1.變量間的相關(guān)關(guān)系
(1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.
(2)從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點(diǎn)散布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān).
2.兩個變量的線性相關(guān)
(1)從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.
(2)回歸方程為＝x＋?，其中＝＝， ＝－.
(3)通過求的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法.
(4)相關(guān)系數(shù)：
當(dāng)r＞0時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時，表明兩個變量負(fù)相關(guān).
r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).r的絕對值越接近于0時，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常|r|大于0.75時，認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.?
3.獨(dú)立性檢驗

y1
y2
總計
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
總計
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為
K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量).
相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系異同點(diǎn)
共同點(diǎn)：二者都是指兩個變量間的關(guān)系.
不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，體現(xiàn)的是因果關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，體現(xiàn)的不一定是因果關(guān)系，可能是伴隨關(guān)系.
回歸直線＝x＋必過樣本點(diǎn)的中心(，)，這個結(jié)論既是檢驗所求回歸直線方程是否準(zhǔn)確的依據(jù)，也是求參數(shù)的一個依據(jù).
r的符號表明兩個變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；|r|的大小表示線性相關(guān)性的強(qiáng)弱.
獨(dú)立性檢驗是對兩個變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對其是否有關(guān)系的判斷.
[小題查驗基礎(chǔ)]
一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)散點(diǎn)圖是判斷兩個變量是否相關(guān)的一種重要方法和手段.(　　)
(2)回歸直線方程＝x＋至少經(jīng)過點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個點(diǎn).(　　)
(3)若事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值越小.(　　)
(4)兩個變量的相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，它們的相關(guān)性越強(qiáng).(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
二、選填題
1.已知變量x，y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其散點(diǎn)圖如圖所示，回歸直線l的方程為＝x＋，則下列說法正確的是(　　)
A.＞0，＜0
B.＞0，＞0
C.＜0，＜0
D.＜0，＞0
解析：選D　由題圖可知，回歸直線的斜率是正數(shù)，即＞0；回歸直線在y軸上的截距是負(fù)數(shù)，即＜0，故選D.
2.為了考察兩個變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地做10次和15次試驗，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為l1和l2，已知兩個人在試驗中發(fā)現(xiàn)對變量x的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是s，對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是t，那么下列說法正確的是(　　)
A.l1和l2必定平行
B.l1與l2必定重合
C.l1和l2一定有公共點(diǎn)(s，t)
D.l1與l2相交，但交點(diǎn)不一定是(s，t)
解析：選C　注意到回歸直線必經(jīng)過樣本中心點(diǎn).
3.下面是2×2列聯(lián)表：

y1
y2
總計
x1
a
21
73
x2
22
25
47
總計
b
46
120
則表中a，b的值分別為________，________.
解析：∵a＋21＝73，∴a＝52，又a＋22＝b，∴b＝74.
答案：52　74
4.已知x，y的取值如下表，從散點(diǎn)圖可以看出y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為＝0.95x＋，則＝________.
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7

解析：∵回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心(，)，又＝2，＝4.5，代入回歸方程，得＝2.6.
答案：2.6


[題組練透]
1.兩個變量的相關(guān)關(guān)系有①正相關(guān)，②負(fù)相關(guān)，③不相關(guān)，則下列散點(diǎn)圖從左到右分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是(　　)

