第2課時(shí) 單調(diào)性與最值








過山車是一項(xiàng)富有刺激性的娛樂工具，該運(yùn)動(dòng)包含了許多物理學(xué)原理，人們?cè)谠O(shè)計(jì)過山車時(shí)巧妙地運(yùn)用了這些原理．如果能親身體驗(yàn)一下過山車那感覺真是妙不可言．一個(gè)基本的過山車構(gòu)造中，包含了爬升、滑落、倒轉(zhuǎn)(兒童過山車沒有倒轉(zhuǎn))，幾個(gè)循環(huán)路徑．





問題：(1)函數(shù)y＝sin x與y＝cs x也像過山車一樣“爬升”，“滑落”，這是y＝sin x，y＝cs x的哪些性質(zhì)？


(2)過山車爬升到最高點(diǎn)，然后滑落到最低點(diǎn)，然后再爬升，對(duì)應(yīng)y＝sin x，y＝cs x的哪些性質(zhì)？y＝sin x，y＝cs x在什么位置取得最大(小)值？


提示：(1)單調(diào)性；(2)最值，波峰，波谷．





思考：y＝sin x和y＝cs x在區(qū)間(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是減函數(shù)，你能確定m的最小值、n的最大值嗎？


提示：由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性可知m＝eq \f(π,2)，n＝π.





1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)


(1)y＝sin x在(0，π)上是增函數(shù)．( )


(2)cs 1＞cs 2＞cs 3.( )


(3)函數(shù)y＝－eq \f(1,2)sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的最大值為0.( )


[提示] (1)錯(cuò)誤．y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函數(shù)，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上是減函數(shù)．


(2)正確．y＝cs x在(0，π)上是減函數(shù)，且0＜1＜2＜3＜π，所以cs 1＞cs 2＞cs 3.


(3)正確．函數(shù)y＝－eq \f(1,2)sin x在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上為減函數(shù)，故當(dāng)x＝0時(shí)，取最大值0.


[答案] (1)× (2)√ (3)√


2．函數(shù)y＝－cs x在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是( )


A．增函數(shù) B．減函數(shù)


C．先減后增函數(shù) D．先增后減函數(shù)


C [因?yàn)閥＝cs x在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上先增后減，所以y＝－cs x在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上先減后增．]


3．函數(shù)y＝sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)≤x≤\f(5π,6)))的值域?yàn)? ．


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) [因?yàn)閑q \f(π,4)≤x≤eq \f(5π,6)，所以eq \f(1,2)≤sin x≤1，即所求的值域?yàn)閑q \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).]


4．函數(shù)y＝2－sin x取得最大值時(shí)x的取值集合為 ．


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝2kπ－\f(π,2)，k∈Z)))) [當(dāng)sin x＝－1時(shí)，ymax＝2－(－1)＝3，


此時(shí)x＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z.]








【例1】 (1)函數(shù)y＝cs x在區(qū)間[－π，a]上為增函數(shù)，則a的取值范圍是 ．


(2)已知函數(shù)f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2x))＋1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．


[思路點(diǎn)撥] (1)確定a的范圍→y＝cs x在區(qū)間[－π，a]上為增函數(shù)→y＝cs x在區(qū)間[－π，0]上是增函數(shù)，在區(qū)間[0，π]上是減函數(shù)→a的范圍．


(2)確定增區(qū)間→令u＝eq \f(π,4)＋2x→y＝eq \r(2)sin u的單調(diào)遞增區(qū)間．


(1)(－π，0] [因?yàn)閥＝cs x在[－π，0]上是增函數(shù)，在[0，π]上是減函數(shù)，所以只有－π＜a≤0時(shí)滿足條件，故a∈(－π，0]．]


(2)[解] 令u＝eq \f(π,4)＋2x，函數(shù)y＝eq \r(2)sin u的單調(diào)遞增區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，由－eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \f(π,4)＋2x≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，


得－eq \f(3π,8)＋kπ≤x≤eq \f(π,8)＋kπ，k∈Z.


所以函數(shù)f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2x))＋1的單調(diào)遞增區(qū)間是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)＋kπ，\f(π,8)＋kπ))，k∈Z.





1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acs(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b為常數(shù))的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以借助于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過解不等式求得．


2．具體求解時(shí)注意兩點(diǎn)：①要把ωx＋φ看作一個(gè)整體，若ω0，ω>0時(shí)，將“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以解得與之單調(diào)性一致的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)A0時(shí)同樣方法可以求得與正弦(余弦)函數(shù)單調(diào)性相反的單調(diào)區(qū)間．


提醒：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的規(guī)律．





eq \([跟進(jìn)訓(xùn)練])


1．(1)函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))的單調(diào)遞減區(qū)間為 ．


(2)已知函數(shù)y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))，則它的單調(diào)減區(qū)間為 ．


(1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，－\f(2π,9)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,9)，\f(π,3))) (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z) [(1)由eq \f(π,2)＋2kπ≤3x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，


得eq \f(π,9)＋eq \f(2kπ,3)≤x≤eq \f(4π,9)＋eq \f(2kπ,3)(k∈Z)．


又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，


所以函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))，


x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))的單調(diào)遞減區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，－\f(2π,9)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,9)，\f(π,3))).


