圓及圓的對稱性     
適用學科初中數(shù)學適用年級初中三年級適用區(qū)域北師版區(qū)域課時時長（分鐘）120知識點1.圓及與圓相關(guān)的概念2.圓的對稱性教學目標1.掌握圓的定義及圓的性質(zhì)2.掌握圓的對稱性教學重點能熟練掌握圓的相關(guān)概念及圓的對稱性教學難點能熟練掌握圓的相關(guān)概念及圓的對稱性【教學建議】本節(jié)的主要內(nèi)容是圓及圓的對稱性，主要是介紹圓的定義等一些相關(guān)概念，屬于一節(jié)基本概念課。在中考試題中主要涉及到的是圓的對稱性以及圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理。學生學習本節(jié)時可能會在以下兩個方面感到困難：1. 圓的對稱性的應用；2. 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理。 【知識導圖】【教學建議】本節(jié)是一節(jié)概念課，只需要使學生對基本概念理解就行了。在中考試題中會涉及到本節(jié)的內(nèi)容是圓的對稱性以及圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理。教師在教學時要把握好考試要求，做必要的練習，由于考試涉及到本節(jié)的內(nèi)容相對來說較簡單，所以教師在教學時，不必深挖，做很多拓展，讓學生掌握最根本的知識就行了。1.（1）圓的定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它的一個固定端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓。固定端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”.注意：①在平面內(nèi)，②圓是指圓周，而不是圓面，③圓的兩要素：圓心和半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，④線段OP的長也可以叫半徑. （2）圓的集合性定義：圓心為O，半徑為r的圓，可以看成所有到定點O，距離等于定長r的點的集合。     注：①圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于定長（半徑r）；         ②到定點的距離都等于定長的點都在同一個圓上。[來源:2.弦與直徑、弧與半圓①連接圓上任意兩點的線段叫做弦，如下圖線段AC，AB；②經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如下圖線段AB；        ③圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，“以A、C為端點的弧記作”，讀作“圓弧”或“弧AC”．大于半圓的?。ㄈ鐖D所示叫做優(yōu)弧，小于半圓的?。ㄈ鐖D所示）或叫做劣弧．④圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．  3.同心圓和等圓同心圓：圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓。如圖2所示：          圖2                             圖3等圓：半徑相等的圓（能夠互相重合的圓）叫做等圓。注：同圓或等圓的半徑相等。如圖3.等圓與位置無關(guān)等?。涸谕瑘A和等圓中，等夠完全重合的弧叫做等弧。   注：長度相等的弧，度數(shù)相等的弧都不一定是等弧。1.圓的對稱性（1）圓是軸對稱圖形，對稱軸是經(jīng)過圓心的任意一條直線．（2）圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．2.弧、弦、圓心角（1）頂點在圓心的角叫做圓心角．將整個圓分成360等分，每一份的弧對應1o的圓心角，我們也稱這樣的弧為1o的弧．圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等．（2）圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量分別相等．【題干】如圖，一枚直徑為4cm的圓形古錢幣沿著直線滾動一周，圓心移動的距離是(           ) A．2πcm     B．4πcm     C．8πcm     D．16πcm 【答案】C 【解析】根據(jù)圓的周長公式即可得.【題干】“手牽手”藝術(shù)團到某地慰問演出，要搭建一個圓形旋轉(zhuǎn)舞臺．該地一工人發(fā)現(xiàn)周圍有四根木柱，且這四根木柱恰好構(gòu)成菱形，他找到這個菱形四條邊的中點，然后他說這四個中點在同一圓形舞臺上．