A.①②③　　　　　　　 B.②③①
C.②①③ D.①③②
解析：選D　第一個散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左下角區(qū)域分布到右上角區(qū)域，則是正相關(guān)；第三個散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左上角區(qū)域分布到右下角區(qū)域，則是負(fù)相關(guān)；第二個散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布沒有什么規(guī)律，則是不相關(guān)，所以應(yīng)該是①③②.
2.已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是(　　)
A.x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)
B.x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)
C.x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)
D.x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)
解析：選C　因為y＝－0.1x＋1的斜率小于0，
故x與y負(fù)相關(guān).因為y與z正相關(guān)，可設(shè)z＝y(tǒng)＋，＞0，則z＝y(tǒng)＋＝－0.1x＋＋，故x與z負(fù)相關(guān).
3.在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(　　)
A.－1 B.0
C. D.1
解析：選D　所有樣本點(diǎn)均在同一條斜率為正數(shù)的直線上，則樣本相關(guān)系數(shù)最大，為1，故選D.
4.變量X與Y相應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1).r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則(　　)
A.r2＜r1＜0 B.0＜r2＜r1
C.r2＜0＜r1 D.r2＝r1
解析：選C　對于變量Y與X而言，Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關(guān)，即r1＞0；對于變量V與U而言，V隨U的增大而減小，故V與U負(fù)相關(guān)，即r2＜0，故選C.
[名師微點(diǎn)]
判斷相關(guān)關(guān)系的2種方法
(1)散點(diǎn)圖法：如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系.
(2)相關(guān)系數(shù)法：利用相關(guān)系數(shù)判定，當(dāng)|r|越趨近于1相關(guān)性越強(qiáng).

[典例精析]
下圖是我國2011年至2017年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖.

(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；
(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2019年我國生活垃圾無害化處理量.
參考數(shù)據(jù)：i＝9.32，iyi＝40.17, ＝0.55，≈2.646.
參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝，回歸方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為＝，＝－ .
[解]　(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得
＝4，(ti－)2＝28, ＝0.55，
(ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89，
∴r≈≈0.99.
因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.
(2)由＝≈1.331及(1)得
＝＝≈0.103.
＝－ ≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y關(guān)于t的回歸方程為＝0.92＋0.10t.
將2019年對應(yīng)的t＝9代入回歸方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以，預(yù)測2019年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸.
[解題技法]
1.線性回歸分析問題的類型及解題方法
(1)求線性回歸方程
①利用公式，求出回歸系數(shù)，.
②待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心求系數(shù).
(2)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測，把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值.
(3)利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)，決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù).
(4)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).
2.模型擬合效果的判斷
(1)殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.
(2)相關(guān)指數(shù)R2越大，模型的擬合效果越好.
(3)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).

[過關(guān)訓(xùn)練]
1.(2019·廣州調(diào)研)某基地蔬菜大棚采用無土栽培方式種植各類蔬菜.過去50周的資料顯示，該地周光照量X(單位：小時)都在30小時以上，其中不足50小時的有5周，不低于50小時且不超過70小時的有35周，超過70小時的有10周.根據(jù)統(tǒng)計，該基地的西紅柿增加量y(千克)與使用某種液體肥料的質(zhì)量x(千克)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖.
(1)依據(jù)折線圖計算相關(guān)系數(shù)r(精確到0.01)，并據(jù)此判斷是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.(若|r|＞0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合)
(2)蔬菜大棚對光照要求較高，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀運(yùn)行臺數(shù)受周光照量X限制，并有如下關(guān)系：
周光照量X/小時
30＜X＜50
50≤X≤70
X＞70
光照控制儀運(yùn)行臺數(shù)
3
2
1

對商家來說，若某臺光照控制儀運(yùn)行，則該臺光照控制儀產(chǎn)生的周利潤為3 000元；若某臺光照控制儀未運(yùn)行，則該臺光照控制儀周虧損1 000元.若商家安裝了3臺光照控制儀，求商家在過去50周的周總利潤的平均值.
參考數(shù)據(jù)：≈0.55，≈0.95.
解：(1)由已知數(shù)據(jù)可得＝＝5，
＝＝4.
因為(xi－)(yi－)＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，
＝＝2，
＝＝，
所以相關(guān)系數(shù)r＝＝＝ ≈0.95.
因為|r|＞0.75，所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.
(2)由條件可得在過去50周里，
當(dāng)X＞70時，共有10周，此時只有1臺光照控制儀運(yùn)行，
每周的周總利潤為1×3 000－2×1 000＝1 000(元).
當(dāng)50≤X≤70時，共有35周，此時有2臺光照控制儀運(yùn)行，
每周的周總利潤為2×3 000－1×1 000＝5 000(元).
當(dāng)30＜X＜50時，共有5周，此時3臺光照控制儀都運(yùn)行，
每周的周總利潤為3×3 000＝9 000(元).
所以過去50周的周總利潤的平均值為
＝4 600(元)，
所以商家在過去50周的周總利潤的平均值為4 600元.
2.某機(jī)構(gòu)為研究某種圖書每冊的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊)的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)并進(jìn)行了初步處理，得到了下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值.




