第1課時(shí) 分式的乘除





┃教學(xué)過程設(shè)計(jì)┃








【教學(xué)目標(biāo)】


1.會(huì)通過類比的方法來理解和掌握分式的乘除法法則.


2.熟練運(yùn)用分式乘除法法則，將分式乘除法全部化歸為分式乘法進(jìn)行計(jì)算.


3.經(jīng)歷觀察、猜想、歸納等探索分式的乘除運(yùn)算法則的過程，使學(xué)生感知數(shù)學(xué)知識(shí)具有普遍聯(lián)系性，并熟練掌握這一法則.


4.通過化除為乘，體會(huì)化歸的思想方法，嘗試在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的喜悅，樹立自信心.


【重點(diǎn)難點(diǎn)】


重點(diǎn)：熟練掌握分式的乘除法法則.


難點(diǎn)：進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算，尤其是分子分母為多項(xiàng)式的分式的運(yùn)算，正確體會(huì)具體的運(yùn)算過程和一般步驟.
教學(xué)過程
設(shè)計(jì)意圖
一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課


師：請(qǐng)同學(xué)們閱讀、觀察下列運(yùn)算：


eq \f(2,3)×eq \f(4,5)＝eq \f(2×4,3×5) eq \f(5,7)×eq \f(2,9)＝eq \f(5×2,7×9)


eq \f(2,3)÷eq \f(4,5)＝eq \f(2,3)×eq \f(5,4)＝eq \f(2×5,3×4) eq \f(5,7)÷eq \f(2,9)＝eq \f(5,7)×eq \f(9,2)＝eq \f(5×9,7×2)


問題1：上述運(yùn)算我們熟悉嗎？它的依據(jù)是什么？


通過提問共同解決：分?jǐn)?shù)的乘除運(yùn)算，體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的乘除運(yùn)算法則.


問題2：能用文字表述這一法則嗎？


學(xué)生往往能做但說不好，注意引導(dǎo).內(nèi)容為(屏幕顯示)：


分?jǐn)?shù)乘法法則：分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母.


分?jǐn)?shù)除法法則：分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，把除數(shù)的分子和分母顛倒位置后，再和被除數(shù)相乘.


問題3：一個(gè)長(zhǎng)方體容器的容積為V，底面的長(zhǎng)為a，寬為b，當(dāng)容器內(nèi)的水占容積的eq \f(m,n)時(shí)，水高為多少？


通過提問后，列式：eq \f(V,ab)·eq \f(m,n).


問題4：大拖拉機(jī)m天耕地a公頃，小拖拉機(jī)n天耕地b公頃，大拖拉機(jī)的工作效率是小拖拉機(jī)的工作效率的多少倍？


通過提問后，列式：eq \f(a,m)÷eq \f(b,n).


完成問題3，4后，師追問：以上兩類式子是什么運(yùn)算？
通過問題鏈的形式制造矛盾沖突，利用“數(shù)、式通性”的類比思想引發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“分式的乘除運(yùn)算法則”.
二、師生互動(dòng)，探究新知


問題1：分?jǐn)?shù)的乘除為我們熟悉，那分式的乘除是怎樣計(jì)算的？你能歸納出分式的乘除運(yùn)算法則嗎？


學(xué)生在觀察、類比的基礎(chǔ)上，經(jīng)過討論，交流，相互補(bǔ)充，得出分式的乘除運(yùn)算法則，教師利用大屏幕顯示，把分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則中，“數(shù)”改為“式”即可.


分式乘法法則：分式乘以分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母.


分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子和分母顛倒位置后，再和被除式相乘.


通過類比，得出：(1)分式乘除法與分?jǐn)?shù)乘除法類似；


(2)“數(shù)”變?yōu)椤笆健焙?，其運(yùn)算又有不同.


