1.平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換
設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換φ：的作用下，點P(x，y)對應(yīng)到點P′(x′，y′)，
稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換.
2.極坐標(biāo)系的概念
(1)極坐標(biāo)系

如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系.
極坐標(biāo)系的四要素：極點、極軸、長度單位、角度單位和它的正方向.四者缺一不可.
(2)極坐標(biāo)
①極徑：設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為ρ.
由極徑的意義知ρ＞0時，當(dāng)極角θ的取值范圍是[0，2π)時，平面上的點(除去極點)與極坐標(biāo)(ρ，θ)建立一一對應(yīng)關(guān)系.約定極點的極坐標(biāo)是極徑ρ＝0，極角可取任意角.
②極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為θ.
③極坐標(biāo)：有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點M的極坐標(biāo)，記為M(ρ，θ).
一般不作特殊說明時，我們認為ρ≥0，θ可取任意實數(shù).
④極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的重要區(qū)別：多值性.
3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化
設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)，則它們之間的關(guān)系為：
這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式.
把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時，一定要明確點所在的象限(即極角的終邊的位置)和極角的范圍，以便正確求出極角，否則點的極坐標(biāo)將不唯一.
4.簡單曲線的極坐標(biāo)方程
曲線
極坐標(biāo)方程
圓心為極點，半徑為r的圓
ρ＝r(0≤θ＜2π)
圓心為(r,0)，半徑為r的圓
ρ＝2rcos θ
圓心為，半徑為r的圓
ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π)
過極點，傾斜角為α的直線
θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
過點(a,0)，與極軸垂直的直線
ρcos θ＝a
過點，與極軸平行的直線
ρsin θ＝a(0＜θ＜π)

[小題查驗基礎(chǔ)]
一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點與坐標(biāo)也是一一對應(yīng)關(guān)系.(　　)
(2)若點P的直角坐標(biāo)為(1，－)，則點P的一個極坐標(biāo)是.(　　)
(3)在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程不是唯一的.(　　)
(4)極坐標(biāo)方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲線是一條直線.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
二、選填題
1.若以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程為(　　)
A.ρ＝
B.ρ＝
C.ρ＝cos θ＋sin θ
D.ρ＝cos θ＋sin θ
解析：選A　∵y＝1－x(0≤x≤1)，
∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，
∴ρ＝.
2.在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝－2sin θ的圓心的極坐標(biāo)是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C.(1,0) D.(1，π)
解析：選B　由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝－2y，化成標(biāo)準方程為x2＋(y＋1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，－1)，其對應(yīng)的極坐標(biāo)為.
3.在極坐標(biāo)系中，已知點P，則過點P且平行于極軸的直線方程是(　　)
A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝
C.ρcos θ＝1 D.ρcos θ＝
解析：選A　先將極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)表示，P轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)為x＝ρcos θ＝2cos ＝，y＝ρsin θ＝2sin ＝1，即(，1)，過點(，1)且平行于x軸的直線為y＝1，再化為極坐標(biāo)為ρsin θ＝1.

4.若點P的直角坐標(biāo)為(3，－)，則點P的極坐標(biāo)為______.
解析：因為點P(3，－)在第四象限，與原點的距離為2，且OP與x軸所成的角為－，所以點P的極坐標(biāo)為.
答案：
5.在極坐標(biāo)系中A，B兩點間的距離為________.
解析：法一：(數(shù)形結(jié)合)在極坐標(biāo)系中，A，B兩點如圖所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6.
法二：∵A，B的直角坐標(biāo)為A(1，－)，B(－2,2).
∴|AB|＝＝6.
答案：6

考點一 平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換 [基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)]