請問：他的想法有道理嗎？證明你的結(jié)論． 【答案】見解析 【解析】證明：連接OE，OF，OG，OH.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD.又∵E為AB的中點，∴OE＝AB.同理OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴點E，F，G，H四點在以O為圓心，OE長為半徑的圓上．【題干】如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長線相交于點E.已知AB＝2DE，∠E＝18°.試求∠AOC的度數(shù)．    【答案】54°【解析】連接OD， ∵AB＝2DE，AB＝2OD， ∴OD＝DE，∴∠DOE＝∠E， ∴∠ODC＝2∠E＝36°， ∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC＝36°， ∴∠AOC＝∠C－∠E＝54°【題干】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以點B為圓心，BC長為半徑作⊙B，點A，C及AB，AC的中點D，E與⊙B有怎樣的位置關(guān)系？【答案】見解析【解析】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，∴AB＝＝5 cm.∵⊙B的半徑為3 cm，而AB＝5 cm>3 cm，∴點A在⊙B外．又∵BC＝3 cm＝r，∴點C在⊙B上．∵D是AB的中點，∴BD＝AB＝2.5 cm，∴BD<3 cm，∴點D在⊙B內(nèi)．連接BE，∵BE>BC>3 cm，∴點E在⊙B外． 【題干】由于過度砍伐森林和破壞植被，我國某些地區(qū)多次受到沙塵暴的侵襲．近來A市氣象局測得沙塵暴中心在A市正東方向400 km的B處，正在向西北方向移動，若距沙塵暴中心300 km的范圍內(nèi)將受到影響，則A市是否會受到這次沙塵暴的影響？【答案】見解析【解析】如下圖，過點A作AC⊥BD于點C.由題意，得AB＝400 km，∠DBA＝45°.在Rt△ACB中，∵sin∠DBA＝，∴AC＝AB·sin∠DBA＝400×＝200≈282.8(km)．∵282.8＜300，∴A市將會受到這次沙塵暴的影響．【題干】如圖所示，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四點，OC，OD交AB于點E，F，且AE＝FB，下列結(jié)論：①OE＝OF；②AC＝CD＝DB；③CD∥AB；④＝.其中正確的有(       )A．4個      B．3個  C．2個      D．1個【答案】B【解析】①③④正確【教學建議】在講解過程中，教師可以以中考真題入手，重點放在二次函數(shù)的平移上，先把例題講解清晰，再給學生做針對性的練習，注意各個二次函數(shù)的圖象的平移情況，它們之間是怎么樣平移的，總結(jié)平移的規(guī)律，抓住拋物線性質(zhì)的變與不變。1.若點P到⊙O的最小距離為6 cm，最大距離為8 cm，則⊙O的半徑是         。【答案】1cm或7cm【解析】考慮兩種情況2.設(shè)⊙O的半徑為2，點P到圓心的距離為m，且關(guān)于x的方程2x2－2x＋m－1＝0有實數(shù)根，試確定點P與⊙O的位置關(guān)系．【答案】點P在⊙O內(nèi)或⊙O上【解析】由題意知b2－4ac＝(－2)2－4×2×(m－1)≥0，即m≤2.而⊙O的半徑r＝2，∴m≤r.∴點P在⊙O內(nèi)或⊙O上． 3.下列說法中，正確的是(　　)A．等弦所對的弧相等     B．等弧所對的弦相等C．圓心角相等，所對的弦相等   D．弦相等，所對的圓心角相等 【答案】B【解析】緊扣定義即可4.如圖，在△ABC中，∠A＝70°，⊙O截△ABC三邊所得的弦長相等，則∠BOC的度數(shù)是多少？        【答案】125°【解析】如圖，過點O分別作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分別為D，E，F.由⊙O截△ABC三邊所得的弦長相等，可以證明OD＝OE＝OF，即∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，所以∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－＝90°＋∠A＝125°.1.如圖所示，在⊙O上有一點C(C不與A、B重合)，在直徑AB上有一個動點P(P不與A、B重合)．試判斷PA、PC、PB的大小關(guān)系，并說明理由． 【答案】見解析【解析】當點P與點O重合時，PA＝PB＝PC， 當點P在OA上時，PA＜PC＜PB. 