2020版高考理科數(shù)學（人教版）一輪復習講義：第十一章第五節(jié)概率與統(tǒng)計大題增分策略第一課時　解題能力“過三關”（審答怎么辦）

第五節(jié)“概率與統(tǒng)計”大題增分策略 概率與統(tǒng)計應用性問題是歷年高考命題的主要題型之一，解答這類問題的關鍵：一是能讀懂、理解陳述的材料，深刻理解題意，將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言；二是能將轉(zhuǎn)化后的數(shù)學語言構建為數(shù)學模型，化新情景問題為已學知識，找到解題突破口；三是還需具備快速準確的計算能力，具備足夠的心理定力.為突破“概率與統(tǒng)計”這一高考大題，本節(jié)將分設兩課時給予突破：第一課時——解題能力“過三關”(從必備技能上給予指導)；第二課時——高考命題“三交匯”(從考查題型上給予點撥).第一課時　解題能力“過三關”(審答怎么辦)文字關——抓關鍵語句，破干擾信息 [例1]　調(diào)查表明，市民對城市的居住滿意度與該城市環(huán)境質(zhì)量、城市建設、物價與收入的滿意度有極強的相關性.現(xiàn)將這三項的滿意度指標分別記為x，y，z，并對它們進行量化：0表示不滿意，1表示基本滿意，2表示滿意.再用綜合指標ω＝x＋y＋z的值評定居民對城市的居住滿意度等級：若ω≥4，則居住滿意度為一級；若2≤ω≤3，則居住滿意度為二級；若0≤ω≤1，則居住滿意度為三級.為了解某城市居民對該城市的居住滿意度，研究人員從此城市居民中隨機抽取10人進行調(diào)查，得到如下結(jié)果：人員編號12345(x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(0,1,1)(1,2,1) 人員編號678910(x，y，z)(1,2,2)(1,1,1)(1,2,2)(1,0,0)(1,1,1)(1)在這10名被調(diào)查者中任取2人，求這2人的居住滿意度指標z相同的概率；(2)從居住滿意度為一級的被調(diào)查者中任取一人，其綜合指標為m，從居住滿意度不是一級的被調(diào)查者中任取一人，其綜合指標為n，記隨機變量X＝m－n，求隨機變量X的分布列及其數(shù)學期望.[解]　(1)記事件A為“從10名被調(diào)查者中任取2人，這2人的居住滿意度指標z相同”，則居住滿意度指標z為0的只有編號為9的1名；居住滿意度指標z為1的編號有2,4,5,7,10共5名；居住滿意度指標z為2的編號有1,3,6,8共4名.從10名被調(diào)查者中任取2人，所有可能的結(jié)果為C＝45(種)，這2人的居住滿意度指標z相同的結(jié)果為C＋C＝10＋6＝16(種)，所以在這10名被調(diào)查者中任取2人，這2人的居住滿意度指標z相同的概率為P(A)＝.(2)計算10名被調(diào)查者的綜合指標，可列下表：人員編號12345678910綜合指標4462453513其中居住滿意度為一級的編號有1,2,3,5,6,8共6名，則m的值可能為4,5,6；居住滿意度不是一級的編號有4,7,9,10共4名，則n的值可能為1,2,3，所以隨機變量X所有可能的取值為1,2,3,4,5.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以隨機變量X的分布列為X12345PE(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.本題文字敘述較長，解答此類問題應過文字關，其技巧是：(1)快速了解“無關信息”(如本例第一句話)；(2)仔細閱讀題中重要信息，把握信息所給內(nèi)容(如本例字母x，y，z，ω所指什么)；(3)明確題目所求內(nèi)容.　　　　圖表關——會轉(zhuǎn)換信息，建解題模型 [例2]　(2019·石家莊質(zhì)檢)交強險是車主必須為機動車購買的險種.若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準保費)統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率也就越高，具體浮動情況如下表：交強險浮動因素和浮動費率比率表 浮動因素浮動比率A1上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮10%A2上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮20%A3上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮30%A4上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道路交通事故上浮10%A6上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故上浮30% 某機構為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：類型A1A2A3A4A5A6數(shù)量105520155 以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：(1)按照我國《機動車交通事故責任強制保險條例》汽車交強險價格的規(guī)定，a＝950.