5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)


5.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象








如圖，將一個(gè)漏斗掛在架子上，做一個(gè)簡(jiǎn)易的單擺，在漏斗下方放一塊紙板，板的中間畫(huà)一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸．把漏斗灌上細(xì)沙并拉離平衡位置，放手使它擺動(dòng)，同時(shí)勻速拉動(dòng)紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，這就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象．物理中把簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象叫做“正弦曲線”或“余弦曲線”．





問(wèn)題：通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)，你對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象是否有了一個(gè)直觀的印象？


提示：正、余弦函數(shù)的圖象是“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線．





1．正弦曲線


正弦函數(shù)y＝sin x，x∈R的圖象叫正弦曲線．





2．正弦函數(shù)圖象的畫(huà)法


(1)幾何法：


①利用單位圓畫(huà)出y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象；


②將圖象向左、右平行移動(dòng)(每次2π個(gè)單位長(zhǎng)度)．


(2)五點(diǎn)法：


①畫(huà)出正弦曲線在[0,2π]上的圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲線連接；


②將所得圖象向左、右平行移動(dòng)(每次2π個(gè)單位長(zhǎng)度)．


3．余弦曲線


余弦函數(shù)y＝cs x，x∈R的圖象叫余弦曲線．





4．余弦函數(shù)圖象的畫(huà)法


(1)要得到y(tǒng)＝cs x的圖象，只需把y＝sin x的圖象向左平移eq \f(π,2)個(gè)單位長(zhǎng)度即可．


(2)用“五點(diǎn)法”畫(huà)余弦曲線y＝cs x在[0,2π]上的圖象時(shí)，所取的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別為(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲線連接．


思考：y＝cs x(x∈R)的圖象可由y＝sin x(x∈R)的圖象平移得到的原因是什么？


提示：因?yàn)閏s x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，所以y＝sin x(x∈R)的圖象向左平移eq \f(π,2)個(gè)單位可得y＝cs x(x∈R)的圖象．





1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)


(1)正弦函數(shù)y＝sin x的圖象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的圖象形狀相同，只是位置不同．( )


(2)正弦函數(shù)y＝sin x(x∈R)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱．( )


(3)余弦函數(shù)y＝cs x(x∈R)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱．( )


[提示] 由y＝sin x(x∈R)圖象可知(1)正確，(2)錯(cuò)誤；


由y＝cs x(x∈R)圖象可知(3)錯(cuò)誤．


[答案] (1)√ (2)× (3)×


2．函數(shù)y＝cs x與函數(shù)y＝－cs x的圖象( )


A．關(guān)于直線x＝1對(duì)稱 B．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱


C．關(guān)于x軸對(duì)稱 D．關(guān)于y軸對(duì)稱


C [由解析式可知y＝cs x的圖象過(guò)點(diǎn)(a，b)，則y＝－cs x的圖象必過(guò)點(diǎn)(a，－b)，由此推斷兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱．]


3．請(qǐng)補(bǔ)充完整下面用“五點(diǎn)法”作出y＝－sin x(0≤x≤2π)的圖象時(shí)的列表．


① ；② ；③ .


π 0 1 [用“五點(diǎn)法”作y＝－sin x(0≤x≤2π)的圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，－1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，1))，(2π，0)故①為π，②為0，③為1.]


4．函數(shù)y＝cs x，x∈[0,2π]的圖象與直線y＝－eq \f(1,2)的交點(diǎn)有 個(gè)．


2 [由圖象可知：函數(shù)y＝cs x，x∈[0,2π]的圖象與直線y＝－eq \f(1,2)有兩個(gè)交點(diǎn)．]








【例1】 (1)下列敘述正確的是( )


①y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象關(guān)于點(diǎn)P(π，0)成中心對(duì)稱；


②y＝cs x，x∈[0,2π]的圖象關(guān)于直線x＝π成軸對(duì)稱；


③正、余弦函數(shù)的圖象不超過(guò)直線y＝1和y＝－1所夾的范圍．


A．0 B．1個(gè)


C．2個(gè) D．3個(gè)


(2)函數(shù)y＝sin|x|的圖象是( )





(1)D (2)B [(1)分別畫(huà)出函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cs x，x∈[0,2π]的圖象，由圖象(略)觀察可知①②③均正確．


(2)y＝sin|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x≥0，,－sin x，x＜0，))


結(jié)合選項(xiàng)可知選B.]





