2m)，
|AB|＝eq \r(m2＋1)|y1－y2|＝4(m2＋1)．
又l′的斜率為－m，所以l′的方程為x＝－eq \f(1,m)y＋2m2＋3.
將上式代入y2＝4x，并整理得y2＋eq \f(4,m)y－4(2m2＋3)＝0.
設(shè)M(x3，y3)，N(x4，y4)，
則y3＋y4＝－eq \f(4,m)，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故MN的中點(diǎn)為E(eq \f(2,m2)＋2m2＋3，－eq \f(2,m))，
|MN|＝eq \r(1＋\f(1,m2))|y3－y4|＝eq \f(4?m2＋1?\r(2m2＋1),m2)，
由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于|AE|＝|BE|＝eq \f(1,2)|MN|，
從而eq \f(1,4)|AB|2＋|DE|2＝eq \f(1,4)|MN|2，
即4(m2＋1)2＋(2m＋eq \f(2,m))2＋(eq \f(2,m2)＋2)2
＝eq \f(4?m2＋1?2?2m2＋1?,m4)，
化簡(jiǎn)得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.
所求直線l的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
7．直線與圓錐曲線問(wèn)題的求解策略
典例 (12分)已知拋物線C：y＝mx2(m>0)，焦點(diǎn)為F，直線2x－y＋2＝0交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q.
(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若拋物線C上有一點(diǎn)R(xR,2)到焦點(diǎn)F的距離為3，求此時(shí)m的值；
(3)是否存在實(shí)數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
思維點(diǎn)撥 (3)中證明eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))＝0.
解 (1)∵拋物線C：x2＝eq \f(1,m)y，∴它的焦點(diǎn)F(0，eq \f(1,4m))．[2分]
(2)∵|RF|＝y(tǒng)R＋eq \f(1,4m)，∴2＋eq \f(1,4m)＝3，得m＝eq \f(1,4).[4分]
(3)存在，聯(lián)立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝mx2，,2x－y＋2＝0，))
消去y得mx2－2x－2＝0，
依題意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0?m>－eq \f(1,2).[6分]
設(shè)A(x1，mxeq \\al(2,1))，B(x2，mxeq \\al(2,2))，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(2,m)，,x1·x2＝－\f(2,m).))(*)
∵P是線段AB的中點(diǎn)，∴P(eq \f(x1＋x2,2)，eq \f(mx\\al(2,1)＋mx\\al(2,2),2))，
即P(eq \f(1,m)，yP)，∴Q(eq \f(1,m)，eq \f(1,m))．[8分]
得eq \(QA,\s\up6(→))＝(x1－eq \f(1,m)，mxeq \\al(2,1)－eq \f(1,m))，eq \(QB,\s\up6(→))＝(x2－eq \f(1,m)，mxeq \\al(2,2)－eq \f(1,m))，
若存在實(shí)數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))＝0，
即(x1－eq \f(1,m))·(x2－eq \f(1,m))＋(mxeq \\al(2,1)－eq \f(1,m))(mxeq \\al(2,2)－eq \f(1,m))＝0，[10分]
結(jié)合(*)化簡(jiǎn)得－eq \f(4,m2)－eq \f(6,m)＋4＝0，
即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－eq \f(1,2)，
而2∈(－eq \f(1,2)，＋∞)，－eq \f(1,2)?(－eq \f(1,2)，＋∞)．
∴存在實(shí)數(shù)m＝2，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形．[12分]
解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟：
第一步：聯(lián)立方程，得關(guān)于x或y的一元二次方程；
第二步：寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系，并求出Δ>0時(shí)參數(shù)范圍(或指出直線過(guò)曲線內(nèi)一點(diǎn))；
第三步：根據(jù)題目要求列出關(guān)于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的關(guān)系式，求得結(jié)果；
第四步：反思回顧，查看有無(wú)忽略特殊情況．

