人教版九年級上冊第二十四章圓24.1 圓的有關(guān)性質(zhì)24.1.2 垂直于弦的直徑精品復(fù)習(xí)練習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?24.1.2 垂直于弦的直徑（作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）
【夯實基礎(chǔ)】
一、單選題
1．（2022·廣西南寧·一模）小明想知道一塊扇形鐵片中的的拱高（弧的中點到弦的距離）是多少？但他沒有任何測量工具，聰明的小明觀察發(fā)現(xiàn)身旁的墻壁是由的正方形瓷磚密鋪而成（接縫忽略不計）．他將扇形按如圖方式擺放，點恰好與正方形瓷磚的頂點重合，根據(jù)以上操作，的拱高約是（????）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如圖所示，通過數(shù)瓷磚的個數(shù)，可以得到OC=30cm，AB=40cm，由垂徑定理得OC垂直且平分AB，則BC=20cm，再由勾股定理得,從而CD=OD-OC,即得到拱高CD的長．
【詳解】解：如圖所示，通過數(shù)瓷磚的個數(shù)，可以得到OC=30cm，AB=40cm，
∵D為中點，
∴由垂徑定理得OC垂直且平分AB，
∴BC=20cm，
∴cm，
∵OD=OB=cm，
∴CD=OD-OC=cm，
即拱高為cm，
故選D．

【點睛】此題考查了垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意做出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，DC是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于M，則下列結(jié)論不一定成立的是（　　　?。?br />
A．AM=BM B．CM=DM C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)垂徑定理“垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧”進(jìn)行判斷即可得．
【詳解】解：∵弦AB⊥CD，CD過圓心O，
∴AM=BM，，，
即選項A、C、D選項說法正確，不符合題意，
當(dāng)根據(jù)已知條件得CM和DM不一定相等，
故選B．
【點睛】本題考查了垂徑定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理．
3．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分別為AB，AC的中點，則四邊形OEAD是（??????）

A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】B
【分析】根據(jù)垂徑定理可知，，得出，即可得證四邊形OEAD是矩形．
【詳解】 D，E分別為AB，AC的中點，
，
，
四邊形OEAD是矩形(有三個角是直角的四邊形是矩形)．
【點睛】本題考查垂徑定理及矩形判定定理的理解和應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是對垂徑定理的熟練應(yīng)用．
4．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，為的直徑，為的弦，為優(yōu)弧的中點，，垂足為，，，則的半徑為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如圖，連接，延長交于點設(shè)的半徑為證明，推出，在中，根據(jù)，構(gòu)建方程求解．
【詳解】解：如圖，連接，延長交于點T，設(shè)的半徑為，

，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
故選：B．
【點睛】此題主要考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解答該題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，該題屬于中考常考題型．
5．（2022·湖北恩施·九年級期末）如圖，⊙O的半徑為4，弦心距OC＝2，則弦AB的長為（????）

A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】連接，構(gòu)造直角三角形，用勾股定理求得長，再根據(jù)垂徑定理求出長．
【詳解】如圖所示，連接
由題意知，弦心距OC＝2，
則根據(jù)垂徑定理，有
在中，
則
根據(jù)垂徑定理可知，
故選D．

【點睛】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用垂徑定理．
6．（2022·江蘇·灌南縣揚州路實驗學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點P，且P為半徑OB的中點，若CD＝6，則直徑AB的長為（　?。?br />
A．2 B．6 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)垂徑定理可知AB垂直平分CD，連接OC，根據(jù)勾股定理即可求出半徑OC，最后求出直徑即可．
【詳解】解：如圖，連接OC，

∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴，
設(shè)⊙O的半徑為r，
∵點P為OB中點，
∴，
在種，由勾股定理可得：，
即：，解得：r=或：r=（舍），
∴直徑為．
故選∶C．
【點睛】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，熟練掌握“垂直于弦的直徑平分弦”并構(gòu)建直角三角形求解是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·廣東·綠翠現(xiàn)代實驗學(xué)校二模）如圖，的半徑OD垂直弦AB于點C，若，，則的半徑為（????）

A． B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根據(jù)垂徑定理可得,再利用勾股定理直接求得的長，即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)半徑為，

，，
根據(jù)垂徑定理得：
，
，
在中，
，

，
，
解得，
即的半徑為5．
故答案為：D．
【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練運用垂徑定理得出結(jié)論，列式計算．
8．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）下列命題中假命題是（????）
A．平分弦的半徑垂直于弦 B．垂直平分弦的直線必經(jīng)過圓心
C．垂直于弦的直徑平分這條弦所對的弧 D．平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦
【答案】A
【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論分別進(jìn)行判斷．
【詳解】A、平分弦（非直徑）的半徑垂直于弦，所以A為假命題；
B、垂直平分弦的直線必經(jīng)過圓心，所以B選項為真命題；
C、垂直于弦的直徑平分這條弦所對的弧，所以C選項為真命題；
D、平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦，所以D選項為真命題．
故選：A．
【點睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理，也考查了垂徑定理的性質(zhì)．
9．（2022·江蘇·九年級）下列說法正確的是（　?。?br /> ①平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦
②平分弦的直徑平分弦所對的弧
③垂直于弦的直線必過圓心
④垂直于弦的直徑平分弦所對的弧
A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
【答案】D
【詳解】根據(jù)垂徑定理及其推論進(jìn)行判斷．
【解答】解：根據(jù)垂徑定理，
①正確；
②錯誤．平分弦（不是直徑）的直徑平分弦所對的弧；
③錯誤．垂直于弦且平分弦的直線必過圓心；
④正確．
故選：D．
【點評】注意概念性質(zhì)的語言敘述，有時是專門來混淆是非的，只是一字之差，所以學(xué)生一定要養(yǎng)成認(rèn)真仔細(xì)的習(xí)慣．
10．（2022·湖北·鄂州市教學(xué)研究室一模）如圖，小麗蕩秋千，秋千鏈子的長為，秋千向兩邊擺動的角度相同，擺動的水平距離為3米，秋千擺至最高位置時與最低位置時的高度之差（即）為0.5米．則秋千鏈子的長為（????）

