第15講


講














確定圓的條件及直線與圓的位置關系


























概述





【教學建議】


本節(jié)課的內容在圓這一章中，占有重要的地位，也是中考中的必考內容。教師在教學中要讓學生親自動手去畫一畫，發(fā)現(xiàn)確定圓的條件以及三角形的外心是怎們確定的。對于切線的性質與切線的判定是中考中的熱點問題，要以典例引領，幫助學生形成有效的解題策略（解題模型）。


學生學習本節(jié)時可能會在以下三個方面感到困難：


1. 確定圓的條件的探索；


2. 切線的性質；


3.切線的判定。


【知識導圖】











教學過程








一、導入





【教學建議】


本節(jié)內容屬于中考數(shù)學的必考內容，尤其以切線的性質與切線的判定出現(xiàn)的次數(shù)最多。在教學中，教師需要幫助學生理清切線的性質和切線的判定的使用條件和常用的解題模型。如有可能最好給學生補充弦切角定理及其逆定理（使用時須證明），這樣可以拓寬學生的解題思路。





二、知識講解








知識點1 確定圓的條件








1.不在同一條直線上的三個點確定一個圓；


2.一個三角形能畫一個外接圓，一個圓中有無數(shù)個內接三角形。


3.三角形的外接圓與外心








知識點2 直線與圓的位置關系





1.直線和圓有幾種位置關系








如圖（a），直線L和圓有兩個公共點，這時我們就說這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線．


如圖（b），直線和圓有一個公共點，這時我們說這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點．


如圖（c），直線和圓沒有公共點，這時我們說這條直線和圓相離．[





2.切線的判定和性質


1、切線的性質定理圓的切線垂直于過切點的半徑


2、推論：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點，經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.





3、切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線





4.弦切角定理及其逆定理








三、例題精析








例題1





【題干】小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了,其中四塊碎片如圖所示,為配到與原來大小一樣的圓形玻璃,） 小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應該是（ ）








A. 第①塊 B. 第②塊 C. 第③塊 D. 第④塊


【答案】B


【解析】不在同一條直線上的三個點確定一個圓.





例題2





【題干】如圖，有一個三角形池塘，在它的三個頂點A，B，C處均有一棵白楊樹，現(xiàn)設想把三角形池塘擴建成圓形的養(yǎng)魚池，但必須保持白楊樹不動，請問能否實現(xiàn)這一設想？若能，請設計并畫出圖形；若不能，請說明理由．








【答案】白楊樹保持不變，則A，B，C三點必須在圓上，因此，就是作△ABC的外接圓


【解析】白楊樹保持不變，則A，B，C三點必須在圓上，因此，就是作△ABC的外接圓．


解：能．作法如下：


(1)分別作BC，AC的垂直平分線，設這兩條垂直平分線的交點為O；


(2)以O為圓心，OA長為半徑作圓．


如圖中的⊙O即為所求的圓形養(yǎng)魚池．








例題3





【題干】如圖，AD為△ABC外接圓的直徑，AD⊥BC，垂足為F，∠ABC的平分線交AD于點E，連接BD，CD.


(1) 求證：BD＝CD;


(2) 請判斷B，E，C三點是否在以點D為圓心，DB長為半徑的圓上，并說明理由．





【答案】見解析


【解析】(1)證明：∵AD為直徑，AD⊥BC，


∴BF＝CF，∴BD＝CD.


(2)B，E，C三點在以點D為圓心，DB長為半徑的圓上．理由如下：


由(1)知＝，


∴∠BAD＝∠CBD.


∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE.


∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，


∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE.


由(1)知BD＝CD，


∴DB＝DE＝DC.