1．解決正、余弦函數(shù)的圖象問(wèn)題，關(guān)鍵是要正確的畫(huà)出正、余弦曲線．


2．正、余弦曲線的形狀相同，只是在坐標(biāo)系中的位置不同，可以通過(guò)相互平移得到．


3．正、余弦曲線的對(duì)稱性


提醒：對(duì)稱中心處函數(shù)值為0，對(duì)稱軸處函數(shù)值為－1或1.





eq \([跟進(jìn)訓(xùn)練])


1．關(guān)于三角函數(shù)的圖象，有下列說(shuō)法：


①y＝sin x＋1.1的圖象與x軸有無(wú)限多個(gè)公共點(diǎn)；


②y＝cs(－x)與y＝cs |x|的圖象相同；


③y＝|sin x|與y＝sin(－x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；


④y＝cs x與y＝cs(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．


其中正確的序號(hào)是 ．


②④ [對(duì)②，y＝cs(－x)＝cs x，y＝cs |x|＝cs x，故其圖象相同；


對(duì)④，y＝cs(－x)＝cs x，故其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；作圖(略)可知①③均不正確．]





【例2】 (教材P199例1改編)用“五點(diǎn)法”作出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖．


(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；


(2)y＝－1＋cs x(0≤x≤2π)．


[思路點(diǎn)撥] eq \x(列表：讓x的值依次取0，\f(π,2)，π，\f(3π,2)，2π)→eq \x(描點(diǎn))→eq \x(用平滑曲線連接)


[解] (1)①取值列表如下：


②描點(diǎn)連線，如圖所示.





(2)①取值列表如下：


②描點(diǎn)連線，如圖所示．








用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acs x＋b(A≠0)在[0,2π]上簡(jiǎn)圖的步驟


(1)列表：


(2)描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出五個(gè)點(diǎn)(0，y1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，y2))，(π，y3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，y4))，(2π，y5)，這里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通過(guò)函數(shù)解析式計(jì)算得到的．


(3)連線：用光滑的曲線將描出的五個(gè)點(diǎn)連接起來(lái)，就得到正(余)弦函數(shù)y＝Asin x＋b(y＝Acs x＋b)(A≠0)的圖象．


提醒：作圖象時(shí)，函數(shù)自變量要用弧度制，x軸、y軸上盡量統(tǒng)一單位長(zhǎng)度．





eq \([跟進(jìn)訓(xùn)練])


2．用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)y＝eq \f(1,2)＋sin x，x∈[0,2π]的圖象．


[解] 取值列表如下：


描點(diǎn)，并將它們用光滑的曲線連接起來(lái)．(如圖)








[探究問(wèn)題]


1．方程sin x＝x的實(shí)根個(gè)數(shù)有多少個(gè)？


提示：在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出y＝sin x，y＝x圖象(略)可知在x∈[0,1]內(nèi)，sin x1時(shí)不會(huì)相交，所以方程只有一個(gè)實(shí)根為0.


2．函數(shù)f(x)＝eq \r(x)－cs x在[0，＋∞)內(nèi)有多少個(gè)零點(diǎn)？


提示：令f(x)＝0，所以eq \r(x)＝cs x，分別作出y＝eq \r(x)，y＝cs x的圖象(略)，可知兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，所以f(x)在[0，＋∞)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)．


【例3】 (1)函數(shù)y＝eq \r(2sin x－1)的定義域?yàn)? ．


(2)在同一坐標(biāo)系中，作函數(shù)y＝sin x和y＝lg x的圖象，根據(jù)圖象判斷出方程sin x＝lg x的解的個(gè)數(shù)．


[思路點(diǎn)撥] (1)eq \x(列出不等式)→eq \x(畫(huà)出函數(shù)圖象)→eq \x(寫(xiě)出解集)


(2)eq \x(畫(huà)出y＝sin x和y＝lg x的圖象)→eq \x(找準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn)?10，1?)


→


(1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ≤x≤\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)))) [由2sin x－1≥0得sin x≥eq \f(1,2)，


畫(huà)出y＝sin x的圖象和直線y＝eq \f(1,2).





可知sin x≥eq \f(1,2)的解集為


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ≤x≤\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)))).]


(2)[解] 建立平面直角坐標(biāo)系xOy，先用五點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)y＝sin x，x∈R的圖象．


描出點(diǎn)(1,0)，(10,1)，并用光滑曲線連接得到y(tǒng)＝lg x的圖象，如圖所示．





由圖象可知方程sin x＝lg x的解有3個(gè)．]





1．本例(1)中的“sin x”改為“cs x”，應(yīng)如何解答？


[解] 由2cs x－1≥0得cs x≥eq \f(1,2)，畫(huà)出y＝cs x的圖象和直線y＝eq \f(1,2).





觀察圖象可知cs x≥eq \f(1,2)的解集是


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)≤x≤2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).


2．本例(1)中函數(shù)改為y＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－\f(1,2)))＋eq \r(\r(3)－2sin x)，應(yīng)如何解答？


[解]要使原函數(shù)解析式有意義，


必須滿足eq \f(1,2)＜sin x≤eq \f(\r(3),2).