(2)y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，


由2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋π，k∈Z，


得kπ＋eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z，∴單調(diào)遞減區(qū)間是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)．]


【例2】 利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。?br/>

(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)))與sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,10)))；


(2)sin 196°與cs 156°；


(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)π))與cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π)).


[思路點(diǎn)撥] eq \x(用誘導(dǎo)公式化簡)→


[解] (1)∵－eq \f(π,2)＜－eq \f(π,10)＜－eq \f(π,18)＜eq \f(π,2)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)))＞sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,10))).


(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，


cs 156°＝cs(180°－24°)＝－cs 24°＝－sin 66°，


∵0°＜16°＜66°＜90°，


∴sin 16°＜sin 66°，


從而－sin 16°＞－sin 66°，


即sin 196°＞cs 156°.


(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)π))＝cseq \f(23,5)π


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(3,5)π))＝cseq \f(3,5)π，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))＝cseq \f(17,4)π


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,4)))＝cseq \f(π,4).


∵0＜eq \f(π,4)＜eq \f(3,5)π＜π，且y＝cs x在[0，π]上是減函數(shù)，


∴cseq \f(3,5)π＜cseq \f(π,4)，


即cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)π))＜cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π)).





三角函數(shù)值大小比較的策略


?1?利用誘導(dǎo)公式，對(duì)于正弦函數(shù)來說，一般將兩個(gè)角轉(zhuǎn)化到內(nèi)；對(duì)于余弦函數(shù)來說，一般將兩個(gè)角轉(zhuǎn)化到[－π，0]或[0，π]內(nèi).


?2?不同名的函數(shù)化為同名的函數(shù).


?3?自變量不在同一單調(diào)區(qū)間化至同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，借助正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性來比較大小.





eq \([跟進(jìn)訓(xùn)練])


2．(1)已知α，β為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則以下結(jié)論正確的是( )


A．sin α＜sin β B．cs α＜sin β


C．cs α＜cs β D．cs α ＞cs β


(2)比較下列各組數(shù)的大?。?br/>

①cseq \f(15π,8)，cseq \f(14π,9)；②cs 1，sin 1.


(1)B [α，β為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，α＋β＞eq \f(π,2)，α＞eq \f(π,2)－β，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，eq \f(π,2)－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


所以cs α＜cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＝sin β.]


(2)[解] ①cseq \f(15π,8)＝cseq \f(π,8)，cseq \f(14π,9)＝cseq \f(4π,9)，因?yàn)?＜eq \f(π,8)＜eq \f(4π,9)＜π，而y＝cs x在[0，π]上單調(diào)遞減，


所以cseq \f(π,8)＞cseq \f(4π,9)，即cseq \f(15π,8)＞cseq \f(14π,9).


②因?yàn)閏s 1＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－1))，而0＜eq \f(π,2)－1＜1＜eq \f(π,2)且y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－1))＜sin 1，


即cs 1＜sin 1.


[探究問題]


1．函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))在x∈[0，π]上最小值是多少？


提示：因?yàn)閤∈[0，π]，所以x＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，由正弦函數(shù)圖象可知函數(shù)的最小值為－eq \f(\r(2),2).


2．函數(shù)y＝Asin x＋b，x∈R的最大值一定是A＋b嗎？


提示：不是．因?yàn)锳>0時(shí)最大值為A＋b，若A

相關(guān)學(xué)案

數(shù)學(xué)必修 第一冊(cè)3.2 函數(shù)的基本性質(zhì)第2課時(shí)學(xué)案設(shè)計(jì)：

這是一份數(shù)學(xué)必修 第一冊(cè)3.2 函數(shù)的基本性質(zhì)第2課時(shí)學(xué)案設(shè)計(jì)，文件包含正文docx、答案docx等2份學(xué)案配套教學(xué)資源，其中學(xué)案共11頁， 歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)第五章 三角函數(shù)5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)第2課時(shí)導(dǎo)學(xué)案：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)第五章 三角函數(shù)5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)第2課時(shí)導(dǎo)學(xué)案，共12頁。

必修 第一冊(cè)5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)第2課時(shí)學(xué)案及答案：

這是一份必修 第一冊(cè)5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)第2課時(shí)學(xué)案及答案，共9頁。

英語朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

第05講-函數(shù)的單調(diào)性與最值（解析版）學(xué)案

第05講-函數(shù)的單調(diào)性與最值（解析版）學(xué)案
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)第2課時(shí)學(xué)案

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)第2課時(shí)學(xué)案
人教A版 (2019)5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)第1課時(shí)導(dǎo)學(xué)案及答案

人教A版 (2019)5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)第1課時(shí)導(dǎo)學(xué)案及答案
人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)3.2 函數(shù)的基本性質(zhì)第2課時(shí)學(xué)案及答案

人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)3.2 函數(shù)的基本性質(zhì)第2課時(shí)學(xué)案及答案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部