A．2米 B．2.5米 C．1.5米 D．米
【答案】B
【分析】由題意知，秋千擺至最低點時，點D為的中點，由垂徑定理知OD⊥AB， AD=AB=1.5米．再根據(jù)勾股定理求得OA即可．
【詳解】解：∵點D為的中點，
∴由垂徑定理知OD⊥AB，AD=BD=AB=×3=1.5(米)，
∴OA2=AD2+OD2，
則OA2=AD2+(OA-CD)2=1.52+(OA-0.5)2，
解得：OA=2.5(米)．
故選：B．
【點睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，將實際問題抽象為幾何問題是解題的關(guān)鍵．

二、填空題
11．（2022·黑龍江大慶·九年級期末）如圖，一根排水管道的橫截面是半徑為13cm的圓．排水管內(nèi)有水，若水面寬度AB＝24cm，則水管中的水最大深度為 ___cm．

【答案】8
【分析】連接AO，作OC垂直AB交AB于點C，交圓于點D．根據(jù)垂徑定理得到，然后根據(jù)勾股定理求出CO的長度，即可求出水管中的水最大深度CD的長度．
【詳解】解：如圖所示，連接AO，作OC垂直AB交AB于點C，交圓于點D．

∵ AB是圓的一條弦，
∴，
∴在△AOC中，，
∴，
∴水管中的水最大深度為8cm．
故答案為：8．
【點睛】此題考查了垂徑定理，勾股定理等知識的運用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，勾股定理．
12．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10，OE＝6，則AB＝_______．

【答案】16
【分析】連接，由垂徑定理可得，在中利用勾股定理即可求得的長，進(jìn)而求得．
【詳解】解：連接，

∵OE⊥AB于E，
∴，
在中，，OE＝6，
∴，
∴，
故答案為：
【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
13．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在直徑為10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于點C，則OC等于________cm．

【答案】3
【分析】根據(jù)垂徑定理可將AC的長求出，再根據(jù)勾股定理可將OC求出．
【詳解】解：如圖，連結(jié)OA，

則由垂徑定理可得：OC⊥AB，且AC=BC=AB=4cm，
在Rt△ACO中，AC=4，OA=5，
由勾股定理可得OC==3cm，
故答案為3．
【點睛】本題綜合考查了圓的垂徑定理與勾股定理．
14．（2022·新疆烏魯木齊·九年級期末）某蔬菜基地的圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB＝12m，半徑OA＝10m，則中間柱CD的高度為_____m．

【答案】2
【分析】先由垂徑定理，可得AD＝6m，再由勾股定理求得OD的長，然后求得中間柱CD的高度．
【詳解】解：∵CD是中間柱，
∴，
∴OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝×12＝6（m），
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝8（m），
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣8＝2（m）．
故答案為：2．
【點睛】本題考查了垂徑定理，解答關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理解題．
15．（2022·福建·上杭縣第三中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知：如圖，⊙O1與坐標(biāo)軸交于A（1，0），B（5，0）兩點，點O1的縱坐標(biāo)為，則⊙O1的半徑為______．

【答案】3
【分析】由題意知，AB=4，過點作，垂足為C，因為點的縱坐標(biāo)為，所以，在中，利用勾股定理可求出⊙半徑．
【詳解】解：如圖，過點作，垂足為C，

∵點的縱坐標(biāo)為，
∴，
∵，
∴AC=BC=AB，
又∵⊙與坐標(biāo)軸交于A（1，0）、B（5，0），
∴AB=4，
∴AC=2，
在中，=，
即⊙的半徑為3，
故答案為：3．
【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，并進(jìn)一步求出AC的長．
16．（2022·浙江·九年級單元測試）如圖，在中，弦于點，在圓上，，，則的半徑__．

【答案】5
【分析】設(shè)OA＝OC＝r，由垂徑定理可得，然后在中利用勾股定理構(gòu)建方程求解．
【詳解】解：設(shè)，
，是半徑，
，
在中，，
，
，
故答案為：5．
【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
17．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，的半徑為4，，是的弦，且，，，則和之間的距離為______．

【答案】
【分析】作OE于E，交CD于F，連結(jié)OA，OC，根據(jù)平行線的性質(zhì)等到，再利用垂徑定理得到，再由勾股定理解得OE，OF的長，繼而分類討論解題即可．
【詳解】作OE于E，交CD于F，連結(jié)OA，OC，如圖，

在中，

在中，

當(dāng)圓心O在AB與CD之間時，

當(dāng)圓心O不在AB與CD之間時，

即AB和CD之間的距離為，
故答案為：．
【點睛】本題考查勾股定理、垂徑定理、分類討論等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
18．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B，C的坐標(biāo)分別為（1，4），（5，4），（1，﹣2），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是_________．