問題2：你能用字母表達(dá)式表示分式的乘除法法則嗎？


用式子表示為：eq \f(b,a)×eq \f(d,c)＝eq \f(bd,ac)；eq \f(b,a)÷eq \f(d,c)＝eq \f(b,a)×eq \f(c,d)＝eq \f(bc,ad).
問題由情境而發(fā)，一個(gè)好的情境將推動(dòng)學(xué)生思維觸角的延伸，由數(shù)到式是一種飛躍，是進(jìn)一步抽象的體現(xiàn).瞄準(zhǔn)學(xué)生認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”，通過問題引動(dòng)學(xué)生猜測(cè)、歸納，進(jìn)而獲得新知，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)到分式的運(yùn)算，開辟分式計(jì)算的領(lǐng)地.
三、運(yùn)用新知，解決問題


1.計(jì)算：(1)eq \f(4x,3y)·eq \f(y,2x3)；(2)eq \f(ab3,2c2)÷eq \f(－5a2b2,4cd).


由學(xué)生試做，完成后同位交流，不能解決的課堂上集中解決.


注意：1.運(yùn)算的步驟：(1)小題先乘后約分或先約分后乘；(2)小題先把除法化為乘法，再按乘法法則進(jìn)行計(jì)算；2.分式運(yùn)算的結(jié)果通常要化為分式的最簡(jiǎn)形式或整式.


2.計(jì)算：(1)eq \f(a2－4a＋4,a2－2a＋1)·eq \f(a－1,a4－4)；(2)eq \f(1,49－m2)÷eq \f(1,m2－7m).


讓學(xué)生嘗試解答，并互相交流、總結(jié)，歸納解題步驟，教師結(jié)合學(xué)生的具體活動(dòng)，加以指導(dǎo).其步驟可歸納為：若是除法，先轉(zhuǎn)換成乘法，再將分子與分母分解因式，相乘后再約分，直至成為最簡(jiǎn).
題目按梯度設(shè)置，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，便于學(xué)生的逐層把握，形成清晰的解題思路.練習(xí)1，2就是根據(jù)由簡(jiǎn)到繁的順序安排的.練習(xí)1的分子分母都是單項(xiàng)式，(1)、(2)兩個(gè)小題分別對(duì)應(yīng)著分式的乘除，在熟悉法則的基礎(chǔ)上，注意約分的無處不在；練習(xí)2的分式中分子分母出現(xiàn)多項(xiàng)式，形式復(fù)雜了、內(nèi)涵豐富了，需要因式分解的支持.
四、課堂小結(jié)，提煉觀點(diǎn)


通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識(shí)和數(shù)學(xué)思想？


(1)分式的乘法、除法法則及運(yùn)算技能；


(2)了解數(shù)學(xué)中重要的一種思想——類比轉(zhuǎn)化思想，由分?jǐn)?shù)的乘除法類比到分式的乘除法，分式的除法可以化歸為分式的乘法.
通過反思的形式幫助學(xué)生梳理凌亂的知識(shí)、技能以及數(shù)學(xué)思想方法.反思是提高認(rèn)知水平的重要途徑，養(yǎng)成這種好習(xí)慣，受益終生.
五、布置作業(yè)，鞏固提升


1.計(jì)算：(ab－b2)÷eq \f(a2－b2,a＋b).


2.化簡(jiǎn)求值eq \f(x2－6x＋9,x＋1)÷eq \f(x2－9,x2＋x)，其中x2＝4.


3.給定下面一列分式：eq \f(x3,y)，－eq \f(x5,y2)，eq \f(x7,y3)，－eq \f(x9,y4)，…(其中x≠0).


(1)把任意一個(gè)分式除以前面一個(gè)分式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？


(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出給定的那列分式中的第7個(gè)分式.
【板書設(shè)計(jì)】


分式的乘除


分式的乘法法則：


分式的除法法則：


練習(xí)1.


2.

【教學(xué)反思】


本節(jié)的核心就是熟練掌握分式的乘除法法則，故而，整堂課緊緊圍繞分式的乘法運(yùn)算來組織教學(xué)，重點(diǎn)突出.通過與分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算的類比，使學(xué)生較易掌握本節(jié)內(nèi)容.而難點(diǎn)則通過逐層推進(jìn)、交流探討、適時(shí)反思的形式實(shí)現(xiàn)突破，使學(xué)生掌握正確的運(yùn)算方法、運(yùn)算順序.