理由：連接OC， 在△POC中，OC－OP＜PC＜OP＋OC， ∵OA＝OB＝OC， ∴OA－OP＜PC＜OP＋OB，∴PA＜PC＜PB， 同理，當P點在OB上時，PB＜PC＜PA. 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4.如果以點A為圓心，AC長為半徑作⊙A，那么斜邊中點D與⊙A的位置關(guān)系是(　　)A．點D在⊙A外    B．點D在⊙A上C．點D在⊙A內(nèi)    D．無法確定【答案】A【解析】提示：直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半。  3.如圖所示，在⊙O中，如果＝，那么AB＝________，∠AOB＝∠______；若OE⊥AB于點E，OF⊥CD于點F，則OE______OF.【答案】CD　∠COD?。?/span>【解析】根據(jù)圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理。4.如圖所示，AB是⊙O的直徑，＝＝，∠COD＝34°，則∠AEO的度數(shù)是________．【答案】51°【解析】根據(jù)弧相等則邊相等，等邊對等角，平角是180°等可求。 1.設(shè)⊙O的半徑為2，點P到圓心的距離為OP，且OP的長是關(guān)于x的方程x2－3x＋2＝0的實數(shù)根，試確定點P與⊙O的位置關(guān)系． 【答案】見解析【解析】解方程x2－3x＋2＝0，得x1＝1，x2＝2，∴當OP＝1時，點P在⊙O內(nèi)；當OP＝2時，點P在⊙O上．故點P在⊙O內(nèi)或⊙O上． 2.如圖，∠AOB＝90°，C，D是的三等分點，連接AB分別交OC，OD于點E，F.求證：AE＝BF＝CD. 【答案】見解析【解析】證明：如圖所示，連接AC，∵C，D是的三等分點．∴AC＝CD，∴∠AOC＝∠DOB＝30°.又∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴△AOE≌△BOF，∴AE＝BF.∵OA＝OC，∠AOC＝30°，∴∠ACO＝∠OAC＝75°.又∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAE＝45°.∵∠AEC＝∠AOC＋∠OAE＝30°＋45°＝75°，∴∠ACE＝∠AEC，∴AE＝AC，∴AE＝BF＝CD. 3.如圖，已知A，B，C是半徑為2的⊙O上的三個點，其中A是的中點，連接AB，AC，點D，E分別在弦AB，AC上，且滿足AD＝CE.(1)求證：OD＝OE；(2)連接BC，當BC＝2時，求∠DOE的度數(shù)． 【答案】見解析【解析】(1)證明：連接OA，OB，OC，∵A是的中點，∴∠AOB＝∠AOC.∵OA＝OB＝OC，∴∠ABO＝∠BAO＝∠ACO.∵AD＝CE，∴△AOD≌△COE，∴OD＝OE.(2)連接BC交OA于點F，由條件可知AO是BC的垂直平分線，∴OA⊥BC，BF＝CF＝.在Rt△BFO中，OF＝＝，∴BF＝OF，∴∠AOB＝45°.∵△AOD≌△COE，∴∠AOD＝∠COE，∴∠BOD＝∠AOE，∴∠DOE＝∠AOB＝45°.  1.掌握圓的定義及圓的性質(zhì).2.掌握圓的對稱性1. 已知⊙O的半徑是5，點A到圓心O的距離是7，則點A與⊙O的位置關(guān)系是(　　)A．點A在⊙O上  B．點A在⊙O內(nèi)C．點A在⊙O外  D．點A與圓心O重合 【答案】 C【解析】根據(jù)定義判斷 2. 如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條直徑，CE∥AB，所對的圓心角的度數(shù)為75°，則∠BOC＝________． 【答案】127.5°【解析】提示：連接OE，平行線轉(zhuǎn)移角，圓中半徑處處相等，等邊對等角，三角形內(nèi)角和180度。3.如圖,在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為M．則有AM=_____， _____= ， ____= ．【答案】BM    【解析】根據(jù)圓的對稱性1.如下圖所示，在△ABC中，AB為的⊙O直徑，∠B=60°，∠C=70°，則∠BOD的度數(shù)是（      ）A．80°           B．90°            C．100°            D．120°【答案】100°【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和，等邊對等角，平角是180°可求得。 2.如圖，點P是以O為圓心，AB為直徑的半圓上的動點，AB＝2.設(shè)弦AP的長為x，△APO的面積為y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是(            )  【答案】A【解析】做高，根據(jù)三角函數(shù)求高，然后根據(jù)三角形面積公式可得。