(xi－)2
(xi－)(yi－)
(ui－)2
(ui－)(yi－)
15.25
3.63
0.269
2 085.5
－230.3
0.787
7.049
表中ui＝，＝i.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：y＝a＋bx與y＝c＋哪一個模型更適合作為該圖書每冊的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊)的回歸方程？(只要求給出判斷，不必說明理由)
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(回歸系數(shù)的結(jié)果精確到0.01).
(3)若該圖書每冊的定價為10元，則至少應(yīng)該印刷多少冊才能使銷售利潤不低于78 840元？(假設(shè)能夠全部售出.結(jié)果精確到1)
附：對于一組數(shù)據(jù)(ω1，υ1)，(ω2，υ2)，…，(ωn，υn)，其回歸直線＝＋ω的斜率和截距的最小二乘估計分別為＝，＝－.
解：(1)由散點(diǎn)圖判斷，y＝c＋更適合作為該圖書每冊的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊)的回歸方程.
(2)令u＝，先建立y關(guān)于u的線性回歸方程，
由于＝＝≈8.957≈8.96，
∴＝－·＝3.63－8.957×0.269≈1.22，
∴y關(guān)于u的線性回歸方程為＝1.22＋8.96u，
∴y關(guān)于x的回歸方程為＝1.22＋.
(3)假設(shè)印刷x千冊，
依題意得10x－x≥78.840，
解得x≥10，
∴至少印刷10 000冊才能使銷售利潤不低于78 840元.

[典例精析]
(2019·河北名校聯(lián)考)某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品.從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件，量其內(nèi)徑尺寸，得結(jié)果如下表：
甲廠：
分組
[29.86,29.90)
[29.90,29.94)
[29.94,29.98)
[29.98,30.02)
頻數(shù)
12
63
86
182

分組
[30.02,30.06)
[30.06,30.10)
[30.10,30.14]

頻數(shù)
92
61
4

乙廠：
分組
[29.86,29.90)
[29.90,29.94)
[29.94,29.98)
[29.98,30.02)
頻數(shù)
29
71
85
159

分組
[30.02,30.06)
[30.06,30.10)
[30.10,30.14]

頻數(shù)
76
62
18


(1)試分別估計兩個分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率；
(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”.
甲廠
乙廠
總計
優(yōu)質(zhì)品


非優(yōu)質(zhì)品


總計



[解]　(1)甲廠抽查的500件產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而估計甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率為×100%＝72%；
乙廠抽查的500件產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品，從而估計乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率為×100%＝64%.
(2)完成的2×2列聯(lián)表如下：

甲廠
乙廠
總計
優(yōu)質(zhì)品
360
320
680
非優(yōu)質(zhì)品
140
180
320
總計
500
500
1 000

由表中數(shù)據(jù)計算得，
K2＝≈7.353＞6.635，
所以有99%的把握認(rèn)為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”.
[解題技法]
獨(dú)立性檢驗的一般步驟
(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表.
(2)計算隨機(jī)變量K2的觀測值k，查下表確定臨界值k0：
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706

P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(3)如果k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過P(K2≥k0)；否則，就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過P(K2≥k0)的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)”.
[過關(guān)訓(xùn)練]
(2018·全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由.
(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過m
不超過m
第一種生產(chǎn)方式


第二種生產(chǎn)方式



(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？
附：K2＝，

解：(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
理由如下：
(ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間高于80 min，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間低于79 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
(ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5 min，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
(ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需平均時間高于80 min；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需平均時間低于80 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
(ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布.又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
(以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分)
(2)由莖葉圖知m＝＝80.
列聯(lián)表如下：

超過m
不超過m
第一種生產(chǎn)方式
15
5
第二種生產(chǎn)方式
5
15

(3)因為K2＝＝10＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.