第2課時(shí) 分式的乘除混合運(yùn)算




















┃教學(xué)過程設(shè)計(jì)┃








【教學(xué)目標(biāo)】


1.能應(yīng)用分式的乘除法法則和運(yùn)算的順序進(jìn)行混合運(yùn)算，在應(yīng)用的過程中，養(yǎng)成反思的習(xí)慣.


2.理解分式乘方的原理，掌握乘方的規(guī)律，并能運(yùn)用乘方規(guī)律進(jìn)行分式的乘方運(yùn)算.


3.在進(jìn)一步體會(huì)冪的意義的過程中，發(fā)展歸納、猜想等合情推理的能力及有條理的表達(dá)能力.


【重點(diǎn)難點(diǎn)】


重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘除法的混合運(yùn)算.


難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘除法及乘方的混合運(yùn)算.
教學(xué)過程
設(shè)計(jì)意圖
一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課


同學(xué)們會(huì)計(jì)算下列題目嗎？


(1)eq \f(4a4b2,15n3)÷eq \f(－8a2b2,35n)；(2)eq \f(x2＋2xy＋y2,xy－y2)·eq \f(x2－2xy＋y2,xy＋y2)；


(3)－eq \f(3,8)÷eq \f(3,5)×eq \f(2,5) ； （4） SKIPIF 1 < 0


解：(1)原式＝eq \f(4a4b2,15n3)·eq \f(35n,－8a2b2)＝eq \f(4a4b2·35n,15n3·（－8a2b2）)＝－eq \f(7a2,6n2).


(2)原式＝eq \f(（x＋y）2,y（x－y）)·eq \f(（x－y）2,y（x＋y）)＝eq \f(（x＋y）2·（x－y）2,y（x－y）·y（x＋y）)＝eq \f(x2－y2,y2).


(3)原式＝－eq \f(3,8)×eq \f(5,3)×eq \f(2,5)＝－eq \f(3×5×2,8×3×5)＝－eq \f(1,4).


(4)原式＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2×2×2×2,3×3×3×3)＝eq \f(16,81).


首先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、思考，然后讓學(xué)生嘗試練習(xí)，完成后小組交流，在此基礎(chǔ)上，老師提出問題：


問題1：以上四個(gè)題目分別涉及什么運(yùn)算？


(1)分式的除法運(yùn)算；(2)分式的乘法運(yùn)算；(3)分?jǐn)?shù)的乘除混合運(yùn)算；(4)分?jǐn)?shù)的乘方運(yùn)算.


督促學(xué)生養(yǎng)成解題前仔細(xì)審題的習(xí)慣，為方法策略的選擇提供判斷的依據(jù).


問題2：它們涉及的運(yùn)算法則或運(yùn)算順序我們熟悉嗎？說說看！


都是我們已經(jīng)熟悉的內(nèi)容，它們涉及的運(yùn)算法則或運(yùn)算順序有：


(1)分式的乘法法則：分式乘以分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母.eq \f(a,b)·eq \f(c,d)＝eq \f(a·c,b·d).


(2)分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子和分母顛倒位置后，再和


被除式相乘.eq \f(a,b)÷eq \f(d,c)＝eq \f(a,b)·eq \f(c,d)＝eq \f(ac,bd).


(3)分?jǐn)?shù)的乘方法則：根據(jù)乘方的意義轉(zhuǎn)化為乘法，利用分?jǐn)?shù)的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算.


(4)同級(jí)運(yùn)算按從左到右的順序進(jìn)行.
分式的乘法、除法，分?jǐn)?shù)的乘除混合，分?jǐn)?shù)的乘方等都是新知的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，通過學(xué)生的嘗試練習(xí)一是喚起記憶，二是查缺補(bǔ)漏，疏通舊知向新知的通道，以確保學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)的正遷移的發(fā)生.
二、師生互動(dòng)，探究新知


問題1：你會(huì)計(jì)算eq \f(2x,5x－3)÷eq \f(3,25x2－9)·eq \f(x,5x＋3)嗎？試試看.


原式＝eq \f(2x,5x－3)·eq \f(25x2－9,3)·eq \f(x,5x＋3)＝eq \f(2x2（5x＋3）（5x－3）,3（5x＋3）（5x－3）)＝eq \f(2x2,3).


