5.5 三角恒等變換


5.5.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式


第1課時 兩角差的余弦公式











問題：觀察下表中的數(shù)據(jù)，你認為cs(α－β)與cs α、cs β之間有什么關(guān)系？


提示：cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β.





兩角差的余弦公式





1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)


(1)cs(60°－30°)＝cs 60°－cs 30°.( )


(2)對于任意實數(shù)α，β，cs(α－β)＝cs α－cs β都不成立．


( )


(3)對任意α，β∈R，cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β都成立．


( )


(4)cs 30°cs 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )


[提示] (1)錯誤．cs(60°－30°)＝cs 30°≠cs 60°－cs 30°.


(2)錯誤．當α＝－45°，β＝45°時，cs(α－β)＝cs(－45°－45°)＝cs(－90°)＝0，cs α－cs β＝cs(－45°)－cs 45°＝0，此時cs(α－β)＝cs α－cs β.


(3)正確．結(jié)論為兩角差的余弦公式．


(4)正確．cs 30°cs 120°＋sin 30°sin 120°＝cs(120°－30°)＝cs 90°＝0.


[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√


2．sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°＝( )


A.eq \f(\r(3),2) B．eq \f(1,2)


C．－eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(1,2)


B [∵sin 14°＝cs 76°，cs 74°＝sin 16°，


∴原式＝cs 76°cs 16°＋sin 76°sin 16°＝cs(76°－16°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).]


3．cs(－15°)的值是( )


A.eq \f(\r(6)－\r(2),2) B.eq \f(\r(6)＋\r(2),2)


C.eq \f(\r(6)－\r(2),4) D．eq \f(\r(6)＋\r(2),4)


D [cs(－15°)＝cs 15°＝cs(45°－30°)＝cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).]


4．cs 65°cs 20°＋sin 65°sin 20°＝ .


eq \f(\r(2),2) [cs 65°cs 20°＋sin 65°sin 20°＝cs(65°－20°)＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2).]





【例1】 (1)cseq \f(13π,12)的值為( )


A.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) B．eq \f(\r(6)－\r(2),4)


C.eq \f(\r(2)－\r(6),4) D．－eq \f(\r(6)＋\r(2),4)


(2)求下列各式的值：


①cs 75°cs 15°－sin 75°sin 195°；


②sin 46°cs 14°＋sin 44°cs 76°；


③eq \f(1,2)cs 15°＋eq \f(\r(3),2)sin 15°.


(1)D [cseq \f(13π,12)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,12)))＝－cseq \f(π,12)


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,6)))


＝－cseq \f(π,4)cseq \f(π,6)－sineq \f(π,4)sineq \f(π,6)


＝－eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝－eq \f(\r(6)＋\r(2),4).]


(2)解：①cs 75°cs 15°－sin 75°sin 195°


＝cs 75°cs 15°－sin 75°sin(180°＋15°)


＝cs 75°cs 15°＋sin 75°sin 15°


＝cs(75°－15°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).


②sin 46°cs 14°＋sin 44°cs 76°


＝sin(90°－44°)cs 14°＋sin 44°cs(90°－14°)


＝cs 44°cs 14°＋sin 44°sin 14°


＝cs(44°－14°)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).


③eq \f(1,2)cs 15°＋eq \f(\r(3),2)sin 15°


＝cs 60°cs 15°＋sin 60°sin 15°


＝cs(60°－15°)＝cs 45°


＝eq \f(\r(2),2).





1．解含非特殊角的三角函數(shù)式的求值問題的一般思路是：


(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，正用公式直接求值．


(2)在轉(zhuǎn)化過程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，然后逆用公式求值．


2．兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特點：


(1)同名函數(shù)相乘：即兩角余弦乘余弦，正弦乘正弦．


(2)把所得的積相加．





eq \([跟進訓(xùn)練])


1．化簡下列各式：


(1)cs(θ＋21°)cs(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；


(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.


[解] (1)原式＝cs[θ＋21°－(θ－24°)]＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2).


(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)


＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°


＝sin 13°sin 43°＋cs 13°cs 43°


＝cs(13°－43°)＝cs(－30°)＝eq \f(\r(3),2).





[探究問題]


1．若已知α＋β和β的三角函數(shù)值，如何求cs α的值？


提示：cs α＝cs[(α＋β)－β]


＝cs(α＋β)cs β＋sin(α＋β)sin β.


2．利用α－(α－β)＝β可得cs β等于什么？


提示：cs β＝cs[α－(α－β)]


＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)．


【例2】 (1)已知sin α－sin β＝1－eq \f(\r(3),2)，cs α－cs β＝eq \f(1,2)，則cs(α－β)＝( )


A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2)


C.eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)


(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(12,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，求cs α的值．


[思路點撥] (1)先將已知兩式平方，再將所得兩式相加，結(jié)合平方關(guān)系和公式C(α－β)求cs(α－β)．


(2)由已知角eq \f(π,3)＋α與所求角α的關(guān)系即α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－eq \f(π,3)尋找解題思路．


(1)D [因為sin α－sin β＝1－eq \f(\r(3),2)，


所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)， ①


因為cs α－cs β＝eq \f(1,2)，所以cs2α－2cs αcs β＋cs2β＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)， ②


①，②兩式相加得1－2cs(α－β)＋1＝1－eq \r(3)＋eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)


所以－2cs(α－β)＝－eq \r(3)


所以cs(α－β)＝eq \f(\r(3),2).


(2)[解] ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，∴eq \f(π,3)＋α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α)))


＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))eq \s\up12(2))＝－eq \f(5,13).


∵α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－eq \f(π,3)，


∴cs α＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－\f(π,3)))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))cseq \f(π,3)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))sineq \f(π,3)＝－eq \f(5,13)×eq \f(1,2)＋eq \f(12,13)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(12\r(3)－5,26).]





1．將例2(2)的條件改為“sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，且eq \f(π,4)

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5.5 三角恒等變換

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