一、題點(diǎn)全面練
1.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
0.5
0.5
0.4
0.1

得到的線性回歸方程為＝x＋，則(　　)
A.＞0，＞0　　　　　 B.＞0，＜0
C.＜0，＞0 D.＜0，＜0
解析：選B　根據(jù)給出的數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)：整體上y與x呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，所以＜0，由樣本點(diǎn)(3,4.0)及(4,2.5)可知＞0，故選B.
2.隨著國家二孩政策的全面放開，為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機(jī)構(gòu)用簡單隨機(jī)抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如下表.

非一線
一線
總計
愿生
45
20
65
不愿生
13
22
35
總計
58
42
100
由K2＝，
得K2＝≈9.616.
參照下表，
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
正確的結(jié)論是(　　)
A.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級別有關(guān)”
B.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級別無關(guān)”
C.有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級別有關(guān)”
D.有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級別無關(guān)”
解析：選C　∵K2≈9.616＞6.635，∴有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級別有關(guān)”，故選C.
3.(2018·哈爾濱一模)千年潮未落，風(fēng)起再揚(yáng)帆，為實現(xiàn)“兩個一百年”奮斗目標(biāo)、實現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的中國夢奠定堅實基礎(chǔ)，某校積極響應(yīng)國家號召，不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度，據(jù)不完全統(tǒng)計：
年份/屆
2014
2015
2016
2017
學(xué)科競賽獲省級一等獎及以上的學(xué)生人數(shù)x
51
49
55
57
被清華、北大等世界名校錄取的學(xué)生人數(shù)y
103
96
108
107
根據(jù)上表可得回歸方程＝x＋中的為1.35，該校2018屆同學(xué)在學(xué)科競賽中獲省級一等獎及以上的學(xué)生人數(shù)為63，據(jù)此模型預(yù)測該校今年被清華、北大等世界名校錄取的學(xué)生人數(shù)為(　　)
A.111 B.117
C.118 D.123
解析：選B　因為＝53，＝103.5，所以＝－＝103.5－1.35×53＝31.95，所以回歸直線方程為＝1.35x＋31.95.當(dāng)x＝63時，代入解得＝117，故選B.
4.某考察團(tuán)對10個城市的職工人均工資x(千元)與居民人均消費(fèi)y(千元)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得出y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且線性回歸方程為＝0.6x＋1.2.若某城市職工人均工資為5千元，估計該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比為(　　)
A.66% B.67%
C.79% D.84%
解析：選D　∵y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且滿足回歸方程＝0.6x＋1.2，該城市居民人均工資為＝5，∴可以估計該城市的職工人均消費(fèi)水平＝0.6×5＋1.2＝4.2，∴可以估計該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比為＝84%.
5.某煉鋼廠廢品率x(%)與成本y(元/噸)的線性回歸直線方程為＝105.492＋42.569x.當(dāng)成本控制在176.5元/噸時，可以預(yù)計生產(chǎn)的1 000噸鋼中，約有________噸鋼是廢品(結(jié)果保留兩位小數(shù)).
解析：因為176.5＝105.492＋42.569x，解得x≈1.668，即當(dāng)成本控制在176.5元/噸時，廢品率約為1.668%，所以生產(chǎn)的1 000噸鋼中，約有1 000×1.668%＝16.68噸是廢品.
答案：16.68
6.在一次考試中，5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚?已知學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績具有線性相關(guān)關(guān)系)
學(xué)生的編號i
1
2
3
4
5
數(shù)學(xué)成績x
80
75
70
65
60
物理成績y
70
66
68
64
62