【答案】（3，1）
【分析】根據(jù)垂徑定理的推論“弦的垂直平分線必過圓心”，作兩條弦的垂直平分線，交點即為圓心．
【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論，則
作弦AB、AC的垂直平分線，交點D即為圓心，且坐標(biāo)是（3，1）．
故答案為：（3，1）．

【點睛】此題考查了垂徑定理的推論，能夠準(zhǔn)確確定一個圓的圓心．
19．（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，如圖1，點P表示筒車的一個盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心O為圓心，為半徑的圓，且圓心在水面上方．若圓被水面截得的弦長為，則筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為______m．

【答案】4
【分析】過O點作半徑OD⊥AB于E，如圖，由垂徑定理得到AE=BE=8，再利用勾股定理計算出OE，然后即可計算出DE的長．
【詳解】解：過O點作半徑OD⊥AB于E，如圖，

∴AE=BE=AB=×16=8，
在Rt△AEO中，OE=，
∴ED=OD-OE=10-6=4（m），
故答案為：4
【點睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧，能熟練應(yīng)用垂徑定理是解決問題的關(guān)鍵．

三、解答題
20．（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)南苑學(xué)校九年級）如圖，在⊙O中，直徑AB交弦CD于點E，OF⊥CD，垂足為F，AE=4，BE=6，OF=3．求CD的長．

【答案】8
【分析】連接，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求解．
【詳解】連接，

∵AE=4，BE=6，
∴，
∴，
∵OF⊥CD，OF=3，
∴中，，，
∴
【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理．熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
21．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是的直徑，平分弦，交于點，，，求的長．

【答案】
【分析】是直徑，且平分弦，由此可構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理即可求出答案．
【詳解】解：∵是的直徑，平分弦，
∴，，
∵，，
在中，
，，，
∴．
故的長是．
【點睛】本題考查的圓的垂徑定理，理解垂徑定理，通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
22．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，AB、CD為⊙O的兩條弦，AB∥CD，經(jīng)過AB中點E的直徑MN與CD交于F點，求證：CF＝DF

【答案】見解析
【分析】根據(jù)垂徑定理進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：∵E為AB中點，MN過圓心O，
∴MN⊥AB ，
∴∠MEB＝90°，
∵AB∥CD ，
∴∠MFD＝∠MEB＝90°，
即MN⊥CD ，
∴CF＝DF．
【點睛】本題考查了垂徑定理的運用，垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧．
23．（2022·山東濟寧·九年級期末）如圖，在以點為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于、兩點．

（1）求證：；
（2）連接、，若，，，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】（1）過點O作OE⊥AB，由等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理可知，AE=BE，CE=DE，故可得出結(jié)論.
（2）根據(jù)題意，過點O作OE⊥AB，根據(jù)垂徑定理，和勾股定理，可以求出AE，CE，的長，即可求出AC的長度．
【詳解】（1）證明：如圖，過點作于點．
，
，．
，
即．
（2）解：，，
，
，
，
，

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用垂徑定理求解是解答此題的關(guān)鍵．
24．（2022·北京·清華附中九年級階段練習(xí)）如圖是一個半圓形橋洞的截面示意圖，圓心為，直徑是河底線，弦是水位線，，米，于點，此時測得．

(1)求的長：
(2)如果水位以0.4米/小時的速度上升，則經(jīng)過多長時間橋洞會剛剛被灌滿？
【答案】(1)米
(2)經(jīng)過5小時橋洞會剛剛被灌滿

【分析】（1）連接，根據(jù)垂徑定理可得，勾股定理求得，進(jìn)而求得；
（2）延長交于點，由（1）求得，進(jìn)而求得，根據(jù)題意即可求解．
（1）
解：如圖，連接，

∵，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，
在中，，
∴，
∵直徑是河底線，，
∴，
解得，
∴，，
∴米，
（2）
如圖，延長交于點，

由（1）可得，
∴
∵水位以0.4米小時的速度上升，
∴（小時），
即經(jīng)過5小時橋洞會剛剛被灌滿．
【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
【能力提升】
一、單選題
1．（2022·江蘇·灌南縣揚州路實驗學(xué)校九年級階段練習(xí)）在中，，，已知是的外接圓，且的半徑為5，則 AB 的長為（????）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，連接OB，根據(jù)垂徑定理，構(gòu)建直角三角形進(jìn)行求解．
【詳解】
解：如圖1：當(dāng)∠BAC為銳角時，過點A作AD⊥BC于點D，連接OB，
∵AD⊥BC，BC=6，
∴BD==3，
∵半徑為5，
∴OB=OA=5，
∴，
∴AD=OA+OD=4+5=9，
∴，
如圖2：當(dāng)∠BAC為鈍角時，過點A作AD⊥BC于點D，連接OB，
∵AD⊥BC，BC=6，
∴BD==3，
∵半徑為5，
∴OB=OA=5，
∴，
∴AD=OA-OD=5-4=1，
∴，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了三角形的外接圓，垂徑定理以及勾股定理，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容，根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·黑龍江綏化·九年級期末）如圖，的弦垂直于，為垂足，，，且，則圓心到的距離是（????）