∴B，E，C三點在以點D為圓心，DB長為半徑的圓上．





例題4





【題干】如圖，為⊙O的弦，為劣弧的中點，





（1）若⊙O的半徑為5，AB=8，求；


（2）若，且點在⊙O的外部，判斷與⊙O的位置關系，并說明理由．





【答案】見解析


【解析】（1）如圖，∵AB為⊙O的弦，C為劣弧AB的中點，AB=8，∴OC⊥AB于E，∴AE＝AB＝4，又∵AO=5，∴OE＝＝3，∴CE=OC-OE=2，在Rt△AEC中，tan∠BAC＝；


（2）AD與⊙O相切．理由如下：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC，∵由（1）知OC⊥AB，∴∠C+∠BAC=90°．又∵∠BAC=∠DAC，∴∠OAC+∠DAC=90°，∴AD與⊙O相切．








例題5





【題干】如圖，AC是⊙O的直徑，PB切⊙O于點D，交AC的延長線于點B，且∠DAB＝∠B．


O


A


B


C


D


P





（1）求∠B的度數(shù)；


（2）若BD＝9，求BC的長．


【答案】見解析


【解析】證明：（1）連結OD∵PB切⊙O于點D，∴OD⊥PB ∵OA=OD，∴∠COD=2∠A，而∠A=∠B，


∴∠COD=2∠B ∴在Rt△BOD中，?B=30°


（2）∵在Rt△BOD中，BD=9，∴OD=OC=3，OB=6 ∴BC=3.








例題6





【題干】如圖，AB是⊙O的直徑，點F，C是⊙O上兩點，且AF=FC=BC，連接AC，AF，過點C作CD⊥AF交AF延長線于點D，垂足為D．





求證：CD是⊙O的切線；





【答案】見解析


【解析】證明：連結OC，如圖，





∵FC=BC，∴∠FAC=∠BAC，


∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AF，


∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；








四 、課堂運用





【教學建議】


在講解過程中，教師可以以中考真題入手，先把例題講解清晰，再給學生做針對性的練習。





基礎





1.下列四個命題正確的有( )


①經過三角形頂點的圓是三角形的外接圓；②任何一個三角形一定有一個外接圓，并且只有一個外接圓；③任何一個圓一定有一個內接三角形，并且只有一個內接三角形；④三角形的外心到該三角形三個頂點的距離相等．


A．1個 B．2個 C．3個 D．4個





【答案】B


【解析】根據(jù)相關結論易得。





2.直角三角形的兩邊長分別為16和12，則此三角形的外接圓半徑是________．


【答案】10或8


【解析】提示：因為斜邊未知，所以分兩種情況，然后根據(jù)直角三角形的外心是斜邊的中點，等于斜邊的一半即可得。





3.已知：⊙O的半徑為2cm，圓心到直線l的距離為1cm，將直線l沿垂直于l的方向平移，使l與⊙O相切，則平移的距離是（ ）


A．1cm B．3cm或2cm C．3cm D．1cm或3cm





【答案】D


【解析】提示：注意分兩種情況。


4.如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是（ ）





A．點（0，3） B．點（2，3） C．點（5，1） D．點（6，1）


【答案】C


【解析】提示：先找圓心，然后連接過B點的半徑，最后過B點作垂線即可得。





5.下列四個命題：①與圓有公共點的直線是該圓的切線；②到圓心的距離等于該圓半徑的直線是該圓的切線；③垂直于圓的半徑的直線是該圓的切線；④過圓直徑的端點，垂直于此直徑的直線是該圓的切線．其中正確的是( )


A．①② B．①④ C．②④ D．③④


【答案】C


【解析】根據(jù)切線的判定即可得。





6.如圖，△ABC中，CA=CB，以BC為直徑的半圓O交于AB于D，DE⊥AC于E．求證：DE是半圓O的切線．








【答案】見解析


【解析】連接OD，如圖所示，





∵AC=BC，∴∠A=∠ABC，


∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB，∴∠ODB=∠A，∴OD∥AC，


又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∴∠ODG=90°，∴OD⊥EG，


∴DE是⊙O的切線．








鞏固





1.△ABC為⊙O的內接三角形，若∠AOC＝160°，則∠ABC的度數(shù)是( )


