(時(shí)間：120分鐘　滿分：150分)
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)
1.棱錐的側(cè)面和底面可以都是(　　)
A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形
答案　A
解析　三棱錐的側(cè)面和底面均可以為三角形.
2.下面多面體中有12條棱的是(　　)
A.四棱柱 B.四棱錐 C.五棱錐 D.五棱柱
答案　A
解析　∵n棱柱共有3n條棱，n棱錐共有2n條棱，∴四棱柱共有12條棱；四棱錐共有8條棱；五棱錐共有10條棱；五棱柱共有15條棱.
3.如圖，Rt△O′A′B′是一平面圖的直觀圖，斜邊O′B′＝2，則這個(gè)平面圖形的面積是(　　)

A.　　　　　　 B.1
C. D.2
答案　D
解析　∵Rt△O′A′B′是一平面圖形的直觀圖，
斜邊O′B′＝2，
∴直角三角形的直角邊長(zhǎng)是，
∴直角三角形的面積是××＝1，
∴原平面圖形的面積是1×2＝2.
4.如圖所示，平面α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(　　)

A.點(diǎn)A B.點(diǎn)B
C.點(diǎn)C但不過點(diǎn)M D.點(diǎn)C和點(diǎn)M
答案　D
5.將若干毫升水倒入底面半徑為2 cm的圓柱形器皿中，量得水面高度為6 cm，若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面高度為(　　)
A.6 cm B.6 cm
C.2 cm D.3 cm
答案　B
解析　設(shè)圓錐中水的底面半徑為r cm，
由題意知πr2×r＝π×22×6，
得r＝2，
∴水面的高度是×2＝6(cm).
6.如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D為A1B1的中點(diǎn)，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝2，則異面直線BD與AC所成的角為(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°
答案　C
解析　如圖，取B1C1的中點(diǎn)E，連接BE，DE，

則AC∥A1C1∥DE，
則∠BDE即為異面直線BD與AC所成的角.
由條件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°.
7.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則(　　)
A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD
C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC
答案　C
解析　如圖，由題設(shè)知，A1B1⊥平面BCC1B1，

從而A1B1⊥BC1，
又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C?平面A1B1CD，
所以BC1⊥平面A1B1CD，
又A1E?平面A1B1CD，
所以A1E⊥BC1.
8.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(　　)

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
答案　B
解析　米堆的體積即為四分之一的圓錐的體積，
設(shè)圓錐底面半徑為r，則×2πr＝8，
得r＝，
所以米堆的體積為×πr2×5≈(立方尺)，
÷1.62≈22(斛).
二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分)
9.下面關(guān)于四棱柱的命題中，為真命題的是(　　)
A.若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱
B.若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱
C.若四個(gè)側(cè)面全等，則該四棱柱為直四棱柱
D.若四棱柱的四條體對(duì)角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱
答案　BCD
10.如圖所示，空間四邊形PABC的各邊都相等，D，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CA，AP的中點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是(　　)

A.DF∥平面PBC
B.AB⊥平面PDC；
C.平面PEF⊥平面ABC
D.平面PAE⊥平面PBC
答案　ABD
解析　∵BC∥DF，DF?平面PBC，BC?平面PBC，
∴DF∥平面PBC，故A正確；
∵PD⊥AB，CD⊥AB，PD∩CD＝D，PD，DC?平面PCD，
∴AB⊥平面PDC，故B正確；
∵PE⊥BC，AE⊥BC，PE∩AE＝E，PE，AE?平面PAE，
∴BC⊥平面PAE，
∵BC?平面PBC，∴平面PAE⊥平面PBC，故D正確.
只有C錯(cuò)誤.
11.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，成立的是(　　)
A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β
答案　ABC
解析　∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l.
∵AB∥l，∴AB∥m.故A一定正確.
∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m.故B一定正確.
∵A∈α，AB∥l，l?α，∴B∈α.
∴AB?β，l?β，∴AB∥β.故C也正確.
∵AC⊥l，當(dāng)點(diǎn)C在平面α內(nèi)時(shí)，AC⊥β成立，
當(dāng)點(diǎn)C不在平面α內(nèi)時(shí)，AC⊥β不成立.
故D不一定成立.
12.如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的是(　　)

A.AE⊥CE
B.BE⊥DE
C.DE⊥平面CEB
D.平面ADE⊥平面BCE
答案　ABD
解析　由AB是底面圓的直徑，則∠AEB＝90°，
即AE⊥EB.
∵四邊形ABCD是圓柱的軸截面，
∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB.
∴BE⊥AD，又AD∩AE＝A，AD，AE?平面ADE，
∴BE⊥平面ADE，DE?平面ADE，
∴BE⊥DE.
同理可得AE⊥CE.
又∵BE?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面ADE.
可得A，B，D正確.
三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13.若一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l，上、下底面半徑分別為r1，r2，且滿足2l＝r1＋r2，其側(cè)面積為8π，則l＝________.
答案　2
解析　S圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l＝2πl(wèi)2＝8π，所以l＝2.
14.已知平面α，β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.當(dāng)滿足條件________時(shí)，有m⊥β.
答案?、冖?br /> 15.空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，則AC與平面BCD所成的角是________.
答案　45°
解析　如圖所示，取BD的中點(diǎn)O，連接AO，CO.

