1.簡單隨機(jī)抽樣
(1)抽取方式：逐個(gè)不放回抽取；
(2)特點(diǎn)：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等；
(3)常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.
? 利用隨機(jī)數(shù)表抽樣時(shí)，①選定的初始數(shù)和讀數(shù)的方向是任意的；②對各個(gè)個(gè)體編號要視總體中的個(gè)體數(shù)情況而定，且必須保證所編號碼的位數(shù)一致.
2.分層抽樣
(1)在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣.
(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣.
利用分層抽樣要注意按比例抽取，若各層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)不都是整數(shù)，則應(yīng)當(dāng)調(diào)整各層容量，即先剔除各層中“多余”的個(gè)體.
3.系統(tǒng)抽樣
(1)系統(tǒng)抽樣適用于元素個(gè)數(shù)很多且均衡的總體.
(2)系統(tǒng)抽樣的步驟
假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本.
①先將總體的N個(gè)個(gè)體編號；
②確定分段間隔k，對編號進(jìn)行分段.當(dāng)(n是樣本容量)是整數(shù)時(shí)，取k＝；
③在第1段用簡單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號l(l≤k)；
④按照一定的規(guī)則抽取樣本.通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號l＋k，再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號l＋2k，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本.
4.作頻率分布直方圖的步驟
(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；
(2)決定組距與組數(shù)；
(3)將數(shù)據(jù)分組；
(4)列頻率分布表；
(5)畫頻率分布直方圖.
5.頻率分布折線圖和總體密度曲線
(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖.
(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.
6.莖葉圖
統(tǒng)計(jì)中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù).
7.標(biāo)準(zhǔn)差和方差
(1)標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離.
(2)標(biāo)準(zhǔn)差：
s＝ .
(3)方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
(xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，是樣本平均數(shù)).
1.標(biāo)準(zhǔn)差與方差的特點(diǎn)
反映了各個(gè)樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周圍的程度.標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的兩邊越分散.
2.平均數(shù)、方差的公式推廣
(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是m\x\to(x)＋a.,(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.,①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；,②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.
[小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]
一、判斷題(對的打“√”，錯(cuò)的打“×”)
(1)在簡單隨機(jī)抽樣中，某一個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與第幾次抽取有關(guān)，第一次被抽到的可能性最大.(　　)
(2)分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān).(　　)
(3)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.(　　)
(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大的順序?qū)懀嗤臄?shù)據(jù)可以只記一次.(　　)
(5)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù).(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
二、選填題
1.為了了解某地參加計(jì)算機(jī)水平測試的5 000名學(xué)生的成績，從中抽取了200名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.在這個(gè)問題中，這200名學(xué)生成績的全體是(　　)
A.總體　　　　　　　　　 B.個(gè)體
C.從總體中抽取的一個(gè)樣本 D.樣本容量
解析：選C　根據(jù)隨機(jī)抽樣的概念可知選C.
2.某學(xué)校為調(diào)查高三年級的240名學(xué)生完成課后作業(yè)所需的時(shí)間，采取了兩種抽樣調(diào)查方式：第一種由學(xué)生會的同學(xué)隨機(jī)抽取24名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查；第二種由教務(wù)處對高三年級的學(xué)生進(jìn)行編號，從001到240，抽取學(xué)號最后一位為3的同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，則這兩種抽樣方法依次為(　　)
A.分層抽樣，簡單隨機(jī)抽樣
B.簡單隨機(jī)抽樣，分層抽樣
C.分層抽樣，系統(tǒng)抽樣
D.簡單隨機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣
解析：選D　由三種抽樣方法的定義可知，題中第一種方法為簡單隨機(jī)抽樣，第二種為系統(tǒng)抽樣.
3.為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是(　　)
A.x1，x2，…，xn的平均數(shù) B.x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差
C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位數(shù)
解析：選B　統(tǒng)計(jì)問題中，體現(xiàn)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度的指標(biāo)為數(shù)據(jù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差.故選B.
4.某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為3∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取________名學(xué)生.
解析：設(shè)應(yīng)從高二年級抽取x名學(xué)生，則＝，
解得x＝15.
答案：15
5.如圖是某班8位學(xué)生詩詞比賽得分的莖葉圖，那么這8位學(xué)生得分的眾數(shù)和中位數(shù)分別為________.
解析：依題意，結(jié)合莖葉圖，將題中的數(shù)由小到大依次排列得到：86,86,90,91,93,93,93,96，因此這8位學(xué)生得分的眾數(shù)是93，中位數(shù)是＝92.
答案：93　92