A．80° B．160°


C．100° D．80°或100°





【答案】D


【解析】注意分類討論





2.已知⊙O的半徑r=3，設圓心O到一條直線的距離為d，圓上到這條直線的距離為2的點的個數(shù)為m，給出下列命題：


①若d＞5，則m=0；②若d=5，則m=1；③若1＜d＜5，則m=3；④若d=1，則m=2；⑤若d＜1，則m=4．


其中正確命題的個數(shù)是（ ）


A．1 B．2 C．4 D．5


【答案】C


【解析】根據(jù)直線與圓的位置關系即可得。





3.如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，AO與⊙O交于點C，若∠BCA=115°，則∠A的度數(shù)為（ ）





A．40° B．45° C．50° D．55°


【答案】A


【解析】根據(jù)切線的性質和三角形內角和定理即可得。





4.如圖，△ABC為等腰三角形，AB=AC，O是底邊BC的中點，⊙O與腰AB相切于點D，求證：AC與⊙O相切．








【答案】見解析


【解析】連接OD，過點O作OE⊥AC于E點，





則∠OEC=90°，


∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB，∴∠ODB=90°，∴∠ODB=∠OEC；


又∵O是BC的中點，∴OB=OC，


∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△OBD≌△OCE，


∴OE=OD，即OE是⊙O的半徑，


∴AC與⊙O相切．





5.如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，∠CDA=∠CBD．





求證：CD是⊙O的切線。


【答案】見解析


【解析】證明：連OD，OE，∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠1，∴∠1=∠CDA，∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切線；


6.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的內切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)





（1）求證：四邊形ODCE是正方形；


（2）若BC=5、AC=12，⊙O的半徑為R，求R的值．





【答案】見解析


【解析】（1）證明：∵△ABC的內切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，


∴OE⊥AC，OD⊥BC，OF⊥AB，


∴∠OED=∠ODE=90°，OE=OD，


∵∠C=90°，


∴四邊形ODCE是正方形；


（2）解：BC=5，AC=12，由勾股定理得：AB=13，


連接OA、OB、OC、OF，


∵S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，


∴AC×BC=×AB×OF+AC×OE+BC×OD，


∴5×12=13R+12R+5R，


∴R=2．


答：R的值是2．











拔高





1.如圖，⊙O的直徑AB為6，弦AC的長為2，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求四邊形ADBC的面積．








【答案】見解析


【解析】∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.


在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝2，


∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(62－22)＝4eq \r(2).


∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，


∴∠DCA＝∠BCD，


∴＝，∴AD＝BD.


在Rt△ABD中，AD＝BD＝eq \f(\r(2),2)AB＝3eq \r(2)，


∴四邊形ADBC的面積＝S△ABC＋S△ABD＝eq \f(1,2)AC·BC＋eq \f(1,2)AD·BD＝eq \f(1,2)×2×4eq \r(2)＋eq \f(1,2)×(3eq \r(2))2＝9＋4eq \r(2).





2.已知圓心O到直線m的距離為d，⊙O的半徑為r


（1）當d、r是方程x2-9x+20=0的兩根時，判斷直線m與⊙O的位置關系?