[題組練透]
1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換φ：
(1)求點A經(jīng)過φ變換所得點A′的坐標(biāo)；
(2)求直線l：y＝6x經(jīng)過φ變換后所得直線l′的方程.
解：(1)設(shè)點A′(x′，y′)，由伸縮變換φ：
得∴
∴點A′的坐標(biāo)為(1，－1).
(2)設(shè)P′(x′，y′)是直線l′上任意一點.
由伸縮變換φ：得
代入y＝6x，得2y′＝6×＝2x′，即y′＝x′，
∴y＝x為所求直線l′的方程.
2.將圓x2＋y2＝1變換為橢圓＋＝1的一個伸縮變換公式φ：(λ，μ＞0)，求λ，μ的值.
解：將變換后的橢圓＋＝1改寫為＋＝1，把伸縮變換公式φ：(λ，μ＞0)代入上式，
得＋＝1，即2x2＋2y2＝1，
與x2＋y2＝1
比較系數(shù)，得所以
[名師微點]
伸縮變換后方程的求法及注意點
(1)平面上的曲線y＝f(x)在變換φ：的作用下的變換方程的求法是將代入y＝f(x)，整理得y′＝h(x′)即為所求.
(2)解答該類問題應(yīng)明確兩點：一是根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用求解；二是明確變換前的點P(x，y)與變換后的點P′(x′，y′)的坐標(biāo)關(guān)系，用方程思想求解.
考點二 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 [師生共研過關(guān)]
[典例精析]
在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線l：ρsin＝(ρ≥0,0≤θ＜2π).
(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；
(2)當(dāng)θ∈(0，π)時，求直線l與圓O的公共點的極坐標(biāo).
[解]　(1)圓O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
故圓O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－x－y＝0，
直線l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
則直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋1＝0.
(2)由(1)知圓O與直線l的直角坐標(biāo)方程，
將兩方程聯(lián)立得解得
即圓O與直線l在直角坐標(biāo)系下的公共點為(0,1)，
轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)為，
故直線l與圓O的公共點的極坐標(biāo)為.
[解題技法]
1.極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法
(1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程：將公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐標(biāo)方程并化簡即可.
(2)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：通過變形，構(gòu)造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再應(yīng)用公式進行代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形技巧.
2.極角的確定方法
由tan θ確定角θ時，應(yīng)根據(jù)點P所在象限取最小正角.在這里要注意：當(dāng)x≠0時，θ角才能由tan θ＝按上述方法確定.當(dāng)x＝0時，tan θ沒有意義，這時可分三種情況處理：當(dāng)x＝0，y＝0時，θ可取任何值；當(dāng)x＝0，y＞0時，可取θ＝；當(dāng)x＝0，y＜0時，可取θ＝.
[過關(guān)訓(xùn)練]
已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2，ρ2－2ρ·cos＝2.
(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
(2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標(biāo)方程.
解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，
所以圓O1的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4.
因為ρ2－2ρcos＝2，
所以ρ2－2ρ＝2，
所以圓O2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減，
得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為x＋y＝1.
化為極坐標(biāo)方程為ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin＝.
考點三 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 [師生共研過關(guān)]
[典例精析]
(2019·安徽名校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為x2＋(y－2)2＝4.以坐標(biāo)原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且在兩坐標(biāo)系下長度單位相同.M為曲線C1上異于極點的動點，點N在射線OM上，且|ON|·|OM|＝20，記點N的軌跡為C2.
(1)求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；
(2)根據(jù)極坐標(biāo)方程，判斷曲線C1，C2的位置關(guān)系.
[解]　(1)曲線C1的直角坐標(biāo)方程是x2＋(y－2)2＝4，
即x2＋y2＝4y.
將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得ρ2＝4ρsin θ.
故曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin θ.
設(shè)N(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，由|ON|·|OM|＝20，
即ρ·ρ1＝20，得ρ1＝.
又ρ1＝4sin θ，所以＝4sin θ，所以ρsin θ＝5.
故曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin θ＝5.
(2)由得sin2θ＝，無實數(shù)解，因此曲線C1和曲線C2沒有公共點，易知曲線C1是圓，曲線C2是直線，
所以C1與C2相離.
[解題技法]
利用極坐標(biāo)系解決問題的技巧
(1)用極坐標(biāo)系解決問題時要注意題目中的幾何關(guān)系，如果幾何關(guān)系不容易通過極坐標(biāo)表示時，可以先化為直角坐標(biāo)方程，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題加以解決.
(2)已知極坐標(biāo)方程解答最值問題時，通?？赊D(zhuǎn)化為三角函數(shù)模型求最值問題，這種方法比在直角坐標(biāo)系中求最值的運算量小.
(3)根據(jù)極坐標(biāo)方程判斷曲線的位置關(guān)系時，只需聯(lián)立曲線的極坐標(biāo)方程得方程組，判斷方程組解的情況即可.
[提醒]　在曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，注意轉(zhuǎn)化的等價性.
[過關(guān)訓(xùn)練]
(2018·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；
(2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程.
解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓.
由題設(shè)知，C1是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.
由于點B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點.
當(dāng)l1與C2只有一個公共點時，點A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0.
經(jīng)檢驗，當(dāng)k＝0時，l1與C2沒有公共點；
當(dāng)k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點.
當(dāng)l2與C2只有一個公共點時，點A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝.
經(jīng)檢驗，當(dāng)k＝0時，l1與C2沒有公共點；
當(dāng)k＝時，l2與C2沒有公共點.
綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2.

