人教A版 (2019)5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)第1課時導學案及答案-學案下載-教習網(wǎng)

5.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

第1課時周期性與奇偶性

丹麥這個處在安徒生童話中的國家，如同安徒生的童話描寫一般，有很大的風，也有很多的風，自然也有很多很大的風車，而現(xiàn)在丹麥又有了世界上最大的風力發(fā)電機組，這個維斯塔斯和三菱合作的大風車V164－8.0 MW，全部高度有220米，風車風輪的直徑也達到了世界最大的風力發(fā)電機組164米，掃掠面積21 000平米，在風速11米/秒時，轉(zhuǎn)速在4.8～12.1 rpm之間，電力輸出可達到每小時最大8百萬瓦，這個風力發(fā)電組的電能能滿足7 500個家庭的電力需求．

風力發(fā)電機就是靠它的葉片周而復始的轉(zhuǎn)動給我們帶來了巨大的收益．這種周而復始的轉(zhuǎn)動就是周期現(xiàn)象．

問題：(1)你能用數(shù)學語言刻畫函數(shù)的周期性嗎？如果函數(shù)y＝f(x)的周期是T，那么函數(shù)y＝f(ωx)(ω＞0)的周期是多少？

(2)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的周期與什么量有關(guān)？其計算周期的公式是什么？

提示：(1)對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x＋T)＝f(x)，則f(x)為周期函數(shù)，y＝f(ωx)的周期為eq \f(T,ω).

(2)與ω有關(guān)，T＝eq \f(2π,|ω|).

1．函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)．非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．

2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性

1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)

(1)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋\f(π,6)))＝sineq \f(π,6)，則eq \f(2π,3)是函數(shù)y＝sin x的一個周期．( )

(2)所有的周期函數(shù)都有最小正周期．( )

(3)函數(shù)y＝eq \r(sin x)是奇函數(shù)．( )

[提示] (1)×.因為對任意x，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋x))與sin x并不一定相等．

(2)×.不是所有的函數(shù)都有最小正周期，如函數(shù)f(x)＝5是周期函數(shù)，就不存在最小正周期．

(3)×.函數(shù)y＝eq \r(sin x)的定義域為{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，不關(guān)于原點對稱，故非奇非偶．

[答案] (1)× (2)× (3)×

2．函數(shù)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))是( )

A．周期為π的奇函數(shù) B．周期為π的偶函數(shù)

C．周期為2π的奇函數(shù) D．周期為2π的偶函數(shù)

B [y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝2cs 2x，它是周期為π的偶函數(shù)．]

3．函數(shù)f(x)＝eq \r(2)sin 2x的奇偶性為( )

A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)

C．既奇又偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)

A [f(x)＝eq \r(2)sin 2x的定義域為R，f(－x)＝eq \r(2)sin 2(－x)

＝－eq \r(2)sin 2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．]

4．函數(shù)f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,2)－\f(π,4)))，x∈R的最小正周期為．

4 [由已知得f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4.]

【例1】求下列函數(shù)的周期：

(1)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))；

(2)y＝|sin x|.

[思路點撥] (1)法一：尋找非零常數(shù)T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．

法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式計算．

(2)作函數(shù)圖象，觀察出周期．

[解] (1)法一：(定義法)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))

＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)＋2π))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2?x＋π?＋\f(π,4)))，

所以周期為π.

法二：(公式法)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))中ω＝2，T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2)＝π.

(2)作圖如下：

觀察圖象可知周期為π.

求三角函數(shù)周期的方法：

(1)定義法：即利用周期函數(shù)的定義求解．

(2)公式法：對形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A≠0，ω≠0)的函數(shù)，T＝eq \f(2π,|ω|).

(3)圖象法：即通過觀察函數(shù)圖象求其周期．

提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|).

eq \([跟進訓練])

1．利用周期函數(shù)的定義求下列函數(shù)的周期．

(1)y＝cs 2x，x∈R；

(2)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,4)))，x∈R.

[解] (1)因為cs 2(x＋π)＝cs(2x＋2π)＝cs 2x，由周期函數(shù)的定義知，y＝cs 2x的周期為π.

(2)因為sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)?x＋6π?－\f(π,4)))

＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋2π－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,4)))，由周期函數(shù)的定義知，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,4)))的周期為6π.

【例2】判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))；

(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；

(3)f(x)＝eq \f(1＋sin x－cs2x,1＋sin x).

[思路點撥]

[解] (1)顯然x∈R，f(x)＝cseq \f(1,2)x，

∵f(－x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x))＝cseq \f(1,2)x＝f(x)，

∴f(x)是偶函數(shù)．

(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－sin x＞0，,1＋sin x＞0，))得－1＜sin x＜1，

解得定義域為eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，

∴f(x)的定義域關(guān)于原點對稱．

又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，

∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]

＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，

∴f(x)為奇函數(shù)．

(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，

∴x∈R且x≠2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z.

∵定義域不關(guān)于原點對稱，

∴該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．

1．判斷函數(shù)奇偶性應把握好的兩個方面：

一看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；

二看f(x)與f(－x)的關(guān)系．

2．對于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時可根據(jù)誘導公式先將函數(shù)式化簡后再判斷．

提醒：研究函數(shù)性質(zhì)應遵循“定義域優(yōu)先”的原則．

eq \([跟進訓練])

2．判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π＋2x))＋x2sin x；

(2)f(x)＝eq \r(1－2cs x)＋eq \r(2cs x－1).