A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】連接，過點，分別作與，于，則四邊形是矩形，證明，可得，根據(jù)垂徑定理可得，根據(jù)即可求解．
【詳解】連接，過點，分別作于，于，則四邊形是矩形，
，，
，
，
，
（HL），
，
則，
，
，
，
．
故選：A．

【點睛】本題考查了垂徑定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·河北·威縣第三中學(xué)一模）如圖，A，B是⊙O上的兩點，連接AB，用尺規(guī)按①到③的步驟操作，下列結(jié)論正確的有（????）
①在⊙O上任取一點C（不與A，B重合），連接AC；
②作AB的垂線平分線交⊙O于點M，N；
③作AC的垂直平分線交⊙O于點E，F(xiàn)
結(jié)論Ⅰ：直線MN與直線EF的交點一定與點O重合；
結(jié)論Ⅱ：順次連接M，E，N，F(xiàn)四點必能得到矩形；
結(jié)論Ⅲ：⊙O上存在唯一的點C，使得

A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
【答案】B
【分析】結(jié)論Ⅰ：根據(jù)垂徑定理，直線MN與直線EF的交點是圓心O ；結(jié)論Ⅱ：根據(jù)圓的直徑相等且互相平分，判定四邊形MENF是矩形；結(jié)論Ⅲ：根據(jù)AC=AB，AB的多樣性，判斷點C不唯一．
【詳解】結(jié)論Ⅰ：直線MN與直線EF的交點一定與點O重合，
∵M(jìn)N垂直平分AB，EF垂直平分AC，
∴MN過圓心O，EF過圓心O，
∴直線MN和EF的交點與圓心O重合，結(jié)論Ⅰ正確；
結(jié)論Ⅱ：順次連接M，E，N，F(xiàn)四點必能得到矩形，
∵M(jìn)N=EF，且MN與EF互相平分，
∴四邊形MENF是矩形，結(jié)論Ⅱ正確；
結(jié)論Ⅲ：⊙O上存在唯一的點C，使得，
∵，
當(dāng)時，，
∴點A是的中點，
此時AC=AB，若有不同的AB，就有不同的AC，
∴點C不唯一，結(jié)論Ⅲ不正確．
故選B．
【點睛】本題考查了基本作圖，垂徑定理，矩形，弧中點，解決問題的關(guān)鍵是熟練線段垂直平分線的作法，矩形的判定定理，弧中點的唯一性．

二、填空題
4．（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)南苑學(xué)校九年級）如圖，半徑為3的⊙O中，弦，∠AOC=90°，設(shè)AB=a，CD=b，則_______．

【答案】36
【分析】過點O作OM⊥AB于點M，交CD于點N，證明△AMO≌△ONC，可得，再由，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點O作OM⊥AB于點M，交CD于點N，

∵，OM⊥AB，
∴ON⊥CD，
∴∠CON+∠OCN=90°，
∴，，
∵∠AOC=∠AMO=∠CNO=90°，
∴∠AOM+∠CON=90°，
∴∠AOM=∠OCN，
在△AMO和△ONC中，
∵∠AMO=∠ONC，∠AOM=∠OCN，AO=CO，
∴△AMO≌△ONC（AAS），
∴，??
∵，
∴，
∴．
故答案為：36
【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
5．（2022·黑龍江牡丹江·二模）在半徑為4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，則AB與CD之間的距離是______cm．
【答案】或
【分析】根據(jù)題意，分析兩種AB的位置情況進(jìn)行求解即可；
【詳解】解：①如圖，AB//CD，過點O作

在中
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵AB//CD
∴AB與CD之間的距離即GH
∴AB與CD之間的距離為
②如圖，作，連接AD
則有四邊形PEFD是矩形，
∴EF=PD

∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案為：或
【點睛】本題主要圓的的性質(zhì)、三角形的全等，勾股定理，掌握相關(guān)知識并正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，AB，CD是半徑為15的⊙O的兩條弦，AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，P為EF上任意一點，則PA＋PC的最小值為_____．

【答案】
【分析】由于A、B兩點關(guān)于MN對稱，因而PA＋PC＝PB＋PC，即當(dāng)B、C、P在一條直線上時，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．
【詳解】解：連接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
∵AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，
∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9，
∴，，
∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，
BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，
在Rt△BCH中，根據(jù)勾股定理得：，
即PA＋PC的最小值為．
故答案為：．

【點睛】本題考查垂徑定理以及最短路徑問題，靈活根據(jù)垂徑定理確定最短路徑是解題關(guān)鍵．
7．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是的中點，AC與BD交于點E．若E是BD的中點，則AC的長是_______．

【答案】
【分析】連接OD，交AC于F，根據(jù)垂徑定理的推論得出OD⊥AC，AF=CF，進(jìn)而證得DF=BC，根據(jù)三角形中位線定理求得OF=BC=DF，從而求得BC=DF，利用勾股定理即可求得AC．
【詳解】解：如圖，連接OD，交AC于F，

∵D是的中點，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF=BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，
，??
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF=BC，
∴OF=DF，
∵OD=3，
∴OF=1，AB=2OD=6，
∴BC=2，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和垂徑定理及其推論是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，AB是⊙C的弦，直徑MN⊥AB于點O，MN=10，AB=8，如圖以O(shè)為原點建立坐標(biāo)系．我們把橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整數(shù)點，則線段OC長是_____，⊙C上的整數(shù)點有_______個．

