第二十三章 旋轉(zhuǎn)（知識(shí)清單） 一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 了解圖形的旋轉(zhuǎn)的有關(guān)概念并理解它的基本性質(zhì). 2 了解中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形的概念并理解它的基本性質(zhì). 3 掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的關(guān)系并應(yīng)用. 重點(diǎn)： 1 掌握二次函數(shù)的圖象特征及其性質(zhì). 2 掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式的方法. 難點(diǎn)： 1 圖形旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)的歸納與運(yùn)用. 2 中心對(duì)稱的基本性質(zhì)的歸納與運(yùn)用. 二、學(xué)習(xí)過(guò)程 【章節(jié)介紹】 讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等過(guò)程，了解圖形旋轉(zhuǎn)的概念，探索圖形旋轉(zhuǎn)基本性質(zhì)，進(jìn)一步發(fā)展空間觀察，培養(yǎng)運(yùn)動(dòng)幾何的觀點(diǎn)，增強(qiáng)審美意識(shí).讓學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考，自主探究和合作交流進(jìn)一步體會(huì)旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，享受學(xué)習(xí)樂(lè)趣，學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情. 【知識(shí)梳理】 一 旋轉(zhuǎn)的概念： 在平面內(nèi)，將一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)沿某一方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn).這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心.轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角. 二 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)： 1.對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等. 2.對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角. 3.旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等. 三 簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)作圖的一般步驟： 1)找出圖形的關(guān)鍵點(diǎn)； 2)確定旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角； 3)將關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連接起來(lái)，然后按旋轉(zhuǎn)方向分別將它們旋轉(zhuǎn)一個(gè)角，得到關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)； 4)按照原圖形的順序連接這些對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所得到的圖形就是旋轉(zhuǎn)后的圖形． 四 中心對(duì)稱的概念： 把一個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180o，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱. 1）這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心. 2）這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn). 五 中心對(duì)稱的性質(zhì)： 1)中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心所平分. 2)中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形. 六 利用中心對(duì)稱的性質(zhì)作圖的基本步驟： 1.作點(diǎn)的中心對(duì)稱：先連接點(diǎn)和對(duì)稱中心，然后延長(zhǎng)一倍； 2.做圖形的中心對(duì)稱：先確定好圖形的特殊點(diǎn)（如多邊形的頂點(diǎn)、線段的端點(diǎn)，圓的圓心等），再作特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，然后順次連接. 七 中心對(duì)稱圖形的概念： 如果一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，能和原來(lái)的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形；這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心；互相重合的點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn). 八 中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)： 中心對(duì)稱圖形上每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分. 九 在直角坐標(biāo)系中關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系： 兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)P＇(-x，-y)。 十 在直角坐標(biāo)系中作關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形的一般步驟： 1）確定關(guān)鍵點(diǎn)(通常為圖形頂點(diǎn)等特殊點(diǎn))的坐標(biāo)； 2）寫出關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)； 3）在直角坐標(biāo)系中標(biāo)出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)； 4）順次連接對(duì)稱點(diǎn)，所作的圖形為所求圖形. 【考點(diǎn)解讀】 考查題型一 畫旋轉(zhuǎn)圖形 1．圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上． （1）將△ABC向右平移5個(gè)單位得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1； （2）將（1）中的△A1B1C1繞點(diǎn)C1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C1，畫出△A2B2C1． 【詳解】解：（1）如下圖所示，△A1B1C1為所求； （2）如下圖所示，△A2B2C1為所求； 2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A-5,1，B-1,3，C-1,1． (1)平移△ABC，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為1,3，畫出平移后的△A1B1C1； (2)將△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2； (3)若△A1B1C1與△A2B2C2關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱，則點(diǎn)P坐標(biāo)為_(kāi)_____． 【詳解】（1）如圖所示：△A1B1C1即為所求， （2）如圖所示：△A2B2C2即為所求， （3）已知A1的坐標(biāo)(1,3)，根據(jù)圖形可知A2的坐標(biāo)為：(5,-1)， 則P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：3-12=1， 點(diǎn)P的坐標(biāo)(3,1)． 