記X為某同學家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用，求X的分布列與數(shù)學期望；(數(shù)學期望值保留到個位數(shù)字)(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車.假設購進一輛事故車虧損5 000元，一輛非事故車盈利10 000元：①若該銷售商購進三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；②若該銷售商一次購進100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值.[解]　(1)由題意可知，X的可能取值為0.9a,0.8a,0.7a，a,1.1a,1.3a.由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知：P(X＝0.9a)＝，P(X＝0.8a)＝，P(X＝0.7a)＝，P(X＝a)＝，P(X＝1.1a)＝，P(X＝1.3a)＝.所以X的分布列為X0.9a 0.8a 0.7a a1.1a 1.3a P 所以E(X)＝0.9a×＋0.8a×＋0.7a×＋a×＋1.1a×＋1.3a×＝＝≈942.(2)①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為，三輛車中至多有一輛事故車的概率為P＝3＋C××2＝.②設Y為該銷售商購進并銷售一輛二手車的利潤，Y的可能取值為－5 000,10 000.所以Y的分布列為Y－5 00010 000P 所以E(Y)＝(－5 000)×＋10 000×＝5 000，所以該銷售商一次購進100輛(車齡已滿三年)該品牌的二手車獲得利潤的期望值為100×E(Y)＝500 000元.概率與統(tǒng)計問題的考查離不開圖表(頻率分布直方圖、莖葉圖、折線圖、頻數(shù)分布表等)，解決此類問題重在審圖表、明數(shù)據(jù)，能從所給圖表中正確提取解題所需要的信息是解決問題的關鍵，然后根據(jù)信息一步步實現(xiàn)圖表數(shù)據(jù)與數(shù)學符號語言的轉(zhuǎn)化，建立數(shù)學模型解決問題.　　　　計算關——重計算能力，防不慎失分 [例3]　某學校為了解本校學生的身體素質(zhì)情況，決定在全校的1 000名男生和800名女生中按分層抽樣的方法抽取45名學生對他們課余參加體育鍛煉時間進行問卷調(diào)查，將學生課余參加體育鍛煉時間的情況分三類：A類(課余參加體育鍛煉且平均每周參加體育鍛煉的時間超過3小時)，B類(課余參加體育鍛煉但平均每周參加體育鍛煉的時間不超過3小時)，C類(課余不參加體育鍛煉)，調(diào)查結(jié)果如表： A類B類C類男生18x3女生810y (1)求出表中x，y的值； (2)根據(jù)表格統(tǒng)計數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為課余參加體育鍛煉且平均每周參加體育鍛煉的時間超過3小時與性別有關. 男生女生總計A類   B類和C類   總計    (3)在抽取的樣本中，從課余不參加體育鍛煉學生中隨機選取三人進一步了解情況，求選取三人中男女都有且男生比女生多的概率. 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.01  k02.7063.8416.635 [解]　(1)由題意，＝，21＋x＋18＋y＝45，∴x＝4，y＝2.(2)2×2列聯(lián)表如下所示： 男生女生總計A類18826B類和C類71219總計252045∴K2＝≈4.664＞3.841，∴能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為課余參加體育鍛煉且平均每周參加體育鍛煉的時間超過3小時與性別有關.(3)在抽取的樣本中，從課余不參加體育鍛煉的學生中隨機選取3人進一步了解情況，有C＝10種情況，選取三人中男女都有且男生比女生多，有CC＝6種情況，故所求概率為＝0.6.(1)本例在計算K2的值時應仔細，計算中易出錯，要明確公式中n，a，b，c，d所表示的值.(2)利用最小二乘法求“”時，應注意避免計算出錯.