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；
(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積.
解：(1)因為x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝－2，
C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)將θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半徑為1，所以△C2MN的面積為.
2.(2019·黃岡調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos＝2.已知點Q為曲線C1上的動點，點P在線段OQ上，且滿足|OQ|·|OP|＝4，動點P的軌跡為C2.
(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)點A的極坐標(biāo)為，點B在曲線C2上，求△AOB面積的最大值.
解：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ＞0)，Q的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1＞0)，
由題意知，|OP|＝ρ，|OQ|＝ρ1＝.
由|OQ|·|OP|＝4得C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos(ρ＞0)，化簡得ρ＝cos θ＋sin θ，因此C2的直角坐標(biāo)方程為2＋2＝1，但不包括點(0,0).
(2)設(shè)點B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB＞0)，
由題意知，|OA|＝2，ρB＝2cos，
于是△AOB的面積S＝|OA|·ρB·sin∠AOB
＝2cos·＝2≤.
當(dāng)α＝0時，S取得最大值.所以△AOB面積的最大值為.
3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a＞0).在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4cos θ.
(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；
(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.
解：(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓.
將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，
得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲線C1，C2的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組

若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
當(dāng)a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上.
所以a＝1.
4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－1)2＝1.以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(cos θ＋sin θ)＝5.
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
(2)在圓上找一點A，使它到直線l的距離最小，并求點A的極坐標(biāo).
解：(1)x2＋(y－1)2＝1即x2＋y2－2y＝0，
因為ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y(tǒng)，
所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝2ρsin θ，即ρ＝2sin θ.
ρ(cos θ＋sin θ)＝5即ρcos θ＋ρsin θ＝5，
因為ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)，
所以直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝－x＋5.
(2)曲線C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0,1)為圓心，1為半徑的圓.設(shè)圓上點A(x0，y0)到直線l：y＝－x＋5的距離最小，所以圓C在點A處的切線與直線l：y＝－x＋5平行.
即直線CA與l的斜率的乘積等于－1，
即×(－)＝－1.①
因為點A在圓上，所以x＋(y0－1)2＝1，②
聯(lián)立①②可解得x0＝－，y0＝或x0＝，y0＝.
所以點A的坐標(biāo)為或.
又因為圓上點A到直線l：y＝－x＋5的距離最小，
所以點A的坐標(biāo)為，
點A的極徑為 ＝，極角θ滿足tan θ＝且θ為第一象限角，則可取θ＝.
所以點A的極坐標(biāo)為.
5.(2019·山西八校第一次聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是(α為參數(shù)).以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2與曲線C分別交于異于原點的A，B兩點，求△AOB的面積.
解：(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25，
即x2＋y2－6x－8y＝0.
∴曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cos θ＋8sin θ.
(2)設(shè)A，B.
把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋3，
∴A.
把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋4，
∴B.
∴S△AOB＝ρ1ρ2sin∠AOB
＝sin
＝12＋.
6.(2018·福州四校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線C2的方程為y＝x.以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程；
(2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點，求＋.
解：(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，得曲線C1的普通方程為(x－2)2＋(y－2)2＝1，
則C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0.
由于直線C2過原點，且傾斜角為，
故其極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R).
(2)由
得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，
設(shè)A，B對應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，
則ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，
∴＋＝＝＝.
7.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，曲線C2：＋＝1.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；
(2)射線l：θ＝α(ρ≥0)與曲線C1，C2分別交于點A，B(且A，B均異于原點O)，當(dāng)0＜α＜時，求|OB|2－|OA|2的最小值.
解：(1)易知曲線C1的普通方程為(x－1)2＋y2＝1，
所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ，
C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＝.
(2)聯(lián)立θ＝α(ρ≥0)與C1的極坐標(biāo)方程得|OA|2＝4cos2α，
聯(lián)立θ＝α(ρ≥0)與C2的極坐標(biāo)方程得|OB|2＝，
則|OB|2－|OA|2＝－4cos2α＝－4(1－sin2α)＝＋4(1＋sin2α)－8
≥2－8＝8－8，
當(dāng)且僅當(dāng)sin α＝時取等號，
所以|OB|2－|OA|2的最小值為8－8.
8.(2019·湖南長郡中學(xué)模擬)在直角坐標(biāo)系中，已知曲線M的參數(shù)方程為(β為參數(shù))，在極坐標(biāo)系中，直線l1的方程為α1＝θ，直線l2的方程為α2＝θ＋.
(1)寫出曲線M的普通方程，并指出它是什么曲線；
(2)設(shè)l1與曲線M交于A，C兩點，l2與曲線M交于B，D兩點，求四邊形ABCD面積的取值范圍.
解：(1)由(β為參數(shù))，消去參數(shù)β，得曲線M的普通方程為(x－1)2＋(y－1)2＝8，
∴曲線M是以(1,1)為圓心，2為半徑的圓.
(2)設(shè)|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，
∵O，A，C三點共線，
則|AC|＝|ρ1－ρ2|＝(*)，
將曲線M的方程化成極坐標(biāo)方程，得ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)－6＝0，
∴
代入(*)式得|AC|＝.
用θ＋代替θ，得|BD|＝，
又l1⊥l2，
∴S四邊形ABCD＝|AC|·|BD|
＝
＝2，
∵sin22θ∈[0,1]，∴S四邊形ABCD∈[8，14].


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