故答案是：（3，1） 3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，3），B（4，2），C（2，1）． (1)平移△ABC，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為 ； (2)將△ABC繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△A2B2C2，在圖中畫出△A2B2C2； (3)M、N為x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，連接MN，若MN＝1，點(diǎn)D（0，﹣1）為y軸上的一點(diǎn)，連接DM、CN，則DM＋CN的最小值為 ． 【詳解】（1）解：∵平移△ABC，使得點(diǎn)A（1，3）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）， ∴平移方式為：將△ABC先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度， ∴點(diǎn)C（2，1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（0，－3）， 故答案為：（0，－3）； （2）△A2B2C2如圖所示： （3）如圖，取點(diǎn)D′（1，?1），連接CD′交x軸于點(diǎn)N′， ∵M(jìn)′N′＝DD′＝1，且M′N′∥DD′， ∴四邊形M′N′D′D是平行四邊形， ∴DM′＝D′N′， ∴DM′＋CN′＝D′N′＋CN′＝CD′， ∴DM＋CN的最小值為CD′＝， 故答案為：5． 考查題型二 旋轉(zhuǎn)綜合題 1．如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點(diǎn)D． （1）求證：BE＝CF； （2）當(dāng)四邊形ABDF為菱形時(shí)，求CD的長(zhǎng)． 【詳解】（1）證明：如圖， ∵△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的， ∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°， ∴∠BAC+∠3＝∠EAF+∠3， 即∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF， ∴△ABE≌△ACF， ∴BE＝CF； （2）解：如圖， ∵四邊形ABDF為菱形， ∴DF＝AF＝2，DF∥AB， ∴∠1＝∠BAC＝45°， ∴△ACF為等腰直角三角形， ∴CF＝2AF＝22， ∴CD＝CF﹣DF＝22﹣2． 2．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，AB=4，DE=4.3，△DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后能夠與△DCF重合． （1）旋轉(zhuǎn)中心是______，旋轉(zhuǎn)角為_(kāi)_____°； （2）請(qǐng)你判斷△DFE的形狀，簡(jiǎn)單說(shuō)明理由； （3）四邊形DEBF的面積為 ． 【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)可得，旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)D；旋轉(zhuǎn)角為∠ADC=90°， 故答案為點(diǎn)D，90； （2）△DFE是等腰直角三角形．； 理由：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得DE=DF，∠EDF=∠ADC=90°， 所以△DFE是等腰直角三角形．； （3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：△ADE≌△CDF， ∴四邊形DEBF的面積=正方形ABCD的面積=4×4=16． 3．如圖1，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD，相交于點(diǎn)E，連接BC． ?? （1）證明：⊿ABC ≌ ⊿DCB； （2）求∠AEB的大?。?（3）如圖2，△OAB固定不動(dòng)，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（△OAB和△OCD不能重疊），求∠AEB的大?。?【詳解】證明：(1) ∵AO=DO，且ΔAOB、ΔDOC都為等邊三角形， ∴CO=BO,∠COD=∠BOA=60°, ∴∠COB=60°， ∴ΔCOB為等邊三角形， ∴∠DCB=∠ABC=120°, 在ΔABC和中， AB=CDBC=BC∠DCB=∠ABC, ∴ΔABC≌ΔDCB; (2)如圖所示： ?? ∵△DOC和△ABO都是等邊三角形， 且點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)， ∴OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°， ∴∠4=∠5， 又∵∠4+∠5=∠2=60°， ∴∠4=30°， 同理∠6=30°， ∵∠AEB=∠4+∠6， ∴∠AEB=60°. (3)如圖所示： ?? ∵△DOC和△ABO都是等邊三角形， ∴OD=OC,OB=OA,∠1=∠2=60°. 又∵OD=OA， ∴OD=OB，OA=OC， ∴∠4=∠5，∠6=∠7， ∵∠DOB=∠1+∠3， ∠AOC=∠2+∠3， ∴∠DOB=∠AOC. ∵∠4+∠5+∠DOB=180°,∠6+∠7+∠AOC=180°， ∴2∠5=2∠6， ， 又∵∠AEB=∠8-∠5，∠8=∠2+∠6， ∴∠AEB=∠2+∠6-∠5=∠2+∠5-∠5=∠2， ∴∠AEB=60°. 4．如圖，將RtΔADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，射線EB與DF相交于點(diǎn)C，∠D=90°，求證：四邊形ABCD為正方形． 【詳解】證明：∵將RtΔADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到， ∴∠EAF=90°,△ADF≌△ABE， ∴∠EAB=∠FAD，AB=AD， ∵∠D=90°， ∴∠ABE=90°， ∴∠ABC=90°， ∵∠EAB+∠BAF=90°， ∴∠DAF+∠BAF=90°，即∠BAD=90°， ∴四邊形ABCD是矩形， ∵AB=AD， ∴矩形ABCD是正方形． 5．探究：如圖1和2，四邊形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC、CD上，∠EAF=45°． （1）①如圖 1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，則能證得EF=BE+DF，請(qǐng)寫出推理過(guò)程； ②如圖 2，若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足數(shù)量關(guān)系_______時(shí)，仍有EF=BE+DF; （2）拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=22，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的長(zhǎng)． 【詳解】（1）①如圖1， ∵把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF=AF∠EAF=∠GAFAE=AG ∴△EAF≌△GAFSAS， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； ②∠B+∠D=180°， 理由是： 把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合， 則AE=AG，，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴C，D，G在一條直線上， 和①知求法類似，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF=AF∠EAF=∠GAFAE=AG ∴△EAF≌△GAF(SAS)， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； 故答案為：∠B+∠D=180° （2）∵△ABC中，AB=AC=22，∠BAC=90 ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得： BC=AB2+AC2=(22)2+(22)2=4 ， 把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF． 則AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE， ∵∠DAE=45°， ∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°， 在△FAD和△EAD中 AD=AD∠FAD=∠EADAF=AE ∴△FAD≌△EAD， ∴， 設(shè)DE=x，則DF=x， ∵BD=1， ∴BF=CE=4-1-x=3-x， ∵∠FBA=45°，∠ABC=45°， ∴∠FBD=90°， 由勾股定理得：DF2=BF2+BD2， x2=(3-x)2+12， 解得：x=53， 即DE=53． 6．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形22OA

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