（2）當d、r是方程 x2-4x+p=0的兩根時，直線m與⊙O相切，求p的值





【答案】見解析


【解析】 解：（1）解方程x2-9x+20=0得 d=5 r=4或d=4 r=5


當d=5 r=4時 ，d﹥r ，此時直線m與⊙相離


當d=4 r=5時 ，d﹤r ，此時直線m與⊙相交


（2）當直線m與⊙相切時，d=r





∴ p=4





3.已知AB是半圓O的直徑，點C是半圓O上的動點，點D是線段AB延長線上的動點，在運動過程中，保持CD=OA．


（1）當直線CD與半圓O相切時（如圖①），求∠ODC的度數(shù)；


（2）當直線CD與半圓O相交時（如圖②），設另一交點為E，連接AE，若AE∥OC，


①AE與OD的大小有什么關系？為什么？


②求∠ODC的度數(shù)．





【答案】見解析


【解析】（1）如圖①，連接OC，





∵OC=OA，CD=OA，


∴OC=CD，∴∠ODC=∠COD，


∵CD是⊙O的切線，


∴∠OCD=90°，∴∠ODC=45°；


（2）如圖②，連接OE．





∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA，


∴∠1=∠2，∠3=∠4．


∵AE∥OC，


∴∠2=∠3．


設∠ODC=∠1=x，則∠2=∠3=∠4=x．


∴∠AOE=∠OCD=180°-2x．


①AE=OD．理由如下：


在△AOE與△OCD中，





∴△AOE≌△OCD（SAS），


∴AE=OD．


②∠6=∠1+∠2=2x．


∵OE=OC，∴∠5=∠6=2x．


∵AE∥OC，∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x+2x+2x=180°，


∴x=36°．∴∠ODC=36°．





4.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點，以OA為半徑的⊙O經過點D。





（1）求證：BC是⊙O切線；


（2）若BD=5，DC=3，求AC的長。


【答案】見解析


【解析】（1）證明:連接OD． ∵ OA=OD AD平分∠BAC ∴ ∠ODA=∠OAD ∠OAD=∠CAD


∴∠ODA=∠CAD ∴ OD//AC ∴ ∠ODB=∠C=90° ∴ BC是⊙O的切線．


（2）過D點作AB的垂線段DE ∴DE=DC=3，BD=5， 則BE=4，


又∵AE=AC，在直角△ABC中運用勾股定理，設AC=x，則x2+82=(x+4)2解得：x=6，∴ AC=6





5.如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點P，過點B的直線交OP的延長線于點C，且CP=CB．





（1）求證：BC是⊙O的切線；


（2）若⊙O的半徑為，OP=1，求BC的長．


【答案】見解析


【解析】（1）連接OB，如圖，





∵OP⊥OA，


∴∠AOP=90°，


∴∠A+∠APO=90°，


∵CP=CB，


∴∠CBP=∠CPB，


而∠CPB=∠APO，


∴∠APO=∠CBP，


∵OA=OB，


∴∠A=∠OBA，


∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，


∴OB⊥BC，


∴BC是⊙O的切線；


（2）設BC=x，則PC=x，


在Rt△OBC中，OB=，OC=CP+OP=x+1，


∵OB2+BC2=OC2，


∴（）2+x2=（x+1）2，


解得x=2，


即BC的長為2．








6.已知：如圖，⊿ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點P，PD⊥AC于點D．





（1）求證：PD是⊙O的切線．


（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的長．





【答案】見解析


【解析】（1）連接AP，因為AB為直徑，所以∠APB=90o，AP⊥BC，因為AB=AC，所以BP=CP，又因為AO=BO，所以OP∥AC，因為PD⊥AC，所以PD⊥OP．又因為OP是半徑，所以PD是⊙O的切線．


（2）因為AP⊥BC，AB=AC，∠CAB=120°，所以∠PAB=∠PAC=60o，所以∠B=30o，在Rt△APB中，因為AB=2，所以AP=1，PB=，所以BC=2BP=2．即BC的長是2．














課堂小結





確定圓的條件


確定圓的條件；


三角形的外接圓。


直線與圓的位置關系


切線的性質；


切線的判定；


三角形的內切圓和內心。








拓展延伸








基礎





1. 如圖，若銳角三角形ABC內接于⊙O，點D在⊙O外(與點C在AB同側), 則下列三個結論：①sinC>sinD；②csC>csD；③tanC>tanD，其中正確的結論為( )





A．①② B．②③ C．②③ D．①③





【答案】D


【解析】根據(jù)相關結論易得。





2. 如圖，AB是⊙O的弦，點C在過點B的切線上，且OC⊥OA，OC交AB于點P，已知∠OAB＝22°，則∠OCB＝________°．





【答案】44


【解析】連接OB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠A＝22°，∴∠AOB＝180°－2×22°＝136°；又∵OC⊥OA，∴∠BOC＝136°－90°＝46°；∵BC切⊙O于點B，∴OB⊥BC，∴∠OCB＝90°－∠BOC＝90°－46°＝44°．








3.如圖，點 A，B，D 在⊙O 上，∠A＝20°，BC 是⊙O的切線，B為切點，OD的延長線交BC于點C，∠OCB＝ 度.