[解] (1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x，

又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)

＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，

∴f(x)是奇函數(shù)．

(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2cs x≥0，,2cs x－1≥0，))得cs x＝eq \f(1,2)，

∴f(x)＝0，x＝2kπ±eq \f(π,3)，k∈Z，

∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

[探究問題]

1．試舉例說明哪些三角函數(shù)具有奇偶性？

提示：奇函數(shù)有y＝2sin x，y＝sin 2x，y＝5sin 2x，y＝sin xcs x等．偶函數(shù)有y＝cs 2x＋1，y＝3cs 5x，y＝sin x·sin 2x等．

2．若函數(shù)y＝f(x)是周期T＝2的周期函數(shù)，也是奇函數(shù)，則f(2 020)的值是多少？

提示：f(2 020)＝f(0＋1 010×2)＝f(0)＝0.

【例3】 (1)下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是π的函數(shù)是( )

A．y＝cs|2x| B．y＝|sin 2x|

C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x)) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))

(2)定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期為π，且當x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))時，f(x)＝sin x，則feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))等于( )

A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)

C．－eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),2)

[思路點撥] (1)先作出選項A，B中函數(shù)的圖象，化簡選項C、D中函數(shù)的解析式，再判斷奇偶性、周期性．

(2)先依據(jù)f(x＋π)＝f(x)化簡feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))；再依據(jù)f(x)是偶函數(shù)和x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)＝sin x求值．

(1)D (2)D [(1)y＝cs|2x|是偶函數(shù)，y＝|sin 2x|是偶函數(shù)，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))＝cs 2x是偶函數(shù)，y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))＝－sin 2x是奇函數(shù)，根據(jù)公式得其最小正周期T＝π.

(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))

＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).]

若本例(2)中的“偶函數(shù)”改為“奇函數(shù)”，“π”改為“eq \f(11π,12)”，其他條件不變，結(jié)果如何？

[解] feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－\f(11π,12)×2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))

＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝－sineq \f(π,6)＝－eq \f(1,2).

1．三角函數(shù)周期性與奇偶性的解題策略

探求三角函數(shù)的周期，常用方法是公式法，即將函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．

2．與三角函數(shù)奇偶性有關(guān)的結(jié)論

(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)為奇函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)；

(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)為偶函數(shù)，則φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；

(3)要使y＝Acs(ωx＋φ)(Aω≠0)為奇函數(shù)，則φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；

(4)要使y＝Acs(ωx＋φ)(Aω≠0)為偶函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)．

1．掌握2個知識點——周期性、奇偶性

(1)“f(x＋T)＝f(x)”是定義域內(nèi)的恒等式，即對定義域內(nèi)的每一個值都成立，T是非零常數(shù)，周期T是使函數(shù)值重復出現(xiàn)的自變量x的增加值，周期函數(shù)的圖象每隔一個周期重復一次．

(2)在數(shù)軸上，定義域關(guān)于原點對稱，是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件．因此，確定函數(shù)的奇偶性，先要考查其定義域是否關(guān)于原點對稱．若是，再判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系；若不是，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．

2．規(guī)避1個易錯

函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數(shù)，且A≠0，ω≠0)的周期為T＝eq \f(2π,|ω|).

1．如圖所示的是定義在R上的四個函數(shù)的圖象，其中不是周期函數(shù)的圖象的是( )

D [觀察圖象易知，只有D選項中的圖象不是周期函數(shù)的圖象．]

2．已知a∈R，函數(shù)f(x)＝sin x－|a|，x∈R為奇函數(shù)，則a等于．

0 [因為f(x)＝sin x－|a|，x∈R為奇函數(shù)，所以f(0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0.]

3．函數(shù)f(x)＝eq \r(2)cs 2x＋1的圖象關(guān)于對稱(填“原點”或“y軸”．)

y軸 [函數(shù)的定義域為R，f(－x)＝eq \r(2)cs 2(－x)＋1＝eq \r(2)cs(－2x)＋1＝eq \r(2)cs 2x＋1＝f(x)，

故f(x)為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對稱．]

4．若函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù)且f(1)＝3，則f(5)＝ .

－3 [由已知得f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(5)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.]

5．判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)f(x)＝－2cs 3x；

(2)f(x)＝xsin(x＋π)．

[解] (1)f(－x)＝－2cs 3(－x)

＝－2cs 3x＝f(x)，x∈R，

所以f(x)＝－2cs 3x為偶函數(shù)．

(2)f(x)＝xsin(x＋π)＝－xsin x，x∈R，

所以f(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝f(x)，

故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．

學習目標
核心素養(yǎng)
1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義．

2．會求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的周期．(重點)

3．掌握函數(shù)y＝sin x，y＝cs x的奇偶性，會判斷簡單三角函數(shù)的奇偶性．(重點、易混點)
1.通過周期性的研究，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．

2．借助奇偶性及圖象的關(guān)系，提升直觀想象素養(yǎng).
函數(shù)
y＝sin x
y＝cs x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
三角函數(shù)的周期問題及簡單應用
三角函數(shù)奇偶性的判斷
三角函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應用

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