現(xiàn)已知其線性回歸方程為＝0.36x＋，則根據(jù)此線性回歸方程估計數(shù)學(xué)得90分的同學(xué)的物理成績?yōu)開_______.
(四舍五入到整數(shù))
解析：＝＝70，
＝＝66，
所以66＝0.36×70＋，即＝40.8，
即線性回歸方程為＝0.36x＋40.8.
當(dāng)x＝90時，＝0.36×90＋40.8＝73.2≈73.
答案：73
7.經(jīng)調(diào)查某地若干戶家庭的年收入x(萬元)和年飲食支出y(萬元)具有線性相關(guān)關(guān)系，并得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸直線方程：＝0.245x＋0.321，由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元.
解析：x變?yōu)閤＋1，＝0.245(x＋1)＋0.321＝0.245x＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加0.245萬元.
答案：0.245
8.已知某次考試之后，班主任從全班同學(xué)中隨機(jī)抽取一個容量為8的樣本，他們的數(shù)學(xué)、物理成績(單位：分)對應(yīng)如下表：
學(xué)生編號
1
2
3
4
5
6
7
8
數(shù)學(xué)成績
60
65
70
75
80
85
90
95
物理成績
72
77
80
84
88
90
93
95
給出散點(diǎn)圖如下：

根據(jù)以上信息，判斷下列結(jié)論：
①根據(jù)散點(diǎn)圖，可以判斷數(shù)學(xué)成績與物理成績具有線性相關(guān)關(guān)系；
②根據(jù)散點(diǎn)圖，可以判斷數(shù)學(xué)成績與物理成績具有一次函數(shù)關(guān)系；
③從全班隨機(jī)抽取甲、乙兩名同學(xué)，若甲同學(xué)數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，乙同學(xué)數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，則甲同學(xué)的物理成績一定比乙同學(xué)的物理成績高.
其中正確的個數(shù)為________.
解析：由散點(diǎn)圖知，各點(diǎn)都分布在一條直線附近，故可以判斷數(shù)學(xué)成績與物理成績具有線性相關(guān)關(guān)系，但不能判斷數(shù)學(xué)成績與物理成績具有一次函數(shù)關(guān)系，故①正確，②錯誤；若甲同學(xué)數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，乙同學(xué)數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，則甲同學(xué)的物理成績可能比乙同學(xué)的物理成績高，故③錯誤.綜上，正確的個數(shù)為1.
答案：1
9.(2019·泉州一模)某測試團(tuán)隊為了研究“飲酒”對“駕車安全”的影響，隨機(jī)選取100名駕駛員先后在無酒狀態(tài)、酒后狀態(tài)下進(jìn)行“停車距離”測試，測試的方案：電腦模擬駕駛，以某速度勻速行駛，記錄下駕駛員的“停車距離”(駕駛員從看到意外情況到車子停下所需要的距離)，無酒狀態(tài)與酒后狀態(tài)下的試驗數(shù)據(jù)分別列于下表.
表1
停車距離d(米)
(10,20]
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
頻數(shù)
26
a
b
8
2
表2
平均每毫升血液酒精含量x(毫克)
10
30
50
70
90
平均停車距離y(米)
30
50
60
70
90
已知表1數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計值為26，回答以下問題.
(1)求a，b的值，并估計駕駛員無酒狀態(tài)下停車距離的平均數(shù)；
(2)根據(jù)最小二乘法，由表2的數(shù)據(jù)計算y關(guān)于x的回歸方程＝x＋；
(3)該測試團(tuán)隊認(rèn)為：若駕駛員酒后駕車的平均“停車距離”y大于(1)中無酒狀態(tài)下的停車距離平均數(shù)的3倍，則認(rèn)定駕駛員是“醉駕”.請根據(jù)(2)中的回歸方程，預(yù)測當(dāng)每毫升血液酒精含量大于多少毫克時為“醉駕”？
附：回歸方程＝x＋中，＝，＝－.
解：(1)依題意，得a＝50－26，解得a＝40.
又a＋b＋36＝100，解得b＝24，故停車距離的平均數(shù)為
15×＋25×＋35×＋45×＋55×＝27.
(2)依題意，可知＝50，＝60，
iyi＝10×30＋30×50＋50×60＋70×70＋90×90＝17 800，
＝102＋302＋502＋702＋902＝16 500，
所以＝＝0.7，＝60－0.7×50＝25，
所以回歸直線方程為＝0.7x＋25.
(3)由(1)知當(dāng)y＞81時，認(rèn)定駕駛員是“醉駕”.
令＞81，得0.7x＋25＞81，解得x＞80，
則當(dāng)每毫升血液酒精含量大于80毫克時認(rèn)定為“醉駕”.
10.(2018·豫南九校聯(lián)考)下表為2015年至2018年某百貨零售企業(yè)的線下銷售額(單位：萬元)，其中年份代碼x＝年份—2014.
年份代碼x
1
2
3
4
線下銷售額y
95
165
230
310