1．(2017·昆明調(diào)研)已知拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，經(jīng)過(guò)F的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，如果eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－12，那么拋物線C的方程為( )
A．x2＝8yB．x2＝4y
C．y2＝8xD．y2＝4x
答案 C
解析 由題意，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，直線方程為x＝my＋eq \f(p,2)，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,x＝my＋\f(p,2)，))消去x得y2－2pmy－p2＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，
得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(my1＋eq \f(p,2))(my2＋eq \f(p,2))＋y1y2＝m2y1y2＋eq \f(pm,2)(y1＋y2)＋eq \f(p2,4)＋y1y2＝－eq \f(3,4)p2＝－12?p＝4，
即拋物線C的方程為y2＝8x.
2．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( )
A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2
答案 B
解析 ∵y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq \f(p,2)，0)，
∴過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y＝x－eq \f(p,2)，
即x＝y(tǒng)＋eq \f(p,2)，將其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，
即y2－2py－p2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1＋y2＝2p，∴eq \f(y1＋y2,2)＝p＝2，
∴拋物線的方程為y2＝4x，其準(zhǔn)線方程為x＝－1.
3．(2016·上饒四校聯(lián)考)設(shè)拋物線C：y2＝3px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，則拋物線C的方程為( )
A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
答案 C
解析 ∵拋物線C：y2＝3px(p>0)的焦點(diǎn)為F(eq \f(3p,4)，0)，
∴|OF|＝eq \f(3p,4)，
∵以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，設(shè)A(0,2)，連接AF，AM，可得AF⊥AM，在Rt△AOF中，|AF|＝eq \r(4＋\f(9p2,16))，
∴sin∠OAF＝eq \f(|OF|,|AF|)＝eq \f(\f(3p,4),\r(4＋\f(9p2,16)))，
根據(jù)拋物線的定義，得直線AO切以MF為直徑的圓于點(diǎn)A，
∴∠OAF＝∠AMF，可得在Rt△AMF中，sin∠AMF＝eq \f(|AF|,|MF|)＝eq \f(\f(3p,4),\r(4＋\f(9p2,16)))，
∵|MF|＝5，|AF|＝eq \r(4＋\f(9p2,16))，
∴eq \f(\r(4＋\f(9p2,16)),5)＝eq \f(\f(3p,4),\r(4＋\f(9p2,16)))，
整理得4＋eq \f(9p2,16)＝eq \f(15p,4)，解得p＝eq \f(4,3)或p＝eq \f(16,3)，
∴C的方程為y2＝4x或y2＝16x.
4．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \f(y1y2,x1x2)的值一定等于( )
A．－4B．4C．p2D．－p2
答案 A
解析 ①若焦點(diǎn)弦AB⊥x軸，
則x1＝x2＝eq \f(p,2)，∴x1x2＝eq \f(p2,4)；
∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，
∴eq \f(y1y2,x1x2)＝－4.
②若焦點(diǎn)弦AB不垂直于x軸，
可設(shè)AB的直線方程為y＝k(x－eq \f(p,2))，
聯(lián)立y2＝2px，得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq \f(p2k2,4)＝0，
則x1x2＝eq \f(p2,4).
∴y1y2＝－p2.故eq \f(y1y2,x1x2)＝－4.
5.如圖，過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為( )
A．y2＝9x
B．y2＝6x
C．y2＝3x
D．y2＝eq \r(3)x
答案 C
解析 如圖，
分別過(guò)A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由拋物線的定義知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，
∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，連接A1F，則△AA1F為等邊三角形，過(guò)F作FF1⊥AA1于F1，則F1為AA1的中點(diǎn)，設(shè)l交x軸于K，則|KF|＝|A1F1|＝eq \f(1,2)|AA1|＝eq \f(1,2)|AF|，即p＝eq \f(3,2)，∴拋物線方程為y2＝3x.故選C.
6．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(x，y)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A(－1,0)，則eq \f(|PF|,|PA|)的最小值是( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(\r(2),2)C.eq \f(\r(3),2)D.eq \f(2\r(2),3)
答案 B
解析 拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，
如圖，
過(guò)P作PN垂直直線x＝－1于N，
由拋物線的定義可知|PF|＝|PN|，連接PA，
在Rt△PAN中，sin∠PAN＝eq \f(|PN|,|PA|)，
當(dāng)eq \f(|PN|,|PA|)＝eq \f(|PF|,|PA|)最小時(shí)，sin∠PAN最小，
即∠PAN最小，即∠PAF最大，
此時(shí)，PA為拋物線的切線，設(shè)PA的方程為y＝k(x＋1)，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k?x＋1?，,y2＝4x，))得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，
解得k＝±1，所以∠PAF＝∠NPA＝45°，
eq \f(|PF|,|PA|)＝eq \f(|PN|,|PA|)＝cs∠NPA＝eq \f(\r(2),2)，故選B.
7．設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.
答案 12
解析 焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，