[題組練透]
1.利用簡單隨機(jī)抽樣，從n個(gè)個(gè)體中抽取一個(gè)容量為10的樣本.若第二次抽取時(shí)，余下的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為，則在整個(gè)抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：選C　根據(jù)題意，＝，解得n＝28.
故在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為＝.
2.福利彩票“雙色球”中紅球的號碼可以從01,02,03，…，32,33這33個(gè)兩位號碼中選取，小明利用如下所示的隨機(jī)數(shù)表選取紅色球的6個(gè)號碼，選取方法是從第1行第9列的數(shù)字開始，從左到右依次讀取數(shù)據(jù)，則第四個(gè)被選中的紅色球的號碼為(　　)
81
47
23
68
63
93
17
90
12
69
86
81
62
93
50
60
91
33
75
85
61
39
85
06
32
35
92
46
22
54
10
02
78
49
82
18
86
70
48
05
46
88
15
19
20
49

A.12 B.33
C.06 D.16
解析：選C　被選中的紅色球的號碼依次為17,12,33,06,32,22.所以第四個(gè)被選中的紅色球的號碼為06.
3.利用系統(tǒng)抽樣法從編號分別為1,2,3，…，80的80件不同產(chǎn)品中抽取一個(gè)容量為16的樣本，如果抽出的產(chǎn)品中有一件產(chǎn)品的編號為13，則抽到產(chǎn)品的最大編號為(　　)
A.73 B.78
C.77 D.76
解析：選B　樣本的分段間隔為＝5，所以13號在第三組，則最大的編號為13＋(16－3)×5＝78.
4.某電視臺在因特網(wǎng)上就觀眾對其某一節(jié)目的喜愛程度進(jìn)行調(diào)查，參加調(diào)查的一共有20 000人，其中各種態(tài)度對應(yīng)的人數(shù)如下表所示：
最喜愛
喜愛
一般
不喜歡
4 800
7 200
6 400
1 600

電視臺為了了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽取100人進(jìn)行詳細(xì)的調(diào)查，為此要進(jìn)行分層抽樣，那么在分層抽樣時(shí)，每類人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為(　　)
A.25,25,25,25 B.48,72,64,16
C.20,40,30,10 D.24,36,32,8
解析：選D　因?yàn)槌闃颖葹椋剑悦款惾酥袘?yīng)抽取的人數(shù)分別為4 800×＝24,7 200×＝36，6 400×＝32,1 600×＝8.
5.為了了解高一、高二、高三學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為1 200的樣本，三個(gè)年級學(xué)生人數(shù)之比依次為k∶5∶3，已知高一年級共抽取了240人，則高三年級抽取的人數(shù)為________.
解析：因?yàn)楦咭荒昙壋槿W(xué)生的比例為＝，所以＝，解得k＝2，故高三年級抽取的人數(shù)為1 200×＝360.
答案：360
[名師微點(diǎn)]
1.應(yīng)用隨機(jī)數(shù)法的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
(1)確定以表中的哪個(gè)數(shù)(哪行哪列)為起點(diǎn)，以哪個(gè)方向?yàn)樽x數(shù)的方向；
(2)讀數(shù)時(shí)注意結(jié)合編號特點(diǎn)進(jìn)行讀取，若編號為兩位數(shù)字，則兩位兩位地讀取，若編號為三位數(shù)字，則三位三位地讀取，有超過總體號碼或出現(xiàn)重復(fù)號碼的數(shù)字舍去，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個(gè)樣本.
2.解決分層抽樣題的關(guān)鍵
先確定抽樣比，然后把各層個(gè)體數(shù)乘以抽樣比，即得各層要抽取的個(gè)體數(shù).常用公式：
(1)抽樣比＝＝；
(2)層1的容量∶層2的容量∶層3的容量＝樣本中層1的容量∶樣本中層2的容量∶樣本中層3的容量.