(1)已知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測2019年該百貨零售企業(yè)的線下銷售額；
(2)隨著網(wǎng)絡(luò)購物的飛速發(fā)展，有不少顧客對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長表示懷疑，某調(diào)查平臺為了解顧客對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長的看法，隨機(jī)調(diào)查了55位男顧客、50位女顧客(每位顧客從“持樂觀態(tài)度”和“持不樂觀態(tài)度”中任選一種)，其中對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長持樂觀態(tài)度的男顧客有10人、女顧客有20人，能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長所持的態(tài)度與性別有關(guān)？
參考公式及數(shù)據(jù)：
＝，＝－，
K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879

解：(1)由題意得＝2.5，＝200，＝30，iyi＝2 355，所以＝＝＝71，
所以＝－＝200－71×2.5＝22.5，
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為＝71x＋22.5.
由于2 019－2 014＝5，所以當(dāng)x＝5時，＝71×5＋22.5＝377.5，所以預(yù)測2019年該百貨零售企業(yè)的線下銷售額為377.5萬元.
(2)由題可得2×2列聯(lián)表如下：

持樂觀態(tài)度
持不樂觀態(tài)度
總計
男顧客
10
45
55
女顧客
20
30
50
總計
30
75
105

故K2＝≈6.109.
由于6.109＞5.024，所以可以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長所持的態(tài)度與性別有關(guān).

二、專項培優(yōu)練
(一)易錯專練——不丟怨枉分
1.(2019·濟(jì)南診斷)某中學(xué)學(xué)生會為了調(diào)查愛好游泳運(yùn)動與性別是否有關(guān)，通過隨機(jī)詢問110名性別不同的高中生是否愛好游泳運(yùn)動，得到如下的列聯(lián)表.由K2＝并參照附表，得到的正確結(jié)論是(　　)

男
女
總計
愛好
40
20
60
不愛好
20
30
50
總計
60
50
110
附表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828

A.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“愛好游泳運(yùn)動與性別有關(guān)”
B.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“愛好游泳運(yùn)動與性別無關(guān)”
C.有99.9%的把握認(rèn)為“愛好游泳運(yùn)動與性別有關(guān)”
D.有99.9%的把握認(rèn)為“愛好游泳運(yùn)動與性別無關(guān)”
解析：選A　因為K2＝≈7.822＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為“愛好游泳運(yùn)動與性別有關(guān)”，所以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“愛好游泳運(yùn)動與性別有關(guān)”.
2.已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4