方法一 直線AB的斜率為eq \f(\r(3),3)，
所以直線AB的方程為y＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，
即y＝eq \f(\r(3),3)x－eq \f(\r(3),4)，代入y2＝3x，得eq \f(1,3)x2－eq \f(7,2)x＋eq \f(3,16)＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq \f(21,2)，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(21,2)＋eq \f(3,2)＝12.
方法二 由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得
|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(3,sin230°)＝12.
8．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為l，過(guò)M(1,0)且斜率為eq \r(3)的直線與l相交于點(diǎn)A，與C的一個(gè)交點(diǎn)為B，若eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))，則p＝________.
答案 2
解析 如圖，
由AB的斜率為eq \r(3)，
知∠α＝60°，又eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))，
∴M為AB的中點(diǎn)．
過(guò)點(diǎn)B作BP垂直準(zhǔn)線l于點(diǎn)P，
則∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，
∴|BP|＝eq \f(1,2)|AB|＝|BM|.
∴M為焦點(diǎn)，即eq \f(p,2)＝1，∴p＝2.
9．已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為eq \f(1,2)，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|＝________.
答案 6
解析 拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，
準(zhǔn)線方程為x＝－2.
設(shè)橢圓方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由題意，c＝2，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
可得a＝4，b2＝16－4＝12.
故橢圓方程為eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
把x＝－2代入橢圓方程，解得y＝±3.
從而|AB|＝6.
*10.設(shè)直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，與圓(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn)．若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是________________．
答案 (2,4)
解析 如圖，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2，))
兩式相減得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
當(dāng)l的斜率k不存在時(shí)，符合條件的直線l必有兩條．
當(dāng)k存在時(shí)，x1≠x2，
則有eq \f(y1＋y2,2)·eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2，
又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2.
由CM⊥AB，得k·eq \f(y0－0,x0－5)＝－1，
即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3，
即M必在直線x＝3上．將x＝3代入y2＝4x，
得y2＝12，則有－2eq \r(3)0)
p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離
圖形
頂點(diǎn)
O(0,0)
對(duì)稱軸
y＝0
x＝0
焦點(diǎn)
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
離心率
e＝1
準(zhǔn)線方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開(kāi)口方向
向右
向左
向上
向下

相關(guān)學(xué)案

備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第八章平面解析幾何第7講拋物線：

這是一份備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第八章平面解析幾何第7講拋物線，共6頁(yè)。

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章第8課時(shí)拋物線學(xué)案：

這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章第8課時(shí)拋物線學(xué)案，共30頁(yè)。

2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章第7節(jié)拋物線學(xué)案：

這是一份2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章第7節(jié)拋物線學(xué)案，共20頁(yè)。學(xué)案主要包含了教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)，基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章第7節(jié)拋物線學(xué)案

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章第7節(jié)拋物線學(xué)案
高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第9章9.7拋物線學(xué)案

高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第9章9.7拋物線學(xué)案
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章解析幾何第7講拋物線學(xué)案

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章解析幾何第7講拋物線學(xué)案
2022版江蘇高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第8章 第7節(jié)　拋物線 Word版含答案學(xué)案

2022版江蘇高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第8章 第7節(jié)　拋物線 Word版含答案學(xué)案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部