[典例精析]
我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，一位居民的月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求直方圖中a的值；
(2)設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；
(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，估計(jì)x的值，并說明理由.
[解]　(1)由頻率分布直方圖知，月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.08×0.5＝0.04，
同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的頻率分別為0.08，0.20，0.26,0.06,0.04,0.02.
由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，
解得a＝0.30.
(2)由(1)可知，100位居民中每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12.
根據(jù)樣本中的頻率，可以估計(jì)全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 000×0.12＝36 000.
(3)因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88＞0.85，
前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73＜0.85，
所以2.5≤x＜3.
由0.30×(x－2.5)＝0.85－0.73，
解得x＝2.9.
所以估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn).
[解題技法]
1.謹(jǐn)記頻率分布直方圖的相關(guān)公式
(1)直方圖中各小長方形的面積之和為1.
(2)直方圖中縱軸表示，故每組樣本的頻率為組距×，即矩形的面積.
(3)直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總數(shù).
2.頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計(jì)算
(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).
(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.
(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.
[過關(guān)訓(xùn)練]
1.(2019·貴陽模擬)在某中學(xué)舉行的環(huán)保知識競賽中，將三個(gè)年級參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分為5組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五小組，已知第二小組的頻數(shù)是40，則成績在80～100分的學(xué)生人數(shù)是(　　)

A.15　　　　　　　　　 B.18
C.20 D.25
解析：選A　根據(jù)頻率分布直方圖，得第二小組的頻率是0.040×10＝0.4，∵頻數(shù)是40，∴樣本容量是＝100，又成績在80～100分的頻率是(0.010＋0.005)×10＝0.15，∴成績在80～100分的學(xué)生人數(shù)是100×0.15＝15.
2.某網(wǎng)絡(luò)營銷部門隨機(jī)抽查了某市200名網(wǎng)友在2018年11月11日的網(wǎng)購金額，所得數(shù)據(jù)如下表：
網(wǎng)購金額(單位：千元)
人數(shù)
頻率
(0,1]
16
0.08
(1,2]
24
0.12
(2,3]
x
p
(3,4]
y
q
(4,5]
16
0.08
(5,6]
14
0.07
總計(jì)
200
1.00

已知網(wǎng)購金額不超過3千元與超過3千元的人數(shù)比恰為3∶2.
(1)試確定x，y，p，q的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖)；

(2)該營銷部門為了了解該市網(wǎng)友的購物體驗(yàn)，從這200名網(wǎng)友中，用分層抽樣的方法從網(wǎng)購金額在(1,2]和(4,5]的兩個(gè)群體中確定5人進(jìn)行問卷調(diào)查，若需從這5人中隨機(jī)選取2人繼續(xù)訪談，則此2人來自不同群體的概率是多少？
解：(1)根據(jù)題意有
解得∴p＝0.40，q＝0.25.
補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示.

(2)根據(jù)題意，抽取網(wǎng)購金額在(1,2]內(nèi)的人數(shù)為
×5＝3(人).
抽取網(wǎng)購金額在(4,5]內(nèi)的人數(shù)為×5＝2(人).
故此2人來自不同群體的概率P＝＝.

[典例精析]
某良種培育基地正在培育一小麥新品種A，將其與原有的一個(gè)優(yōu)良品種B進(jìn)行對照試驗(yàn)，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)(單位：千克)如下.
品種A：
357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454
品種B：
363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430
(1)作出品種A與B畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)的莖葉圖；
(2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點(diǎn)？
(3)通過觀察莖葉圖，對品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計(jì)結(jié)論.
[解]　(1)畫出莖葉圖如圖所示.

