人教A版 (2019)必修 第一冊2.2 基本不等式第1課時學(xué)案設(shè)計

這是一份人教A版 (2019)必修 第一冊2.2 基本不等式第1課時學(xué)案設(shè)計，共9頁。
2.2 基本不等式


第1課時 基本不等式








如圖，是2002年8月在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)．它依據(jù)我國著名數(shù)學(xué)家趙爽研究勾股定理的弦圖進(jìn)行設(shè)計，顏色的明暗使其看起來像一個風(fēng)車．





問題：依據(jù)會標(biāo)，你能找到一些相等或不等關(guān)系嗎？


提示：由圖可知





①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；


②a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，取“＝”．





基本不等式


(1)有關(guān)概念：當(dāng)a，b均為正數(shù)時，把eq \f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，把eq \r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．


(2)不等式：當(dāng)a，b是任意正實數(shù)時，a，b的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)，即eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．





1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)


(1)對任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2eq \r(ab)均成立．( )


(2)若a≠0，則a＋eq \f(1,a)≥2eq \r(a·\f(1,a))＝2.( )


(3)若a>0，b>0，則ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2).( )


[提示] (1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，當(dāng)a，b都為正數(shù)時，不等式a＋b≥2eq \r(ab)成立．


(2)只有當(dāng)a>0時，根據(jù)基本不等式，才有不等式a＋eq \f(1,a)≥2eq \r(a·\f(1,a))＝2成立．


(3)因為eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，所以ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2).


[答案] (1)× (2)× (3)√


2．不等式a2＋1≥2a中等號成立的條件是( )


A．a(chǎn)＝±1 B．a(chǎn)＝1


C．a(chǎn)＝－1 D．a(chǎn)＝0


B [當(dāng)a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1時，“＝”成立．]


3．已知0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，下列各式中最大的是( )


A．a(chǎn)2＋b2 B．2eq \r(ab)


C．2ab D．a(chǎn)＋b


D [∵0＜a＜1,0＜b＜1，∴a2＜a，b2＜b，


∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(∵a≠b)，


∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.


又∵a＋b＞2eq \r(ab)(∵a≠b)，∴a＋b最大．]


4．當(dāng)a，b∈R時，下列不等關(guān)系成立的是________(填序號)．


①eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)；②a－b≥2eq \r(ab)；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.


③ [根據(jù)eq \f(a2＋b2,2)≥ab，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的條件判斷，知①②④錯，只有③正確．]








【例1】 給出下面四個推導(dǎo)過程：


①∵a，b為正實數(shù)，∴eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2；


②∵a∈R，a≠0，∴eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4；


③∵x，y∈R，xy＜0，∴eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x)))))≤－2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x))))＝－2.


其中正確的推導(dǎo)為( )


A．①② B．①③


C．②③ D．①②③


B [①∵a，b為正實數(shù)，∴eq \f(b,a)，eq \f(a,b)為正實數(shù)，符合基本不等式的條件，故①的推導(dǎo)正確．


②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的條件，


∴eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4是錯誤的．


③由xy＜0，得eq \f(x,y)，eq \f(y,x)均為負(fù)數(shù)，但在推導(dǎo)過程中將整體eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)提出負(fù)號后，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x)))均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式的條件，故③正確．]





1．基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (a＞0，b＞0)反映了兩個正數(shù)的和與積之間的關(guān)系．


2．對基本不等式的準(zhǔn)確掌握要抓住以下兩個方面：(1)定理成立的條件是a，b都是正數(shù)．(2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：當(dāng)a＝b時，eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)的等號成立，即a＝b?eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；僅當(dāng)a＝b時，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等號成立，即eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)?a＝b.





eq \([跟進(jìn)訓(xùn)練])


1．下列不等式的推導(dǎo)過程正確的是________．


①若x＞1，則x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2.


②若x＜0，則x＋eq \f(4,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(?－x?＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,x)))))


≤－2eq \r(?－x?·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,x))))＝－4.


③若a，b∈R，則eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.


② [ ①中忽視了基本不等式等號成立的條件，當(dāng)x＝eq \f(1,x)時，即x＝1時，x＋eq \f(1,x)≥2等號成立，因為x＞1，所以x＋eq \f(1,x)＞2，③中忽視了利用基本不等式時每一項必須為正數(shù)這一條件．]





【例2】 (1)已知a，b∈R＋，則下列各式中不一定成立的是( )


A．a(chǎn)＋b≥2eq \r(ab) B.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2


C.eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥2eq \r(ab) D．eq \f(2ab,a＋b)≥eq \r(ab)


(2)已知a，b，c是兩兩不等的實數(shù)，則p＝a2＋b2＋c2與q＝ab＋bc＋ca的大小關(guān)系是________．


(1)D (2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac [(1)由eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)得a＋b≥2eq \r(ab)，


∴A成立；


∵eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，∴B成立；


∵eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥eq \f(2ab,\r(ab))＝2eq \r(ab)，∴C成立；


∵eq \f(2ab,a＋b)≤eq \f(2ab,2\r(ab))＝eq \r(ab)，∴D不一定成立．


(2)∵a，b，c互不相等，


∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.


∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．


即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.]





1．在理解基本不等式時，要從形式到內(nèi)含中理解，特別要關(guān)注條件．


2．運(yùn)用基本不等式比較大小時應(yīng)注意成立的條件，即a＋b≥2eq \r(ab)成立的條件是a>0，b>0，等號成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，等號成立的條件是a＝b.





eq \([跟進(jìn)訓(xùn)練])


2．如果0＜a＜b＜1，P＝eq \f(a＋b,2)，Q＝eq \r(ab)，M＝eq \r(a＋b)，那么P，Q，M的大小順序是( )


A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q


C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P


B [顯然eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)，又因為eq \f(a＋b,2)＜eq \r(a＋b)(由a＋b＞eq \f(?a＋b?2,4)也就是eq \f(a＋b,4)＜1可得)，所以eq \r(a＋b)＞eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab).故M＞P＞Q.]





【例3】 已知a，b，c是互不相等的正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9.


[思路點撥] 看到eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9，想到將“1”換成“a＋b＋c”，裂項構(gòu)造基本不等式的形式，用基本不等式證明．


[證明] ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，


∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c)


＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)＋eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)


＝3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))


≥3＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq \r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq \r(\f(c,b)·\f(b,c))


＝3＋2＋2＋2


＝9.


當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取等號，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9.





本例條件不變，求證：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))>8.


[證明] ∵a，b，c∈R＋，


且a＋b＋c＝1，


∴eq \f(1,a)－1＝eq \f(b＋c,a)>0，eq \f(1,b)－1＝eq \f(a＋c,b)>0，eq \f(1,c)－1＝eq \f(a＋b,c)>0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))


＝eq \f(b＋c,a)·eq \f(a＋c,b)·eq \f(a＋b,c)≥eq \f(2\r(bc)·2\r(ac)·2\r(ab),abc)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取等號，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))＞8.





1．條件不等式的證明，要將待證不等式與已知條件結(jié)合起來考慮，比如本題通過“1”的代換，將不等式的左邊化成齊次式，一方面為使用基本不等式創(chuàng)造條件，另一方面可實現(xiàn)約分與不等式的右邊建立聯(lián)系．


2．先局部運(yùn)用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)(注意限制條件)，通過相加(乘)合成為待證的不等式，既是運(yùn)用基本不等式時的一種重要技能，也是證明不等式時的一種常用方法．





eq \([跟進(jìn)訓(xùn)練])


3．已知x，y，z都是正數(shù)，求證：


(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.


[證明] ∵x，y，z都是正數(shù)，


∴x＋y≥2eq \r(xy)，y＋z≥2eq \r(yz)，z＋x≥2eq \r(zx)，


∴(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥2eq \r(xy)·2eq \r(yz)·2eq \r(zx)＝8xyz.


當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時，等號成立．


4．已知a＞1，b＞0，eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)＝1，求證：a＋2b≥2eq \r(6)＋7.


[證明] 由eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)＝1，得b＝eq \f(3a,a－1)(a＞1)，


則a＋2b＝a＋eq \f(6a,a－1)＝a＋eq \f(6?a－1?＋6,a－1)


＝a＋eq \f(6,a－1)＋6＝(a－1)＋eq \f(6,a－1)＋7≥2eq \r(6)＋7，


當(dāng)a－1＝eq \f(6,a－1)時，即a＝1＋eq \r(6)時，取等號.








1．記牢2個不等式


(1)a2＋b2≥2ab；(2)eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a，b都是正數(shù))．


2．掌握2個注意點


利用基本不等式證明不等式時應(yīng)關(guān)注兩點：


(1)應(yīng)用基本不等式時要時刻注意其成立的條件，只有當(dāng)a>0，b>0時，才會有eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2).對于“當(dāng)且僅當(dāng)……時，‘＝’成立”這句話要從兩個方面理解：一方面，當(dāng)a＝b時，eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；另一方面，當(dāng)eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)時，也有a＝b.


(2)應(yīng)用基本不等式證明不等式的關(guān)鍵在于進(jìn)行“拼”“湊”“拆”“合”“放縮”等變形，構(gòu)造出符合基本不等式的條件結(jié)構(gòu)．





1．設(shè)a>b>0，則下列不等式中一定成立的是( )


A．a(chǎn)－b0，證明：eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)≥a＋b.


[證明] ∵a>0，b>0，


∴eq \f(b2,a)＋a≥2b，eq \f(a2,b)＋b≥2a，


∴eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)≥a＋b.


學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
核 心 素 養(yǎng)
1.了解基本不等式的證明過程．(重點)


2．能利用基本不等式證明簡單的不等式及比較代數(shù)式的大小.
1.通過不等式的證明，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．


2．借助基本不等式形式求簡單的最值問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
對基本不等式的理解
利用基本不等式比較大小
利用基本不等式證明不等式