3.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8 cm，AB＝10 cm，CD是斜邊AB的中線，以AC為直徑作⊙O，P為CD的中點，點C，P，D與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？ 【答案】見解析【解析】如下圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8 cm，AB＝10 cm，∴AC＝＝6 cm.∴OC＝AC＝×6＝3(cm)．連接OP.∵P為CD的中點，∴OP＝AD＝AB＝2.5(cm)．∵⊙O的半徑r＝OC＝AC＝3 cm，∴點C在⊙O上，點P在⊙O內(nèi)．連接OD.∵D為AB的中點，∴OD＝BC＝×8＝4(cm)>3 cm，∴點D在⊙O外． 1.如圖，AB是半圓O的直徑，四邊形CDEF是內(nèi)接正方形。(1)求證：OC=OF；(2)在正方形CDEF的右側(cè)有一正方形FGHK，點G在AB上，H在半圓上，K在EF上。若正方形CDEF的邊為2，求正方形FGHK的面積。 【答案】見解析【解析】解答：(1)證明：連接OD，OE，則OD=OE，∵四邊形CDEF為正方形∴CD=FE,∠DCO=∠EFO=90°，∴在Rt△DOC和Rt△EOF中：OD=OE，CD=FE∴Rt△DOC≌Rt△EOF，∴OC=OF. (2)連接OH,設(shè)正方形FGHK的邊長為x.由已知及(1)可得EF=2，OF=1.在Rt△OEF中,OE2=OF2+EF2=12+22=5.在Rt△OHG中,OH2=OG2+GH2，OE=OH，∴5=(1+x)2+x2.整理得x2+x?2=0.解得x1=?2(不合題意,舍去),x2=1.∴x2=1  ∴正方形FGHK的面積為1. 2.如圖，MN是⊙O的直徑，弦AB，CD相交于直線MN上的一點P，∠APM＝∠CPM.(1)如圖①，根據(jù)以上條件，若交點P在⊙O的內(nèi)部，試判斷AB和CD的大小關(guān)系，并說明理由．(2)如圖②，若交點P在⊙O的外部，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．　　　 【答案】見解析【解析】解：(1)AB＝CD.理由：過點O分別作OE⊥AB于點E，作OF⊥CD于點F.∵∠APM＝∠CPM，∠APM＝∠BPN，∠CPM＝∠DPN，∴∠OPE＝∠OPF.∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠OEP＝∠OFP＝90°.又∵OP＝OP，∴△OPE≌△OPF，∴OE＝OF，∴AB＝CD.(2)AB＝CD仍然成立．證明：過點O分別作OE⊥AB于點E，OF⊥CD于點F.∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠OEP＝∠OFP＝90°.∵∠APM＝∠CPM，OP＝OP，∴△OPE≌△OPF，∴OE＝OF，∴AB＝CD. 3.小賈和同學一起到游樂場玩大型摩天輪．摩天輪的半徑為20 m，勻速轉(zhuǎn)動一周需要12 min，小賈乘坐最底部的車廂(離地面0.5 m)．(1)經(jīng)過2 min后小賈到達點Q(如下圖)，此時他離地面的高度是多少？(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動的過程中，小賈將有多長時間連續(xù)保持在離地面不低于30.5 m的空中？ 【答案】見解析【解析】解：(1)作QC⊥OA，垂足為C，連接OQ，如圖3－2－34.∵旋轉(zhuǎn)一周需要12 min，∴∠AOQ＝×360°＝60°.在Rt△OQC中，OQ＝20 m，∴OC＝OQ×cos60°＝20×＝10(m)，∴CA＝OA－OC＝20＋0.5－10＝10.5(m)．即小賈從底部開始旋轉(zhuǎn)2 min后離地面10.5 m.(2)延長AO交⊙O于點H.設(shè)小賈在D處離地面30.5 m，作DP⊥AH，垂足為G，連接OD，OP，則GA＝30.5 m，∴HG＝10 m，OG＝10 m.由sinD＝＝＝，得∠D＝30°，∴∠DOG＝60°，∴由點D轉(zhuǎn)到點H所用時間為×12＝2(min)．由于摩天輪勻速轉(zhuǎn)動，根據(jù)圓的對稱性，則小賈將有4 min的時間連續(xù)保持在離地面不低于30.5 m的空中．   

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2 圓的對稱性

版本： 北師大版

年級： 九年級下冊

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