【答案】50°


【解析】∵∠B0D＝2∠A，∠A＝20°，


∴∠BOD＝40°


又∵BC與⊙O相切


∴BC⊥OB，∠OBC＝90°


∴∠OCB＝50°





4.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O與AC邊交于點D，過點D的直線交BC邊于點E，∠BDE=∠A．





（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由．


（2）若⊙O的半徑R=5，若BC:AB=3：4，求線段CD的長．





【答案】見解析


【解析】（1）直線DE與⊙O相切．


理由如下：連接OD．


∵OA=OD


∴∠ODA=∠A


又∵∠BDE=∠A


∴∠ODA=∠BDE


∵AB是⊙O直徑


∴∠ADB=90°


即∠ODA+∠ODB=90°


∴∠BDE+∠ODB=90°


∴∠ODE=90°


∴OD⊥DE


∴DE與⊙O相切；


（2）∵R=5，


∴AB=10，


在Rt△ABC中


∵BC:AB=3：4


∴BC =10×=，


∴AC=


∵AB．BC=AC．BD


∴．CD=4．5





5.如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以O為圓心，OA為半徑的圓交AB于D，延長 AO交⊙O于E，連接CD，CE，若CE是⊙O的切線，解答下列問題：





（1）求證：CD是⊙O的切線；


（2）若平行四邊形OABC的兩邊長是方程的兩根，求平行四邊形OABC的面積．





【答案】見解析


【解析】證明：（1）連OD，∵CE是⊙O的切線， ∠OEC=90O ，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，又∵OC//AD


∴∠OAD =∠EOC，∠DOC=∠ODA，∴∠EOC=∠DOC， 又∵OD=OE，OC=OC， ∴△ODC≌△OEC（SAS）


∴∠ODC=∠OEC=90 O， ∴CD是⊙O的切線。


（2），，即OC=10，OA=6 在Rt△ODC， CD=8 ∵△ODC≌△OEC ，CE=CD=8


∴平行四邊形OABC的面積S=OA×CE=6×8=48





6.如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，點E在邊AC上，且滿足ED=EA．





（1）求∠DOA的度數(shù)；


（2）求證：直線ED與⊙O相切．





【答案】見解析


【解析】證明：（1）∵∠DBA=50°，∴∠DOA=2∠DBA=100°；


（2）證明：連接OE，





在△EAO和△EDO中，


AO=DO，EA=ED，EO=EO，


∴△EAO≌△EDO，


得到∠EDO=∠EAO=90°，


∴直線ED與⊙O相切．








鞏固





1.如圖，在圓O中，AB為直徑，AD為弦，過點B的切線與AD的延長線交于點C,AD=DC,則∠C= 度.





【答案】450


【解析】∵AB為直徑，∴∠ADB=900,∵AD=DC,∴AB=BC,∵BC為圓O的切線,∴AB⊥BC,∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠C=450.





2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D，連接CD．





（1）求證：∠A=∠BCD；


（2）若M為線段BC上一點，試問當點M在什么位置時，直線DM與⊙O相切？并說明理由．





【答案】見解析


【解析】（1）證明：∵AC為直徑，


∴∠ADC=90°，


∴∠A+∠DCA=90°，


∵∠ACB=90°，


∴∠DCB+∠ACD=90°，


∴∠DCB=∠A；


（2）當MC=MD（或點M是BC的中點）時，直線DM與⊙O相切；


解：連接DO，


∵DO=CO，∴∠1=∠2，


∵DM=CM，∴∠4=∠3，


∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直線DM與⊙O相切，


故當MC=MD（或點M是BC的中點）時，直線DM與⊙O相切．








3.圖，正方形的邊長為8，是的中點，是邊上的動點，連結，以點P為圓心，PM長為半徑作⊙P.當⊙P與正方形ABCD的邊相切時，BP的長為 ．





【答案】3或


【解析】由題意知，BM=4，分兩種情況，（1）與CD相切時，設PM=PC=x，由勾股定理得，x2=42＋(8－x)2,解得x=5,所以BP=3；（2）與AD相切時，PM=8，由勾股定理得，BP2=82－42，即BP=。