假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得的線性回歸方程為＝x＋.若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是(　　)
A.＞b′，＞a′ B.＞b′，＜a′
C.＜ b′，＞a′ D.＜b′，＜a′
解析：選C　由兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)可求得直線方程為y＝2x－2，b′＝2，a′＝－2.而利用線性回歸方程的公式與已知表格中的數(shù)據(jù)，可求得＝＝＝，＝－＝－×＝－，所以＜b′，＞a′.
3.為了研究某班學(xué)生的腳長x(單位：cm)和身高y(單位：cm)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其線性回歸方程為＝x＋.已知i＝225，i＝1 600，＝4.該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為(　　)
A.160 B.163
C.166 D.170
解析：選C　∵i＝225，∴＝i＝22.5.
∵i＝1 600，∴＝i＝160.
又＝4，∴＝－＝160－4×22.5＝70.
∴線性回歸方程為＝4x＋70.
將x＝24代入上式，得＝4×24＋70＝166.
(二)素養(yǎng)專練——學(xué)會更學(xué)通
4.[數(shù)學(xué)運(yùn)算]某高中學(xué)校對全體學(xué)生進(jìn)行體育達(dá)標(biāo)測試，每人測試A，B兩個項目，每個項目滿分均為60分.從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，分別統(tǒng)計他們A，B兩個項目的測試成績，得到A項目測試成績的頻率分布直方圖和B項目測試成績的頻數(shù)分布表如下：
　　　　　　　　
B項目測試成績頻數(shù)分布表
分?jǐn)?shù)區(qū)間
頻數(shù)
[0,10)
2
[10,20)
3
[20,30)
5
[30,40)
15
[40,50)
40
[50,60]
35
將學(xué)生的成績劃分為三個等級，如下表：
分?jǐn)?shù)
[0,30)
[30,50)
[50,60]
等級
一般
良好
優(yōu)秀

(1)在抽取的100人中，求A項目等級為優(yōu)秀的人數(shù)；
(2)已知A項目等級為優(yōu)秀的學(xué)生中女生有14人，A項目等級為一般或良好的學(xué)生中女生有34人，試完成下列2×2列聯(lián)表，并分析是否有95%以上的把握認(rèn)為“A項目等級為優(yōu)秀”與性別有關(guān)？
優(yōu)秀
一般或良好
總計
男生


女生


總計



(3)將樣本的概率作為總體的概率，并假設(shè)A項目和B項目測試成績互不影響，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查，試估計其A項目等級比B項目等級高的概率.
參考數(shù)據(jù)：
P(K2≥k0)
0.10
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

參考公式K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)由A項目測試成績頻率分布直方圖，得A項目等級為優(yōu)秀的頻率為0.04×10＝0.4，
所以A項目等級為優(yōu)秀的人數(shù)為0.4×100＝40.
(2)由(1)知A項目等級為優(yōu)秀的學(xué)生中，女生數(shù)為14人，男生數(shù)為26人.A項目等級為一般或良好的學(xué)生中，女生數(shù)為34人，男生數(shù)為26人.
作出如下2×2列聯(lián)表：

優(yōu)秀
一般或良好
總計
男生
26
26
52
女生
14
34
48
總計
40
60
100

則K2＝≈4.514.
由于4.514＞3.841，所以有95%以上的把握認(rèn)為“A項目等級為優(yōu)秀”與性別有關(guān).
(3)設(shè)“A項目等級比B項目等級高”為事件C.
記“A項目等級為良好”為事件A1，“A項目等級為優(yōu)秀”為事件A2，“B項目等級為一般”為事件B0，“B項目等級為良好”為事件B1.
于是P(A1)＝(0.02＋0.02)×10＝0.4，P(A2)＝0.4.由頻率估計概率得P(B0)＝＝0.1，P(B1)＝＝0.55.
因為事件Ai與Bj相互獨(dú)立，其中i＝1,2，j＝0,1，所以P(C)＝P(A1B0＋A2B0＋A2B1)＝0.4×0.1＋0.4×0.1＋0.4×0.55＝0.3.
所以隨機(jī)抽取一名學(xué)生，其A項目等級比B項目等級高的概率為0.3.
5.[數(shù)據(jù)分析]下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖.

為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t.
(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；
(2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.
解：(1)利用模型①，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元).
利用模型②，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為＝99＋17.5×9＝256.5(億元).
(2)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.
理由如下：
(ⅰ)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.
(ⅱ)從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.
(以上給出了2種理由，學(xué)生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分)


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