(2)由于每個(gè)品種的數(shù)據(jù)都只有25個(gè)，樣本容量不大，畫莖葉圖很方便；此時(shí)莖葉圖不僅清晰明了地展示了數(shù)據(jù)的分布情況，便于比較，沒有任何信息損失，而且可以隨時(shí)記錄新的數(shù)據(jù).
(3)通過觀察莖葉圖可以看出：①品種A的畝產(chǎn)量的平均數(shù)(或均值)比品種B高；②品種A的畝產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)比品種B大，故品種A的畝產(chǎn)量的穩(wěn)定性較差.
[解題技法]
莖葉圖的使用策略
(1)莖葉圖的繪制需注意：
①“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；
②重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置上的數(shù)據(jù).
(2)莖葉圖通常用來記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來分析單組數(shù)據(jù)，也可以用來比較兩組數(shù)據(jù).通過莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個(gè)莖，數(shù)據(jù)是否關(guān)于該莖對稱，數(shù)據(jù)分布是否均勻等.

[過關(guān)訓(xùn)練]
1.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件).若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為(　　)
A.3,5　　　　　　　　 B.5,5
C.3,7 D.5,7
解析：選A　甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65，由甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，得y＝5.又甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均值相等，
∴×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3.故選A.
2.某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場比賽的得分如莖葉圖所示.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　)

A.乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)是36
B.甲運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮的穩(wěn)定性比乙運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮的穩(wěn)定性差
C.甲運(yùn)動(dòng)員的平均分為27分
D.乙運(yùn)動(dòng)員的得分有集中在莖3上
解析：選C　從莖葉圖知，A、D是正確的，乙運(yùn)動(dòng)員的得分較集中，甲運(yùn)動(dòng)員得分較分散，故B是正確的，甲運(yùn)動(dòng)員得分的平均分為＜27.故選C.

[典例精析]
某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)的400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)按[20,30)，[30,40)，…，[80,90]分成7組，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)估計(jì)總體的眾數(shù)；
(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)；
(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女學(xué)生人數(shù)相等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.
[解]　(1)由頻率分布直方圖可估計(jì)總體的眾數(shù)為＝75.
(2)由頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[50,90)內(nèi)的人數(shù)為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10×100＝90.
因?yàn)闃颖局蟹謹(jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，
所以樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為100－90－5＝5.
設(shè)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為x，
則＝，解得x＝20，
故估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為20.
(3)由頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的人數(shù)為(0.04＋0.02)×10×100＝60.
因?yàn)闃颖局蟹謹(jǐn)?shù)不小于70的男女學(xué)生人數(shù)相等，
所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為30.
因?yàn)闃颖局杏幸话肽猩姆謹(jǐn)?shù)不小于70，所以樣本中男生的人數(shù)為60，女生的人數(shù)為40.
由樣本估計(jì)總體，得總體中男生和女生人數(shù)的比例約為3∶2.
[解題技法]
利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)
(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.
(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.
[過關(guān)訓(xùn)練]
1.甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則(　　)

A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)
B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)
C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差
D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差
解析：選C　甲的平均數(shù)是＝6，中位數(shù)是6，極差是4，方差是＝2；乙的平均數(shù)是＝6，中位數(shù)是5，極差是4，方差是＝，比較可得選項(xiàng)C正確.
2.已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，則數(shù)據(jù)2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的標(biāo)準(zhǔn)差為________.
解析：由s2＝(xi－)2＝2，則數(shù)據(jù)2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的方差是8，標(biāo)準(zhǔn)差為2.
答案：2
3.甲、乙兩人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測試成績(單位：分)如圖所示：

(1)分別求出甲、乙兩人成績的平均數(shù)與方差；
(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，對兩人的成績作出評價(jià).
解：(1)由題圖可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為
甲：10分，13分，12分，14分，16分；
乙：13分，14分，12分，12分，14分.
甲＝＝13, 乙＝＝13，
s＝×[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
s＝×[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2)由s＞s，可知乙的成績較穩(wěn)定.
從題圖看，甲的成績基本呈上升趨勢，而乙的成績上下波動(dòng)，因此甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高.