4.已知：如圖△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，過點D作DE⊥AC于E，交BC的延長線于點F．





求證：（1）AD=BD；


（2）DF是⊙O的切線．


【答案】見解析


【解析】證明：（1）連接CD，





∵BC為⊙O的直徑，


∴CD⊥AB．


∵AC=BC，


∴AD=BD．


（2）連接OD；


∵AD=BD，OB=OC，


∴OD是△BCA的中位線，∴OD∥AC．


∵DE⊥AC，∴DF⊥OD．


∵OD為半徑，∴DF是⊙O的切線．





5.如圖，PA是⊙O的切線，A是切點，AC是直徑，AB是弦，連接PB、PC，PC交AB于點E，且PA＝PB.


（1）求證：PB是⊙O的切線；


（2）若∠APC＝3∠BPC，求的值.








【答案】見解析


【解析】（1）證明：方法一:分別連接OB，OP，在△OAP和△OBP中，，∴△OAP≌△OBP(SSS)，∴∠OBP＝∠OAP，∵PA是⊙O的切線，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，∴PB是⊙O的切線.





方法二：連接OB.


∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO＝90°.


∵OA＝OB，PA＝PB，


∴∠OAB＝∠OBA， ∠PAB＝∠PBA.


∴∠PBO＝∠PAO＝90°，


∴PB是⊙O的切線.


⑵連接BC，設AB與OP交于點F，


∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，


∵PA，PB是⊙O的切線，


∴PO垂直平分AB， PO平分∠APB .


∴OP∥BC， ∴∠OPC＝∠PCB.


∵∠APC＝3∠BPC， ∴∠OPC＝∠CPB， ∴∠PCB＝∠CPB.


∴CB＝BP．


設OF＝t，則CB＝BP＝2t，


由△PBF∽△POB，得PB2＝PF·PO.


即(2t)2＝ PF·(PF＋t).


解得PF＝.(取正值)


∵△PFE∽△CBE，


∴，


∴ ＝＝.


6.如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D，且交⊙O于點E．連接OC，BE，相交于點F．


（1）求證：EF＝BF．


（2）若DC＝4，DE＝2，求直徑AB的長．





【答案】見解析


【解析】（1）∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°．∴∠DEF＝90°．


∵DC與⊙O相切于點C，∴∠DCO＝90°．∵AD⊥CD，∴∠D＝90°＝∠DEF＝∠DCO．


∴四邊形CDEF是矩形．∴∠EFC＝90°．∴OC⊥BE．∴EF＝BF．


（2）∵四邊形CDEF是矩形．∴EF＝CD＝4，CF＝DE＝2 ．由（1），EF＝BF．∴BF＝4．


設⊙O的半徑為r，則OB＝r，OF＝r－2．


在Rt△OBF中，根據(jù)勾股定理可得，OF2＋BF2＝OB2．


∴(r－2)2＋42＝r2．r＝5．∴AB＝10．








拔高





1.如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點D，過點A作⊙O的切線與OD的延長線交于點P，PC、AB的延長線交于點F．


（1）求證：PC是⊙O的切線；


（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求線段CF的長．





【答案】見解析


【解析】（1）證明：連接OC，


∵OD⊥AC，OD經過圓心O，


∴AD＝CD，


∴PA＝PC，


在△OAP和△OCP中，


，


∴△OAP≌△OCP（SSS），


∴∠OCP＝∠OAP


∵PA是半⊙O的切線，


∴∠OAP＝90°．


∴∠OCP＝90°，


即OC⊥PC


∴PC是⊙O的切線．


（2）解：∵AB是直徑，


∴∠ACB＝90°，


∵∠ABC＝60°，


∴∠COF＝60°，


∵PC是半⊙O的切線，AB＝10，


∴OC⊥PF，OC＝OB＝AB＝5，


∴OF＝＝＝10，


∴CF＝．





2.如圖，在以線段AB為直徑的⊙O上取一點C，連接AC、BC．將△ABC沿AB翻折后得到△ABD．


（1）試說明點D在⊙O上；


（2）在線段AD的延長線上取一點E，使AB2＝AC·AE．求證：BE為⊙O的切線；


（3）在（2）的條件下，分別延長線段AE、CB相交于點F，若BC＝2，AC＝4，求線段EF的長．


A


D


C


F


E


B


O


?