【答案】???? 3???? 12
【分析】過C作直徑UL∥x軸，連接AC，根據(jù)垂徑定理求出AO=BO=4，根據(jù)勾股定理求出OC，再得出答案即可．
【詳解】解：過C作直徑UL∥x軸，

連接CA，則AC=×10=5，
∵M(jìn)N過圓心C，MN⊥AB，AB=8，
∴AO=BO=4，∠AOC=90°，
由勾股定理得：CO= =3，
∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，
即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），
同理還有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x軸，
Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），
即共12個點，
故答案為：3；12．
【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，能找出符合條件的所有點是解此題的關(guān)鍵．
9．（2022·安徽·桐城市第二中學(xué)九年級期末）往水平放置的半徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面圖如圖所示，若水面寬度，求水面深度的最大值______．

【答案】8
【分析】連接OB，過點O作OC⊥AB于點D，交⊙O于點C，先由垂徑定理求出BD的長，再根據(jù)勾股定理求出OD的長，進(jìn)而得出CD的長即可．
【詳解】解：連接OB，過點O作OC⊥AB于點D，交⊙O于點C，如圖所示：

∵AB=24cm，
∴BD=AB=12（cm），
∵OB=OC=13cm，
在Rt△OBD中，（cm），
∴CD=OC-OD=13-5=8（cm），
即水的最大深度為8cm，
故答案為：8．
【點睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理等知識；根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
10．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，將一個球放置在圓柱形玻璃瓶上，測得瓶高AB＝20cm，底面直徑BC＝12cm，球的最高點到瓶底面的距離為32cm，則球的半徑為______cm（玻璃瓶厚度忽略不計）．

【答案】7.5
【分析】如詳解中圖所示，將題中主視圖做出來，用垂徑定理、勾股定理計算即可.
【詳解】如下圖所示，設(shè)球的半徑為rcm，
則OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，
∵EG過圓心，且垂直于AD，
∴G為AD的中點，
則AG=0.5AD=0.5×12=6cm，
在中，由勾股定理可得，
，
即，
解方程得r=7.5，
則球的半徑為7.5cm．

【點睛】本題考查了主視圖、垂徑定理和勾股定理的運用，準(zhǔn)確做出立體圖形的主視圖是解題的關(guān)鍵．
11．（2022·江蘇·宜興市實驗中學(xué)二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，點為平面內(nèi)一動點，以AC為直徑作，若過點且平行于x軸的直線被所截的弦GH長為．則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是______；經(jīng)過點A的直線與點C運動形成的圖像交于B，D兩點（點D在點B的右側(cè)），F(xiàn)為該圖像的最高點，若的面積是面積的3倍，則k＝______．

【答案】???? ???? -2
【分析】①先由中點坐標(biāo)公式求出點E的坐標(biāo)，設(shè)點E到G點的距離為d，求出d，過點E作，利用垂徑定理求出GD，再利用股定理求解；
②利用拋物線解析式求出頂點F的坐標(biāo)，過BD作FA的垂線，垂足為M、N，
設(shè)B、C的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，根據(jù)三角形面積關(guān)系求出，聯(lián)立直線與拋物線解析式組成方程組求出交點B，C橫坐標(biāo)，進(jìn)行求出k的值．
【詳解】解：①∵，，
∴．
設(shè)點E到G點的距離為d，
則．
過點E作，則．
??
在中，，GE為的半徑，
∴，
∴，
∴，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．
故答案為：．
②由①可知點C的運動軌跡的函數(shù)解析式為，
∴拋物線的頂點F的坐標(biāo)為．
過BD作FA的垂線，垂足為M、N，設(shè)B、C的橫坐標(biāo)分別為x1，x2．
∵，
∴
∴，
∴，
∴．
聯(lián)立得，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
故答案為：．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，理解勾股定理，中點坐標(biāo)公式，垂徑定理等相關(guān)知識，畫出圖形是解答關(guān)鍵．
12．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，已知A為半徑為3的上的一個定點，B為上的一個動點（點B與A不重合），連接AB，以AB為邊作正三角形ABC．當(dāng)點B運動時，點C也隨之變化，則O、C兩點之間的距離的最大值是______．

【答案】
【分析】連接OB，OC，OA，在優(yōu)弧AB上取點N，使得AN=AO．證明△BAO≌△CAN（SAS），推出OB=CN=3，推出OC≤ON+CN=6，可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，連接OB，OC，OA，在優(yōu)弧AB上取點N，使得AN=AO．

∵OA=ON，OA=AN，
∴AO=ON=AN，
∴△OAN是等邊三角形，
∴∠OAN=60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BAC=∠OAN=60°，
∴∠BAO=∠CAN，
∴△BAO≌△CAN（SAS），
∴OB=CN=3，
∵OC≤ON+CN=6，
∴OC的最大值為6，
故答案為：6．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，圓的相關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，利用兩地之間線段最短是本題的解題關(guān)鍵．
13．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，半圓O的直徑AB＝4cm，，點C是上的一個動點（不與點B，G重合），CD⊥OG于點D，CE⊥OB于點E，點E與點F關(guān)于點O中心對稱，連接DE、DF，則△DEF面積的最大值為__________cm2

【答案】2
【分析】連接OC，設(shè)OD＝x，OE＝OF＝y(tǒng)．根據(jù)S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，當(dāng)xy的值最大時，△DEF的面積最大；根據(jù)矩形的性質(zhì)，通過判定四邊形ODCE是矩形，得；根據(jù)勾股定理、完全平方公式的性質(zhì)分析，可得結(jié)論．
【詳解】連接OC，設(shè)OD＝x，OE＝OF＝y(tǒng)．