一、題點(diǎn)全面練
1.(2018·石家莊模擬)某校一年級有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為140的樣本，則此樣本中男生人數(shù)為(　　)
A.80　　　　　　　　　 B.120
C.160 D.240
解析：選A　因?yàn)槟猩团谋壤秊?60∶420＝4∶3，樣本容量為140，所以應(yīng)該抽取男生的人數(shù)為140×＝80，故選A.
2.一個(gè)總體中有600個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號為001,002，…，600，利用系統(tǒng)抽樣方法抽取容量為24的一個(gè)樣本，總體分組后在第一組隨機(jī)抽得的編號為006，則在編號為051～125之間抽得的編號為(　　)
A.056,080,104 B.054,078,102
C.054,079,104 D.056,081,106
解析：選D　系統(tǒng)抽樣的間隔為＝25，
編號為051～125之間抽得的編號為
006＋2×25＝056,006＋3×25＝081,006＋4×25＝106.
3.(2019·天水模擬)甲、乙兩名同學(xué)6次考試的成績統(tǒng)計(jì)如圖所示，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為甲，乙，標(biāo)準(zhǔn)差分別為s甲，s乙，則(　　)

A.甲＜乙，s甲＜s乙 B.甲＜乙，s甲＞s乙
C.甲＞乙，s甲＜s乙 D.甲＞乙，s甲＞s乙
解析：選C　由圖可知，甲同學(xué)除第二次考試成績略低于乙同學(xué)外，其他考試成績都遠(yuǎn)高于乙同學(xué)，可知甲＞乙.圖中數(shù)據(jù)顯示甲同學(xué)的成績比乙同學(xué)穩(wěn)定，故s甲＜s乙.
4.(2019·中山模擬)某商場在國慶黃金周的促銷活動(dòng)中，對10月1日9時(shí)至14時(shí)的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示.已知9時(shí)至10時(shí)的銷售額為3萬元，則9時(shí)至14時(shí)的銷售總額為(　　)
A.10萬元 B.12萬元
C.15萬元 D.30萬元
解析：選D　由圖知，9時(shí)至10時(shí)的銷售額頻率為0.1，因此9時(shí)至14時(shí)的銷售總額為＝30(萬元)，故選D.
5.(2019·昆明調(diào)研)如圖是1951～2016年我國的年平均氣溫變化的折線圖.根據(jù)圖中信息，下列結(jié)論正確的是(　　)

A.1951年以來，我國的年平均氣溫逐年增高
B.1951年以來，我國的年平均氣溫在2016年再創(chuàng)新高
C.2000年以來，我國每年的年平均氣溫都高于1981～2010年的平均值
D.2000年以來，我國的年平均氣溫的平均值高于1981～2010年的平均值
解析：選D　由圖可知，1951年以來，我國的年平均氣溫變化是有起伏的，不是逐年增高的，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；1951年以來，我國的年平均氣溫最高的不是2016年，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；2012年的年平均氣溫低于1981～2010年的平均值，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；2000年以來，我國的年平均氣溫的平均值高于1981～2010年的平均值，所以選項(xiàng)D正確.故選D.
6.樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為0,1,2,3，m.若該樣本的平均值為1，則其方差為(　　)
A. B.
C. D.2
解析：選D　依題意得m＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，樣本方差s2＝[(－1)2＋02＋12＋22＋(－2)2]＝2，即所求的樣本方差為2.
7.(2018·南寧模擬)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示.為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為(　　)

A.100,20 B.200,20
C.200,10 D.100,10
解析：選B　由題圖甲可知學(xué)生總?cè)藬?shù)是10 000，樣本容量為10 000×2%＝200，抽取的高中生人數(shù)是2 000×2%＝40，由題圖乙可知高中生的近視率為50%，所以高中生的近視人數(shù)為40×50%＝20，故選B.
8.為了了解某校高三美術(shù)生的身體狀況，抽查了部分美術(shù)生的體重，將所得數(shù)據(jù)整理后，作出了如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1∶3∶5，第2個(gè)小組的頻數(shù)為15，則被抽查的美術(shù)生的人數(shù)是________.

