一、選擇題(本大題共12小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.如圖,矩形的對角線交于點O,若,,則的長為( )
A.2B.3C.D.4
2.如圖，矩形ABCD的對角線cm，，則AB的長為( )
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
3.已知矩形的頂點A、B、C的坐標分別為,,將該矩形向右平移3個單位長度得到矩形,則點的坐標為( )
A.B.C.D.
4.在四邊形中,,.下列說法能使四邊形為矩形的是( )
A.B.C.D.
5.如圖，在矩形中，對角線，相交于點O，以下說法正確的是( )
①；②；③；④
A.①B.①②C.①③D.①③④
6.如圖，直線，矩形的頂點A在直線b上，若，則的度數(shù)為( )
A.B.C.D.
7.將矩形按如圖方式放置在平面直角坐標系中,,,若將其沿著對角線對折后,點A的對應點為,與交于點D,則點D的坐標為( )
A.B.C.D.
8.如圖,在矩形中,,,平分交于點E,點F,G分別是,的中點,則的長為( )
A.5B.C.D.
9.如圖,在矩形中,對角線,相關于點O,E為邊上的任意一點(不與點C,D重合),過點E作,,垂足分別為F,G,若,,則的值為( )
A.B.C.5D.6
10.如圖,四邊形中,、、、,則的長為( )
A.6B.C.D.
11.如圖,矩形中,分別以B,D為圓心,以大于的長為半徑作弧,兩弧相交于M,N兩點,作直線分別交,于點F,E,連接,若,,以下結(jié)論錯誤的是( )
A.B.C.D.
12.如圖,四邊形為平行四邊形,,,對角線,P為上一動點,Q為上一定點,則的最小值為( )
A.12B.15C.16D.18
二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分.請把答案填在題中橫線上）
13.如圖,在平行四邊形中,對角線與交于點O.添加一個條件：______,則可判定四邊形是矩形.
14.如圖,在矩形ABCD中,AC、BD交于點O,于點E,若,則______°.
15.如圖,矩形中,點E在的延長線上,且,,則______°.
16.如圖,中,,,,D是上一點,于點E,于點F,邊接,則的最小值為____________.
17.如圖，，矩形的頂點A，B分別在邊、上，當點B在邊上運動時，點A隨之在上運動，矩形的形狀保持不變，其中，.在運動過程中點D到點O的最大距離為____________