∵
∴OG⊥AB，
∵S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，
∴xy的值最大時，△DEF的面積最大，
∵CD⊥OG于點D，CE⊥OB于點E，
∴∠CEO＝∠CDO＝∠DOE＝90°，
∴四邊形ODCE是矩形，
∴
∴x2+y2＝22，即x2+y2＝4，
∵（x﹣y）2≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∴2xy≤4，
∴xy≤2，
∴xy的最大值為2，
∴△DEF的面積的最大值為2 cm2
故答案為：2．
【點睛】本題考查了圓、勾股定理、中心對稱、矩形、完全平方公式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的對稱性、勾股定理、完全平方公式的性質(zhì)，從而完成求解．
14．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在半徑為3的中，B是劣弧AC的中點，連接AB并延長到D，使，連接AC、BC、CD，如果，那么CD等于______．

【答案】
【分析】如圖，連OA，OB．利用垂徑定理和勾股定理求BE，利用中位線定理求CD．
【詳解】解：如圖，連OA，OB，

∵B是弧AC的中點，AB＝BC＝BD，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
由垂徑定理知，OB⊥AC，點E是AC的中點，
設(shè),則,
由勾股定理知，，，
∴,
∵AB＝2，AO＝BO=3，
∴,
解得，，
即
∵∠AEB＝∠ACD＝90°，
∴BE∥CD，
∵點B是AD的中點，所以BE是△ACD的中位線，所以CD＝2BE＝．
故答案為：
【點睛】本題利用了垂徑定理，勾股定理求解
15．（2022·江蘇南京·九年級期中）如圖，是半圓的直徑，，是半圓上的點，連接，，，且，，設(shè)，則與之間的函數(shù)表達(dá)式為__________．

【答案】
【分析】過O作OE⊥AC于E，CF⊥OD于F，連接OC，利用垂徑定理求得，再利用OE=CF列方程即可．
【詳解】過O作OE⊥AC于E，CF⊥OD于F，連接OC，如圖：

∵
∴
∵
∴四邊形OECF是矩形
∴
∵
∴OC=OD=2
∴
在Rt△OFC中，，
在Rt△DFC中，，
∴
整理得：．
故答案為：．
【點睛】本題考查垂徑定理、矩形的性質(zhì)與判定、勾股定理，正確的做出輔助線是解題的關(guān)鍵．
16．（2022·廣東深圳·一模）如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所對的優(yōu)弧上的動點，連接AP，過點A作AP的垂線交射線PB于點C，當(dāng)△PAB是等腰三角形時，線段BC的長為______．

【答案】8,,
【分析】分3種情況分析：（1）當(dāng)AB=AP時，如圖（1），作OH⊥AB于點H，延長AO交PB于點G；sin∠OAH=sin∠PAG，，PG=，∠AOH=∠P，cos∠AOH=cos∠P，，BC=PC－2PG；（2）當(dāng)PA=PB時，如圖（2），延長PO交AB于點K，類似（1）可知OK=3，PK=8，∠APC=∠AOK，cos∠APC=cos∠AOK，，，BC=PC－PB=；（3）當(dāng)BA=BP時，如圖（3），∠C=∠CAB，BC=AB．
【詳解】解：（1）當(dāng)AB=AP時，如圖（1），作OH⊥AB于點H，延長AO交PB于點G；
∵AB=AP，
∴，
∵AO過圓心，
∴AG⊥PB，
∴PG=BG，∠OAH=∠PAG，
∵OH⊥AB，
∴∠AOH=∠BOH，AH=BH=4，
∵∠AOB=2∠P，
∴∠AOH=∠P，
∵OA=5，AH=4，
∴OH=3，
∵∠OAH=∠PAG，
∴sin∠OAH=sin∠PAG，
∴，
∴PG=，
∵∠AOH=∠P，
∴cos∠AOH=cos∠P，，
∴，
∴BC=PC－2PG=；
（2）當(dāng)PA=PB時，如圖（2），延長PO交AB于點K，類似（1）可知OK=3，PK=8，∠APC=∠AOK，
∴PB=PA==，
∵∠APC=∠AOK，∴cos∠APC=cos∠AOK，
∴，
∴，
∴BC=PC－PB=；
（3）當(dāng)BA=BP時，如圖（3），
∵BA=BP，
∴∠P=∠BAP，
∵∠P+∠C=90°，∠CAB+∠BAP=90°，
∴∠C=∠CAB，
∴BC=AB=8．
故答案為或或．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)；解直角三角形．

三、解答題
17．（2022·福建師范大學(xué)附屬中學(xué)初中部九年級階段練習(xí)）如圖，在圓O中，弦AB與弦CD相互垂直，垂足為E，連接OE．

(1)若OE平分∠BED，求證：AB＝CD；
(2)若2OB＋OE＝10，求的最大值．
【答案】(1)見解析
(2)最大值200

【分析】（1）過點O分別作AB，CD的垂線段，垂足分別為M，N，由角平分線的性質(zhì)得OM=ON，根據(jù)勾股定理表示出OM、ON，整理可得結(jié)論成立；
（2）由2OB+OE=10，得OE=10-2r，由勾股定理得①，②，兩式相加，把OE=10-2r代入，表示出，進(jìn)而可表示出，然后利用配方法即可求解．
（1）
證明：過點O分別作AB，CD垂線段，垂足分別為M，N
設(shè)MB=MA=m，NC=ND=n
連OB，OD
設(shè)OB=OD=r
∵OE平分∠BED，OM⊥BE，ON⊥DE
∴OM=ON??
在Rt△OMB中，OM=
同理ON=
∵OM=ON
∴=
∴m=n
∴AB=CD????????????????????????????????????????????????????