因?yàn)锳B＝AD，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO?平面ABD，所以AO⊥平面BCD.
因此，∠ACO即為AC與平面BCD所成的角.
由于∠BAD＝90°＝∠BCD，所以AO＝OC＝BD，
又AO⊥OC，所以∠ACO＝45°.
16.已知一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，且這個(gè)球的體積是π，那么這個(gè)三棱柱的側(cè)面積為________，體積是________.(本題第一空2分，第二空3分)
答案　48 48
解析　設(shè)球的半徑為r，
則πr3＝π，
得r＝2，柱體的高為2r＝4.
又正三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓半徑與球的半徑相等，
所以底面正三角形的邊長(zhǎng)為4，
所以正三棱柱的側(cè)面積S側(cè)＝3×4×4＝48，
體積V＝×(4)2×4＝48.
四、解答題(本大題共6小題，共70分)
17.(10分)如圖所示是一個(gè)圓臺(tái)形的紙簍(有底無蓋)，它的母線長(zhǎng)為50 cm，兩底面直徑分別為40 cm和30 cm.求紙簍(外側(cè)部分)的表面積.

解　根據(jù)題意可知，紙簍底面圓的半徑r′＝15 cm，上口的半徑r＝20 cm，母線長(zhǎng)l＝50 cm，
則紙簍的表面積
S＝π(r′2＋r′l＋rl)
＝π(152＋15×50＋20×50)＝1 975π(cm2).
18.(12分)在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且＝＝.

求證：直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn).
證明　如圖所示，連接EF，GH.

∵H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，∴GH∥AC，且GH＝AC.
∵＝＝，∴EF∥AC，且EF＝AC.
∴GH∥EF，且GH≠EF.
∴EH與FG相交，設(shè)交點(diǎn)為P.
∵P∈EH，EH?平面ABD，∴P∈平面ABD.
同理P∈平面BCD.
又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.
∴直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn).
19.(12分)如圖所示，在四面體ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn).

求證：(1)直線EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
證明　(1)∵E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，
∴EF是△ABD的中位線，∴EF∥AD.
∵EF?平面ACD，AD?平面ACD，
∴直線EF∥平面ACD.
(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.
∵CB＝CD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，∴CF⊥BD.
又∵EF∩CF＝F，EF，CF?平面EFC，
∴BD⊥平面EFC.
∵BD?平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.
20.(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.

(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值；
(2)求證：PD⊥平面PBC；
(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.
(1)解　由已知AD∥BC，故∠DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角.
∵AD⊥平面PDC，PD?平面PDC，∴AD⊥PD.
在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝，
故cos∠DAP＝＝.
∴異面直線AP與BC所成角的余弦值為.
(2)證明　∵AD⊥平面PDC，直線PD?平面PDC，
∴AD⊥PD.
又∵BC∥AD，∴PD⊥BC，
又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB?平面PBC，
∴PD⊥平面PBC.
(3)解　過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連接PF，

則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.
∵PD⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，
∴∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角.
由于AD∥BC，DF∥AB，可得BF＝AD＝1.
由已知，得CF＝BC－BF＝2.
又AD⊥DC，故BC⊥DC.
在Rt△DCF中，可得DF＝＝2.
在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝.
∴直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.
21.(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，過A，D，N的平面交PC于點(diǎn)M.

求證：(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
證明　(1)∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，
又∵BC?平面PBC，AD?平面PBC，
∴AD∥平面PBC.
∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，AD?平面ADMN，
∴AD∥MN.
∴MN∥BC.
又∵N為PB的中點(diǎn)，∴M為PC的中點(diǎn)，
∴MN＝BC.
∵E為AD的中點(diǎn)，∴DE＝AD＝BC＝MN，
∴DE∥MN且DE＝MN，
∴四邊形DENM為平行四邊形，∴EN∥DM.
又∵EN?平面PDC，DM?平面PDC，
∴EN∥平面PDC.
(2)∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠BAD＝60°，E為AD中點(diǎn)，
∴BE⊥AD.
又∵PE⊥AD，PE∩BE＝E，PE，BE?平面PBE，∴AD⊥平面PEB.
∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥PB.
又∵PA＝AD＝AB，且N為PB的中點(diǎn)，∴AN⊥PB.
∵AD∩AN＝A，AD，AN?平面ADMN，
∴PB⊥平面ADMN.
又∵PB?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面ADMN.

22.(12分)如圖所示，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為CD的中點(diǎn)，以AE為折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE.
(1)求證：AD′⊥BE；
(2)求四棱錐D′－ABCE的體積；
(3)在棱ED′上是否存在一點(diǎn)P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.

(1)證明　根據(jù)題意可知，在長(zhǎng)方形ABCD中，△DAE和△CBE為等腰直角三角形，∴∠DEA＝∠CEB＝45°，
∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE.
∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，BE?平面ABCE，
∴BE⊥平面D′AE，
∵AD′?平面D′AE，
∴AD′⊥BE.
(2)解　取AE的中點(diǎn)F，連接D′F，則D′F⊥AE，且D′F＝.
∵平面D′AE⊥平面ABCE，
且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，D′F?平面D′AE，
∴D′F⊥平面ABCE，
∴VD′－ABCE＝S四邊形ABCE·D′F
＝××(1＋2)×1×＝.
(3)解　如圖所示，連接AC交BE于Q，假設(shè)在D′E上存在點(diǎn)P，使得D′B∥平面PAC，連接PQ.

∵D′B?平面D′BE，平面D′BE∩平面PAC＝PQ，
∴D′B∥PQ，
∴在△EBD′中，＝.
∵△CEQ∽△ABQ，
∴＝＝，
∴＝＝，即EP＝ED′，
∴在棱ED′上存在一點(diǎn)P，且EP＝ED′，
使得D′B∥平面PAC.

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