三、解答題（本大題共6小題，共52分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）
18.（6分）如圖，在中，，垂足為E，點F在上，且.
求證：四邊形是矩形.
19.（6分）如圖，在矩形中，點E是上一點，連接，，點F是上一點，.求證：.
20.（8分）如圖,已知矩形,延長至點E,使得,對角線,交于點F,連結(jié).
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若,,求的長.
21.（10分）在中，過點D作于點E，點F在上，，連接、.
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）若平分，，.求的長.
22.（12分）如圖，在中，，D是的中點，，，.
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）若，，求的長.
23.如圖，在中，點M為的中點，過點D作，延長到點E使，連接，.
(1)求證:四邊形是矩形；
(2)若，，，求的長.
答案以及解析
1.答案：A
解析：在矩形ABCD中,,
∵,,
∴,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴.
故選：A.
2.答案：D
解析：由矩形的性質(zhì)可知，，
∵，
∴
∴是等邊三角形.
∴
故選：D.
3.答案：C
解析：由A、B坐標知,軸,；由B、C坐標知,軸,；
∵四邊形為矩形,
∴軸,軸,,,
∴；
∵矩形向右平移3個單位長度得到矩形,
∴；
故選：C.
4.答案：C
解析：A：,,,
為平行四邊形而非矩形
故A不符合題意
B：,,,
為平行四邊形而非矩形
故B不符合題意
C：
∴
四邊形為矩形
故C符合題意
D：
不是平行四邊形也不是矩形
故D不符合題意
故選：C.
5.答案：C
解析：四邊形是矩形，
，故說法①正確；
由已知條件無法推出，故說法②錯誤；
四邊形是矩形，
，，，
，故說法③正確；
由已知條件無法推出，故說法④錯誤；
綜上，正確的說法有：①③，
故選：C.
6.答案：C
解析：矩形，
，
過點B作，
，
，
，,
，
，
；
故選C.
7.答案：C
解析：矩形中,,
,,,
由折疊的性質(zhì)得,,
,
,
設,而,則,
,
,
,
,
,
故選C.
8.答案：D
解析：∵四邊形是矩形,
∴,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
連接,如圖,
∴,
∵點F、G分別為、的中點,
∴.
故選：D.
9.答案：A
解析：連接,如圖：
∵四邊形是矩形,
∴,,,,
∴,,
∴,,,
∴,
∴；
故選：A.
10.答案：D
解析：如圖,作,垂足為點E,交的延長線于點F,則,
∵,
∴
∴,
∵,
∴,
∴四邊形是矩形,
∴,
∴,
故選：D.
11.答案：C
解析：A、由作圖知,垂直平分,
,
故A正確,不符合題意；
B、四邊形是矩形,
,
,
,
,
,
故B正確,不符合題意；
C、如圖,
,,,
,
,
,
,
,
,
,
故C錯誤,符合題意；
D、四邊形為矩形,
,
故D正確,不符合題意；
故選：C.
12.答案：B
解析：過P作,交延長線于E,過Q作,交延長線于F,連接,則,
∵,,,
∴,
∴,
∵四邊形為平行四邊形,
∴,,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴四邊形是矩形,
∴,
∴當P是與交點時,最小,
故選：B.
13.答案：(或)(答案不唯一,正確即可)
解析：若使變?yōu)榫匦?可添加的條件是：
；(對角線相等的平行四邊形是矩形)
等.(有一個角是直角的平行四邊形是矩形)
故答案為：或.
14.答案：35
解析：∵,
∴,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴,
∴,
又∵,
∴,
故答案為：35.
15.答案：54
解析：連接,交于點O,如圖,
四邊形矩形,
,,,,
,
,
,
,
,
,,
.
故答案為：54.
16.答案：
解析：如圖,連接,
∵,,
∴,
∴四邊形是矩形,
∴,
當時,最短,從而最短；
由勾股定理得：,
∵,
∴,
∴的最小值為.
故答案為：.
17.答案：/
解析：如圖所示，取的中點E，連接，
∵矩形中，，，
∴，
∴，
∵，點E是的中點，
∴，
∵，
∴的最大值為，
∴在運動過程中點D到點O的最大距離為，
故答案為：.

18.答案：詳見解析
解析：證明：四邊形是平行四邊形
，
，即
又，
∴四邊形是平行四邊形
，
矩形.
19.答案：證明見解析
解析：證明：四邊形是矩形，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
.
20.答案：(1)見解析
(2)
解析：(1)證明：四邊形是矩形,
∴,.
,
∴,.
四邊形是平行四邊形；
(2)過點F作于點G.
矩形,
,
是的中點,
是的中位線,有.
在中,,,
.
21.答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
四邊形是矩形.
（2），
，
平分，
，
，
在中，
，，
，
，
四邊形是矩形，
，，，
，
；
故答案為：.
22.答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明：，D是BC的中點，
，
，
，
，
又，
，
四邊形是矩形.
（2）由（1）可知四邊形是矩形.
，，，
D是的中點，
，
在中，，
，
，
即，
.
23.答案：(1)見解析；
(2)
解析：（1）證明:四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，即，
，
四邊形是平行四邊形，
又，
，
四邊形是矩形.
（2）由（1）可知，，，
，，
，，
四邊形是平行四邊形，，
，，
，
在中，由勾股定理得:，
，
四邊形是矩形，
，，
在中，由勾股定理得:，
，
M是的中點，，
.

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