首先作出y＝sin x在[0,2π]上的圖象，如圖所示，





作直線y＝eq \f(1,2)，根據(jù)特殊角的正弦值，可知該直線與y＝sin x，x∈[0,2π]的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為eq \f(π,6)和eq \f(5π,6)；


作直線y＝eq \f(\r(3),2)，該直線與y＝sin x，x∈[0,2π]的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為eq \f(π,3)和eq \f(2π,3).


觀察圖象可知，在[0,2π]上，當(dāng)eq \f(π,6)＜x≤eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)≤x＜eq \f(5π,6)時(shí)，不等式eq \f(1,2)＜sin x≤eq \f(\r(3),2)成立，


所以eq \f(1,2)＜sin x≤eq \f(\r(3),2)的解集為


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ＜x≤\f(π,3)＋2kπ))))


或eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2kπ≤x＜\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)))).





1．用三角函數(shù)的圖象解sin x＞a(或cs x＞a)的方法


(1)作出y＝a，y＝sin x(或y＝cs x)的圖象．


(2)確定sin x＝a(或cs x＝a)的x值．


(3)確定sin x＞a(或cs x＞a)的解集．


2．利用三角函數(shù)線解sin x＞a(或cs x＞a)的方法


(1)找出使sin x＝a(或cs x＝a)的兩個(gè)x值的終邊所在的位置．


(2)根據(jù)變化趨勢(shì)，確定不等式的解集．











1．掌握1種畫(huà)法——五點(diǎn)法


(1)作正、余弦函數(shù)的圖象可以借助單位圓，用幾何法作出，也可以用“五點(diǎn)法”作出簡(jiǎn)圖．


(2)“五點(diǎn)法”是一種作圖思想或策略，它不只限于畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，也可用于畫(huà)復(fù)合型正、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖．


2．掌握1種思想——數(shù)形結(jié)合


由三角函數(shù)圖象求三角不等式的解集，是另一種數(shù)形結(jié)合的思想方法，它常化歸為三角函數(shù)圖象位于某直線上方(或下方)的問(wèn)題．結(jié)合圖象就可以寫(xiě)出其規(guī)律．


3．規(guī)避1個(gè)易錯(cuò)


利用“五點(diǎn)法”作圖時(shí)，注意五點(diǎn)的正確選?。?br/>




1．函數(shù)y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的簡(jiǎn)圖是( )





B [y＝sin(－x)＝－sin x與y＝sin x關(guān)于x軸對(duì)稱．]


2．函數(shù)y＝sin x，x∈[0，π]的圖象與直線y＝0.99的交點(diǎn)有( )


A．1個(gè) B．2個(gè)


C．3個(gè) D．4個(gè)


B [觀察圖象(略)易知：有兩個(gè)交點(diǎn)．]


3．要得到y(tǒng)＝cs x，x∈[－2π，0]的圖象，只需將y＝cs x，x∈[0,2π]的圖象向 平移 個(gè)單位長(zhǎng)度．


左 2π [向左平移2π個(gè)單位長(zhǎng)度即可．]


4．不等式組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x＜0，,\f(π,2)≤x≤5))的解集是 ．


(π，5] [當(dāng)eq \f(π,2)≤x≤π時(shí)，0≤sin x≤1，當(dāng)π＜x≤5時(shí)，sin x＜0，所以原不等式的解集為(π，5]．]


5．用“五點(diǎn)法”畫(huà)出y＝－2cs x＋3(0≤x≤2π)的簡(jiǎn)圖．


[解] 列表：


描點(diǎn)、連線得出函數(shù)y＝－2cs x＋3(0≤x≤2π)的圖象：





學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
核 心 素 養(yǎng)
1.了解由單位圓和正、余弦函數(shù)定義畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的步驟，掌握“五點(diǎn)法”畫(huà)出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的方法．(重點(diǎn))


2．正、余弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用．(難點(diǎn))


3．正、余弦函數(shù)圖象的區(qū)別與聯(lián)系．(易混點(diǎn))
1. 通過(guò)做正弦、余弦函數(shù)的圖象，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．


2．借助圖象的綜合應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
x
0
eq \f(π,2)
①
eq \f(3π,2)
2π
－sin x
②
－1
0
③
0
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的初步認(rèn)識(shí)
對(duì)稱中心
對(duì)稱軸
y＝sin x(x∈R)
(kπ，0)，k∈Z
x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z
y＝cs x(x∈R)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的圖象
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
cs x
1
0
－1
0
1
－1＋cs x
0
－1
－2
－1
0
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x


(或cs x)
0(或1)
1(或0)
0(或－1)
－1


(或0)
0(或1)
y
b


(或A＋b)
A＋b


(或b)
b


(或－A＋b)
－A＋b


(或b)
b


(或A＋b)
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
eq \f(1,2)＋sin x
eq \f(1,2)
eq \f(3,2)
eq \f(1,2)
－eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
正弦(余弦)函數(shù)圖象的應(yīng)用
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
－2cs x
－2
0
2
0
－2
－2cs x＋3
1
3
5
3
1

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5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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