【答案】見解析


【解析】（1）∵點C在以線段AB為直徑的⊙O上，∴∠ACB＝90°，


∵將△ABC沿AB翻折后得到△ABD，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，


∴點D在⊙O上．


（2）由軸對稱性質得：∠DAB＝∠CAB，


又∵AB2＝AC·AE，∴，


在△ABC和△AEB中，，∠DAB＝∠CAB，∴△ABC∽△AEB，


∴∠ABE＝∠ACB＝90°，


∴BE為⊙O的切線．


（3）設EF＝x，


∵BC＝2，AC＝4，∴由軸對稱的性質得BD＝BC＝2，AD＝AC＝4，


在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝，


∵AB2＝AC·AE，∴AE＝5，DE＝AE－AD＝5－4＝1，


在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝＝，


∵∠ABE＝∠ACB＝90°，∴∠FBE＋∠ABC＝90°，∠CAB＋∠ABC＝90°，∴∠FBE＝∠CAB，


又∵∠DAB＝∠CAB，∴∠FBE＝∠DAB，


在△EBF和△BAF中，∠FBE＝∠DAB，∠BFE＝∠AFB，∴△EBF∽△BAF，


∴，即BF＝2EF＝2x，


在Rt△BDF中，由勾股定理得：BD2＋DF2＝EF2，即4＋（1＋x）2＝4x2解得x1＝，x2＝－（舍），


答：線段EF的長為．





3.如圖，在△ABC中，O為AC上一點，以點O為圓心，OC為半徑作圓，與BC相切于點C，過點A作AD⊥BO的延長線于點D，且∠AOD＝∠BAD．


（1）求證：AB為⊙O的切線；


（2）若BC＝6，tan∠ABC＝eq \f(4,3)，求AD的長．





【答案】見解析


【解析】如圖，作OE⊥AB于E．


因為⊙O與相切于點，所以AC⊥BC，


因為，所以∠OAD＝∠ABD，


因為∠OAD＝∠OBC，所以∠ABD＝∠OBC，所以OE＝OC，


所以點E在⊙O上，即為⊙O的切線．


（2）由，得BE＝6，AC＝8，AB＝10，AE＝4．


令OE ＝OC＝x，則在Rt△AEO中，（8－x）2＝42＋x2，x＝3，所以BO＝．


因為AB×OE＝OB×AD，10×3＝×AD，所以AD＝．


（或：AO×BC＝OB×AD，5×6＝×AD， AD＝）








4.如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，過點A作AD∥BC，與∠ABC的平分線交于點D，BD與AC交于點E，與⊙O交于點F．


（1）求∠DAF的度數(shù)；


（2）求證：AE2＝EF·ED；


（3）求證：AD是⊙O的切線．


A


D


O


B


C


E


F





【答案】見解析


【解析】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠C＝72°．


∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C＝72°．∵∠FAC＝∠FBC＝36°，∴∠DAF＝36°．


（2）證明：∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC．∵∠DBC＝∠FAE，∴∠D＝∠FAE．


在△DAE和△AFE中，∴△DAE∽△AFE，∴，∴AE2＝EF·ED．


（3）證明：連接AO、OB、OC，延長AO交BC于點P．


∵∴△OAB≌△OAC (SSS)，∴∠BAO＝∠CAO，∴AP⊥BC．


∵AD∥BC，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切線．


P


A


D





B


C


E


F


O








5.如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC 于點E，作ED⊥EB交AB 于點 D，⊙O是△BED的外接圓．


（1）求證：AC是⊙O的切線；


（2）已知⊙O的半徑為2.5，BE＝4，求 BC，AD 的長．








【答案】見解析


【解析】 (1)連接OE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB．


∵BE 平分∠ABC，∠OBE＝∠EBC． ∴∠OEB＝∠EBC． ∴OE∥BC．


又∵∠C＝90°，∴∠OEA＝90°，即AC⊥OE．


又∵OE 是⊙O 的半徑，∴AC 是⊙O 的切線．


(２)在△BCE 與△BED 中，


∵∠C＝∠BED＝90°，∠EBC＝∠DBE，


∴△BCE∽△BED．


∴，


∵BE＝4，BD 是⊙O 的直徑， BD＝5，


∴，BC=，


又∵OE∥BC，∴，


∵AO=AD+2.5，AB=AD+5，


∴，解得AD=.