解析：設(shè)被抽查的美術(shù)生的人數(shù)為n，因?yàn)楹?個(gè)小組的頻率之和為(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25，所以前3個(gè)小組的頻率之和為0.75.又前3個(gè)小組的頻率之比為1∶3∶5，第2個(gè)小組的頻數(shù)為15，所以前3個(gè)小組的頻數(shù)分別為5,15,25，所以n＝＝60.
答案：60
9.隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)絡(luò)購物越來越受到人們的青睞，某研究性學(xué)習(xí)小組對使用智能手機(jī)的利與弊隨機(jī)調(diào)查了10位同學(xué)，得到的滿意度打分如莖葉圖所示.若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)分別為a，b，則a，b的大小關(guān)系是________.
解析：已知莖葉圖中的數(shù)據(jù)分別為75,76,77,81,83,87,89,93,94,95，則中位數(shù)a＝×(83＋87)＝85，平均數(shù)b＝×(75＋76＋77＋81＋83＋87＋89＋93＋94＋95)＝85，故a＝b.
答案：a＝b
10.將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91.現(xiàn)場作的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有1個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以x表示，則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為________.

解析：由圖可知去掉的兩個(gè)數(shù)是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.故s2＝[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝.
答案：
二、專項(xiàng)培優(yōu)練
(一)易錯(cuò)專練——不丟怨枉分
1.設(shè)某總體是由編號為01,02，…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第3列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第6個(gè)個(gè)體編號為________.
1818　0792　4544　1716　5809　7983　8619
6206　7650　0310　5523　6405　0526　6238
解析：由題意可得，選取的這6個(gè)個(gè)體分別為18,07,17,16,09,19，故選出的第6個(gè)個(gè)體編號為19.
答案：19
2.已知一組正數(shù)x1，x2，x3，x4的方差s2＝(x＋x＋x＋x－16)，則數(shù)據(jù)x1＋2，x2＋2，x3＋2，x4＋2的平均數(shù)為________.
解析：設(shè)正數(shù)x1，x2，x3，x4的平均數(shù)為，則s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋(x3－)2＋(x4－)2]，得s2＝(x＋x＋x＋x)－2，又已知s2＝(x＋x＋x＋x－16)＝(x＋x＋x＋x)－4，所以2＝4，所以＝2，故[(x1＋2)＋(x2＋2)＋(x3＋2)＋(x4＋2)]＝＋2＝4.
答案：4
(二)交匯專練——融會巧遷移
3.[與概率的交匯]如圖是某位籃球運(yùn)動(dòng)員8場比賽得分的莖葉圖，其中一個(gè)數(shù)據(jù)染上污漬用x代替，那么這位運(yùn)動(dòng)員這8場比賽的得分平均數(shù)不小于得分中位數(shù)的概率為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選B　由莖葉圖可知0≤x≤9且x∈N，中位數(shù)是＝，這位運(yùn)動(dòng)員這8場比賽的得分平均數(shù)為(7＋8＋7＋9＋x＋3＋1＋10×4＋20×2)＝(x＋115)，由(x＋115)≥，得3x≤7，即x＝0,1,2，所以這位運(yùn)動(dòng)員這8場比賽的得分平均數(shù)不小于得分中位數(shù)的概率為.
4.[與數(shù)列、不等式的交匯]我市某高中從高三年級甲、乙兩個(gè)班中各選出7名學(xué)生參加2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(河南初賽)，他們?nèi)〉玫某煽?滿分140分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生成績的中位數(shù)是81，乙班學(xué)生成績的平均數(shù)是86，若正實(shí)數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列且x，G，y成等比數(shù)列，則＋的最小值為(　　)
A. B.2
C. D.9
解析：選C　由甲班學(xué)生成績的中位數(shù)是81，可知81為甲班7名學(xué)生的成績按從小到大的順序排列的第4個(gè)數(shù)，故x＝1.由乙班學(xué)生成績的平均數(shù)為86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y－6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4.由x，G，y成等比數(shù)列，可得G2＝xy＝4，由正實(shí)數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以＋＝×＝≥×(5＋4)＝(當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時(shí)取等號).故＋的最小值為，選C.
(三)素養(yǎng)專練——學(xué)會更學(xué)通
5.[數(shù)據(jù)分析]PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物.如圖是根據(jù)環(huán)保部門某日早6點(diǎn)至晚9點(diǎn)在A縣、B縣兩個(gè)地區(qū)附近的PM2.5監(jiān)測點(diǎn)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)(單位：毫克/立方米)列出的莖葉圖，A縣、B縣兩個(gè)地區(qū)濃度的方差較小的是(　　)