學(xué)生嘗試練習(xí)，教師巡回指導(dǎo)，若發(fā)現(xiàn)共性問題，可通過集體交流補(bǔ)正，以澄清模糊認(rèn)識(shí).估計(jì)學(xué)生根據(jù)“數(shù)、式通性”的思想類比分?jǐn)?shù)的乘除混合運(yùn)算(上面的題目)會(huì)操作，但不排除有感到困惑的學(xué)生，要指導(dǎo)好這類學(xué)生，明確順序、明確算法，集體達(dá)成共識(shí)：


分式的乘除混合運(yùn)算可以統(tǒng)一成乘法運(yùn)算，若沒有其他指令(如括號(hào)等)，則應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算.


問題2：若將前面 SKIPIF 1 < 0 中的分子、分母由數(shù)替換為字母，即 SKIPIF 1 < 0 ，同學(xué)們會(huì)計(jì)算嗎？若把指數(shù)“4”替換成“n”呢？


根據(jù)乘方的意義和分式乘方的法則，得 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(a,b)·eq \f(a,b)·eq \f(a,b)·eq \f(a,b)＝eq \f(a4,b4).





問題3：通過問題2的研究，你能歸納出分式乘方的法則嗎？


分式乘方的法則：分式乘方要把分子、分母分別乘方.


小試身手：


計(jì)算：(1) SKIPIF 1 < 0 ； (2) SKIPIF 1 < 0 .


答案：(1)原式＝eq \f(（－2a2b）2,（3c）2)＝eq \f(4a4b2,9c2)；


(2)原式＝－eq \f(（my2）3,（3nx2）3)＝－eq \f(m3y6,27n3x6)










































通過3個(gè)問題，搭建自主探索的腳手架，在舊知的鞏固過程中自然地將新知融入，把運(yùn)算規(guī)律揭示，平緩順暢，不顯突兀，能使學(xué)生學(xué)得輕松愉悅.
三、運(yùn)用新知，解決問題


1.計(jì)算：


(1)eq \f(2x－6,4－4x＋4x2)÷(x＋3)·eq \f(（x＋3）（x－2）,3－x)；


(2） SKIPIF 1 < 0


2.計(jì)算：


(1)eq \f(y2－4y＋4,2y－6)·eq \f(1,y＋3)÷eq \f(12－6y,9－y2)；


(2) SKIPIF 1 < 0 ；


(3) SKIPIF 1 < 0 .
通過練習(xí)1的第(1)小題提升分式乘除混合運(yùn)算的層次，第(2)小題就是教材中例5的第2小題，它是乘、除、乘方三者的混合，再次涉及運(yùn)算的順序問題，并融入了符號(hào)的變化，有較強(qiáng)的綜合性.
四、課堂小結(jié)，提煉觀點(diǎn)


本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？在知識(shí)應(yīng)用過程中需要注意什么？你有什么收獲？
五、布置作業(yè)，鞏固提升


必做題：教材第139頁練習(xí)1，


教材第146頁 第3題


選做題：有這樣一道題：“計(jì)算eq \f(x2－2x＋1,x2－1)÷eq \f(x－1,x2＋x)－x的值，其中x＝2016”.甲同學(xué)把“x＝2016”錯(cuò)抄成“x＝2061”，但他的計(jì)算結(jié)果也正確，你說這是怎么回事？
【板書設(shè)計(jì)】


分式的乘方


分式的乘方法則：分式乘方要把分子、分母分別乘方.


用字母表示為：(eq \f(a,b))n＝eq \f(an,bn)(n為正整數(shù))

【教學(xué)反思】


本設(shè)計(jì)的突出特點(diǎn)：


學(xué)為主體，練為主線.教學(xué)中流行著一句話：“教不越位，學(xué)要到位”，本設(shè)計(jì)敢于踐行這一理念，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，疑惑讓學(xué)生辯、方法讓學(xué)生找、法則讓學(xué)生探，以練為主線形成統(tǒng)一的整體，使學(xué)生在獲取基本運(yùn)算技能的同時(shí)，錘煉了意志，鍛煉了思維.






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15.2.1 分式的乘除

版本： 人教版

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