6.如圖，已知D、E分別為△ABC的邊AB、BC上兩點，點A、C、E在⊙D上，點B、D在⊙E上，點F為上一點，連接EF并延長交AC的延長線于點N，交AB于點M．


（1）若∠EBD為，請將∠CAD用含的代數(shù)式表示；


（2）若EM=MB，請說明當∠CAD為多少度時，直線EF為⊙D的切線；


（3）在（2）的條件下，若AD=，求的值．





【答案】見解析


【解析】（1）連接CD、DE． ∵DE=EB，∴∠EDB=∠EBD．∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2．


同理，∠CDB=2∠CAD．∵DC=DE，∴∠DCE=∠CED =2．


∵∠DCE+∠CED+∠CDE=180°，即2∠CAD﹣α+2α+2α=180°，


∴∠CAD=．





（2）當EM=MB時，∠MEB=∠MBE=α．∴∠EMD=2α．


當EDM+∠EMD=90°，即3α=90°，α=30°時，直線EF為⊙D的切線．


此時∠CAD==45°．


（3）在（2）的條件下，∠DCE=∠CED =2=60°，∴CE=DE．


∠NCE=∠A+∠ABC=45°+30°=75°．


又∠CEN=∠MEB=30°，∴∠N=75°．∴NE=CE=DE=AD=．


∵∠EDB=30°，∠DEM=90°，∴EM=DE·tan30°=1． ∴DM=2．


∴MF=EF-EM=-1．∴．








教學反思





適用學科
初中數(shù)學
適用年級
初中三年級
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時時長（分鐘）
120
知識點
確定圓的條件


直線與圓的位置關系
教學目標
1、掌握確定圓的條件


2、掌握直線與圓的位置關系
教學重點
能熟練掌握確定圓的條件及直線與圓的位置關系
教學難點
能熟練掌握確定圓的條件及直線與圓的位置關系
示意圖
點和圓的位置關系
經過三角形的三個頂點可以作一個圓,這個圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點,叫做這個三角形的外心．從三角形外心的定義知:三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等．


如圖,分別作出線段AB的垂直平分線l1和線段BC的垂直平分線l2,設它們的交點為O,則OA＝OB＝OC．于是以點O為圓心,OA(或OB、OC)為半徑,便可作出經過A、B、C三點的圓．因為過A、B、C三點的圓的圓心只能是點O,半徑等等于OA,所以這樣的圓只有一個．
過一點可以作 圓；過兩點可以作 圓；并且這些圓的在以這兩點為端點的 上；過三點可以作 圓． 的三個確定一個圓．
弦切角定理(需證明)
弦切角的定義
頂點在圓上,并且一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角
弦切角定理
弦切角的度數(shù)等于它所夾得弧所對得圓心角得一半,等于它所交得弧所對得圓周角得度數(shù)．
如圖所示,線段PT所在的直線切圓O于點C,BC、AC為圓O的弦,∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都為弦切角．


證明過程略.
弦切角定理逆定理(需證明)
弦切角定理逆定理
如右圖,在△ABC的形外作∠PAB=∠BCA,則PA是△ABC的外接圓的切線.
證明:只要用切線的定義,要證AP垂直于過切點的半徑,先作過A點的直徑,連接DB,則∠DBA=90°,∠D=∠C=∠PAB,所以∠PAD=∠DAB+∠PAB=∠DAB+∠D=90°.


所以PA是圓O的切線.

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5 確定圓的條件

版本： 北師大版

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