A.A縣 B.B縣
C.A縣、B縣兩個(gè)地區(qū)相等 D.無法確定
解析：選A　根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)可知，A縣的數(shù)據(jù)都集中在0.05和0.08之間，數(shù)據(jù)分布比較穩(wěn)定，而B縣的數(shù)據(jù)分布比較分散，不如A縣數(shù)據(jù)集中，所以A縣的方差較小.
6.[數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析]有A，B，C，D，E五位工人參加技能競賽培訓(xùn).現(xiàn)分別從A，B二人在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取8次.用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)：

(1)A，B二人預(yù)賽成績的中位數(shù)分別是多少？
(2)現(xiàn)要從A，B中選派一人參加技能競賽，從平均狀況和方差的角度考慮，你認(rèn)為派哪位工人參加合適？請說明理由.
(3)若從參加培訓(xùn)的5位工人中選2人參加技能競賽，求A，B二人中至少有一人參加技能競賽的概率.
解：(1)A的中位數(shù)是＝84，B的中位數(shù)是＝83.
(2)派B參加比較合適.理由如下：
B＝(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，
A＝(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85，
s＝[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，
s＝[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，
因?yàn)锳＝B，但s＜ s，說明B穩(wěn)定，派B參加比較合適.
(3)A，B都沒參加技能競賽的概率P＝＝，故A，B二人中至少有一人參加技能競賽的概率為1－＝.
7.[數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模]今年西南一地區(qū)遭遇嚴(yán)重干旱，某鄉(xiāng)計(jì)劃向上級申請支援，為上報(bào)需水量，鄉(xiāng)長事先抽樣調(diào)查了100戶村民的月均用水量，得到這100戶村民月均用水量的頻率分布表如表：(月均用水量的單位：噸)
用水量分組
頻數(shù)
頻率
[0.5,2.5)
12

[2.5,4.5)


[4.5,6.5)
40

[6.5,8.5)

0.18
[8.5,10.5]
6

合計(jì)
100
1.00

(1)請完成該頻率分布表，并畫出相對應(yīng)的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖；
(2)估計(jì)樣本的中位數(shù)是多少；
(3)已知上級將按每戶月均用水量向該鄉(xiāng)調(diào)水，若該鄉(xiāng)共有1 200戶，請估計(jì)上級支援該鄉(xiāng)的月調(diào)水量是多少噸？
解：(1)頻率分布表與相應(yīng)的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖如下：
用水量分組
頻數(shù)
頻率
[0.5,2.5)
12
0.12
[2.5,4.5)
24
0.24
[4.5,6.5)
40
0.40
[6.5,8.5)
18
0.18
[8.5,10.5]
6
0.06
合計(jì)
100
1.00


(2)設(shè)中位數(shù)為x，因?yàn)樵戮盟吭赱0.5,4.5)內(nèi)的頻率是0.12＋0.24＝0.36，月均用水量在[0.5,6.5)內(nèi)的頻率是0.12＋0.24＋0.40＝0.76，所以x∈[4.5,6.5)，則(x－4.5)×0.2＝0.5－0.36，解得x＝5.2.
故中位數(shù)是5.2.
(3)該鄉(xiāng)每戶月均用水量估計(jì)為
1.5×0.12＋3.5×0.24＋5.5×0.40＋7.5×0.18＋9.5×0.06＝5.14，
由5.14×1 200＝6 168，知上級支援該鄉(xiāng)的月調(diào)水量是6 168噸.


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