（2）
解：設(shè)OB=OD=r，MB=MA=m，NC=ND=n
∵2OB+OE=10，
∴OE=10-2r
根據(jù)勾股定理得：
①
②
①+②得：
∵
∴
∴
∴==
∵10-2r≥0
∴r≤5
∴當(dāng)r=5時有最大值200
【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，以及配方法的應(yīng)用，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
18．（2022·北京·人大附中九年級階段練習(xí)）如圖，為的直徑，E為的中點，弦于點E，連接并延長交于點F，連接．

(1)求證：是等邊三角形；
(2)若的半徑為2，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)

【分析】（1）設(shè)的半徑為，取的中點，連接，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得，根據(jù)E為的中點，則，可得是等邊三角形，得出，即可得證；
（2）根據(jù)勾股定理求得的長，根據(jù)垂徑定理即可求解．
（1）
證明：如圖，取的中點，連接，

設(shè)的半徑為，
∵，
∴，
∵為的直徑，
∴
∵E為的中點，
∴，
∴
∴是等邊三角形，
∴
∵
∴是等邊三角形，
（2）
解：∵的半徑為2，
，
∴，
∵為的直徑，，
∴．
【點睛】本題考查了垂徑定理，圓的基本概念，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
19．（2022·江西贛州·九年級期末）按要求作圖

(1)如圖1，已知是的直徑，四邊形為平行四邊形，請你用無刻度的直尺作出的角平分線；
(2)如圖2，已知是的直徑，點C是的中點，，請你用無刻度的直尺在射線上找一點P，使四邊形是平行四邊形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析

【分析】（1）連接AD，EC交于點F，作射線OF交于點P，OP即為所求；
（2）連接DB，OC交于點E，作射線AE交DC于點P，四邊形即為所求．
（1）
解：如圖1，連接AD，EC交于點F，作射線OF交于點P，OP即為所求；

四邊形ACDE為平行四邊形，
，
，
是的角平分線；
（2）
如圖2，連接OD，連接DB，OC交于點E，作射線AE交射線DC于點P，四邊形即為所求；

點C是的中點，
,
，
，
，
，
在與中，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，三線合一，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
20．（2022·浙江嘉興·一模）如圖，在半徑為5的中，弦，點P是弦AB上的動點，連結(jié)OP并延長交弧AB于點C，設(shè)，．

(1)小南根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對于點P在弦AB上的不同位置，通過畫圖、測量與計算得到以下數(shù)據(jù)：
x
0
2
4
6
8
y
25
13
9
13
25

①判斷：變量y與x之間是我們已學(xué)的何種函數(shù)關(guān)系？
②猜想：y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
(2)小胡認(rèn)為，直接從圖形入手，借助推理與運算，可以推出y與x的函數(shù)表達(dá)式．你覺得小胡的想法能否實現(xiàn)？若能，請寫出推理過程；若不能，請說明理由．
(3)連結(jié)OA，當(dāng)是等腰三角形時，求線段AP的長．
【答案】(1)①變量y與x之間是二次函數(shù)關(guān)系；②（0≤x≤8）
(2)小胡想法能實現(xiàn)；答案見解析
(3)5或8或

【分析】（1）①描點作圖，由函數(shù)圖像判斷即可；②由頂點坐標(biāo)設(shè)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）連接OB，過圓心O作交AB與點D，由垂徑定理和勾股定理求得OD，再由勾股定理解Rt△OPD即可證明；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別討論、、；結(jié)合（2）結(jié)論計算求值即可；
(1)
解：①由列表數(shù)據(jù)畫函數(shù)圖像得：

由圖像可知：變量y與x之間是二次函數(shù)關(guān)系；
②由列表數(shù)據(jù)可知函數(shù)關(guān)于x=4對稱，x=4有最小值9，設(shè)函數(shù)解析式為：，將x=0，y=25代入得：a=1，
∴函數(shù)表達(dá)式：（0≤x≤8）．
(2)
解：小胡想法能實現(xiàn)．
如圖，連接OB，過圓心O作交AB與點D，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：（0≤x≤8）；
(3)
解：當(dāng)時，是等腰三角形，此時；
當(dāng)時，是等腰三角形，此時；
當(dāng)時，，即，∵，∴，
∴，即；
綜上所述：線段AP的長為：5或8或．
【點睛】本題考查了描點作圖判斷函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識；掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
21．（2022·北京西城·九年級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，點在上，點在內(nèi)，給出如下定義：連接并延長交于點，若，則稱點是點關(guān)于的倍特征點．
（1）如圖，點的坐標(biāo)為．

①若點的坐標(biāo)為，則點是點關(guān)于的_______倍特征點；
②在，，這三個點中，點_________是點關(guān)于的倍特征點；
③直線經(jīng)過點，與軸交于點，.點在直線上，且點是點關(guān)于的倍特征點，求點的坐標(biāo)；
（2）若當(dāng)取某個值時，對于函數(shù)的圖象上任意一點，在上都存在點，使得點是點關(guān)于的倍特征點，直接寫出的最大值和最小值．
【答案】（1）①；②；③（，）；（2）k的最小值為，k有最大值為．
【分析】（1）①先求出AP，AB的長，然后根據(jù)題目的定義求解即可；
②先求出，，即可得到，假設(shè)點是點A關(guān)于⊙O的倍特征點，得到，則不符合題意，同理可以求出，假設(shè)點是點A關(guān)于⊙O的倍特征點，得到，可求出點F的坐標(biāo)為（0，-1），由點的坐標(biāo)為（，0），得到，則，則點不是點A關(guān)于⊙O的倍特征點；
③設(shè)直線AD交圓O于B，連接OE，過點E作EF⊥x軸于F，先求出E是AB的中點，從而推出∠EOA=30°，再求出，，即可得到點E的坐標(biāo)為（，）；
（2）如圖所示，設(shè)直線與x軸，y軸的交點分別為C、D過點N作NP⊥CD交CD于P，交圓O于B，過點O作直線EF⊥CD交圓O于E，F(xiàn)即可得到，，由，可得，可以推出當(dāng)?shù)闹翟酱?，k的值越大，則當(dāng)AM=BP，MN=NP時，k的值最小，即當(dāng)A與E重合，N于F重合時，k的值最小，由此求出最小值即可求出最大值．
【詳解】解：（1）①∵A點坐標(biāo)為（1，0），P點坐標(biāo)為（，0），
∴，B點坐標(biāo)為（-1，0），
∴，
∵，
∴，
故答案為：；
②∵的坐標(biāo)為（0，），A點坐標(biāo)為（1，0），
∴，，
∴
假設(shè)點是點A關(guān)于⊙O的倍特征點，
∴，
∴不符合題意，
∴點不是點A關(guān)于⊙O的倍特征點，
同理可以求出，
假設(shè)點是點A關(guān)于⊙O的倍特征點，
∴，
∴即為AF的中點，
∴點F的坐標(biāo)為（0，-1），
∵點F（0，-1）在圓上，
∴點是點A關(guān)于⊙O的倍特征點，
∵點的坐標(biāo)為（，0），
∴，
∴，
∴點不是點A關(guān)于⊙O的倍特征點，
故答案為：；

③如圖所示，設(shè)直線AD交圓O于B，連接OE，過點E作EF⊥x軸于F，
∵點E是點A關(guān)于⊙O的倍的特征點，
∴，
∴E是AB的中點，
∴OE⊥AB，
∵∠EAO=60°，
∴∠EOA=30°，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴點E的坐標(biāo)為（，）；

（2）如圖所示，設(shè)直線與x軸，y軸的交點分別為C、D過點N作NP⊥CD交CD于P，交圓O于B，過點O作直線EF⊥CD交圓O于E，F(xiàn)
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵當(dāng)k越大時，的值越小，
∴的值越大，
∴當(dāng)?shù)闹翟酱?，k的值越大，
∴當(dāng)AM=BP，MN=NP時，k的值最小，
∴當(dāng)A與E重合，N于F重合時，k的值最小，
∵C、D是直線與x軸，y軸的交點，
∴C（1，0），D點坐標(biāo)為（0，1），
∴OC=OD=1，
∴，
∵OG⊥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴k的最小值為，
∴當(dāng)N在E點，A在F點時，k有最大值為．

【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，垂徑定理等等，解題的關(guān)鍵在于能夠正確理解題意進(jìn)行求解．
22．（2022·全國·九年級單元測試）問題提出
（1）如圖①，的半徑為8，弦，則點O到的距離是__________．
問題探究
（2）如圖②，的半徑為5，點A、B、C都在上，，求面積的最大值．
問題解決
（3）如圖③，是一圓形景觀區(qū)示意圖，的直徑為，等腰直角三角形的邊是的弦，直角頂點P在內(nèi)，延長交于點C，延長交于點D，連接．現(xiàn)準(zhǔn)備在和區(qū)域內(nèi)種植草坪，在和區(qū)域內(nèi)種植花卉．記和的面積和為，和的面積和為．
①求種植草坪的區(qū)域面積．
②求種植花卉的區(qū)域面積的最大值．

【答案】（1）8；（2）32；（3）①，②．
【分析】（1）作交AB于點C，連接OA，利用垂徑定理和勾股定理即可求出OC；
（2）作交AB于點D，連接OA，可知當(dāng)CD經(jīng)過圓心O的時候面積最大，由垂徑定理和勾股定理可求出，進(jìn)一步可求出的面積；
（3）①連接OD，OA，求出AD，進(jìn)一步可求出；②表示出，利用完全平方公式求出，當(dāng)時，有最大值為．
【詳解】解：作交AB于點C，連接OA，

∵，
由垂徑定理可知：，
∵，
∴；
（2）作交AB于點D，連接OA，

∵，若使面積最大，則CD應(yīng)最大，
∴當(dāng)CD經(jīng)過圓心O的時候取值最大，
由垂徑定理可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）①連接OD，OA，則，

∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
②由①可知：，
設(shè)，，故，
∵，
∴，當(dāng)時，等號成立，
∴，當(dāng)時，有最大值為．
【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，完全平方公式的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，（3）小問較難，解題的關(guān)鍵是表示出，求出AD，利用完全平方公式求出．

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