(1)的長為_______，的長為_______；（用含x的代數(shù)式表示）
(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
(3)當(dāng)四邊形是軸對稱圖形時，求出x的值．
2．如圖，在矩形中，，，是射線上的一個動點，過點作，交射線于點，射線交射線于點，設(shè)．
(1)當(dāng)時，連接，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
(2)當(dāng)時，求的值．
3．如圖，在平行四邊形中，的平分線交于點，交的延長線于點，以，為鄰邊作平行四邊形．
(1)若，如圖，求證：平行四邊形是正方形；
(2)若，如圖，連接，，求證：；
(3)若，如圖，若，，是的中點，求的長．
4．如圖，在正方形中，，．動點以每秒1個單位長度的速度從點山發(fā)，沿線段方向運動，動點同時以每秒4個單位長度的速度從點出發(fā)，沿正方形的邊運動，當(dāng)點與點相遇時停止運動，設(shè)點的運動時間為秒．
(1)運動時間為 秒時，點與點相遇；
(2)求為何值時，是等腰三角形？
(3)用含的式子表示的面積，并寫出相應(yīng)的取值范圍；
(4)連接，當(dāng)以點及正方形的某兩個頂點為頂點組成的三角形和全等時，直接寫出的值（點與點重合時除外）．
5．如圖1，在正方形中，點、分別為邊、上的動點，且，、分別交對角線于點、．
(1)如圖2，當(dāng)時，
①求證；
②當(dāng)時，求的值；
(2)求的值；
(3)如圖3，連接，當(dāng)在上移動時是否發(fā)生變化？如果不發(fā)生變化，求出的值；如果發(fā)生變化請說明理由．
6．某“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組”成員在復(fù)習(xí)《圖形的變化》時，對下面的圖形背景產(chǎn)生了濃厚的興趣，并嘗試運用由“特殊到一般”的思想進行了探究：
如圖1，正方形中，點E為邊上一點，連接，過點作交邊于點，將沿直線折疊后，點落在點處，當(dāng)，則 °．
如圖2，連接，當(dāng)點恰好落在上時，求證：．
如圖3，若把正方形改成矩形，且，其他條件不變，他們發(fā)現(xiàn)與之間也存在著一定的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系式．
7．在矩形中，，，點、分別是、邊上的動點，以為邊作平行四邊形，點落在邊上，點落在矩形內(nèi)或其邊上．
(1)如圖，當(dāng)，，且時，
求證：四邊形是正方形；
連接，直接寫出的面積______ ；
(2)如圖，當(dāng)且時，若，連接，
______ ；用含的代數(shù)式表示
求面積的取值范圍；
(3)如圖，當(dāng)與的長度之比為：，且時，在點從點運動到點的過程中，直接寫出點運動的路線長______ ．
8．已知正方形邊長為1，對角線相交于點O，過點O作射線，分別交于點E，F(xiàn)，且．
(1)如圖1，當(dāng)時，求證：四邊形是正方形；
(2)如圖2，將射線繞著點O進行旋轉(zhuǎn)．
①在旋轉(zhuǎn)過程中，判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
②四邊形的面積為 ；
(3)如圖3，在四邊形中，，連接．若，請直接寫出四邊形的面積．
9．如圖1，矩形中，，，點E在邊上運動（不與點B和點C重合），將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接，過點F作于點M．
(1)求證：；
(2)當(dāng)直線恰好經(jīng)過點E時，求的長；
(3)如圖2，連接．
①當(dāng)時，求的值；
②探究是否存在最小值，若存在，請求出這個最小值，若不存在，請說明理由．
10．如圖1，在菱形中，點P是對角線上一點，連接和，在射線上取點E，使得，射線交射線于點Q，設(shè)．
(1)如圖2，若，連接，交于點O，求證：；
(2)【探究】如圖3，若，，請畫出圖形，并求的值；
【歸納】若，的值為______．（用含k、α的表達式表示）
11．已知，點是邊長為(為常數(shù))的正方形內(nèi)部一動點，于， 于，連結(jié)，，，，記，，的面積分別為，，，令，．
(1)如圖，點P在對角線上．
①求（用含、的代數(shù)式表示）
②是否存在實數(shù)，使的值與點在上的位置無關(guān)．若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由；
(2)若 ，當(dāng)點在內(nèi)部(不含邊界)時(如圖)．
①求的取值范圍；
②試說明：的值隨著的增大而增大．
12．平面內(nèi)，在中，，， ，點P為邊上任意一點，連接，將繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，設(shè)．
(1)當(dāng)恰與垂直時，如圖1，求旋轉(zhuǎn)到所掃過的面積；（結(jié)果保留）
(2)當(dāng)點E落在對角線的延長線上時，分別過點，作直線的垂線，垂足分別為，，如圖2．
①求證：；
②求的值；
(3)連接，在旋轉(zhuǎn)的同時，將繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，如圖3．當(dāng)是直角三角形時，直接寫出的值．
13．【問題探究】
課外興趣小組活動時，同學(xué)們正在解決如下問題：
如圖1，在矩形中，點，分別是邊，上的點，連接，，且于點，若，，求的值．

（1）請你幫助同學(xué)們解決上述問題，并說明理由．
【初步運用】
（2）如圖2，在中，，，點為的中點，連接，過點作于點，交于點，求的值．
【靈活運用】
（3）如圖3，在四邊形中，，，，，點，分別在邊，上，且，垂足為，則 ．
14．【教材呈現(xiàn)】如圖，在中，點、分別與的中點．則與的關(guān)系是，；

【感知】如圖1，在矩形中，點為的中點，點為邊上一動點，點為的中點，連結(jié)、、．，與的數(shù)量關(guān)系是 ．
【應(yīng)用】如圖2，在中，，，、是的中線，、分別是和的中點，求的長；
【拓展】如圖3，在平行四邊形中，點為邊上一點，連接，點在上，，點是的中點，連接交于點，若點為的中點，，連接，求的值．
15．（1）如圖①，四邊形是矩形，點E是左側(cè)一點，作點E關(guān)于 的對稱點F，作點 F 關(guān)于 的對稱點 G，連接、、，且 請你判斷點 A、點E、點 G是否共線？回答： ；（填：“共線”或“不共線”）
（2）如圖②，四邊形是矩形， 點E 是左側(cè)一點，作點 E關(guān)于 對稱的點 F，作點 F 關(guān)于的對稱點G，連接、、、、、，交于點H，且
①當(dāng)?shù)亩葦?shù)為多少時， ？請說明理由；
②當(dāng)?shù)亩葦?shù)為多少時， 是直角三角形？請說明理由；
（3）如圖③，矩形是 的對角線， 直線經(jīng)過點B，且點E 是直線上一動點，作點 E關(guān)于 的對稱點 F，作點 F 關(guān)于的對稱點G，連接、．當(dāng)為等腰三角形時，請直接寫出的度數(shù)．
參考答案
1．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）證，得出即可；
（2）證，分別列出，，，，再用正方形面積減去即可；
（3）先確定四邊形是平行四邊形，其中能為軸對稱的只有矩形和菱形，分別討論即可．
【詳解】（1）解：（1）由題意得，，，
∵，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，，
∵點是對角線的中點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案為：，；
（2）根據(jù)題意，得：，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，，
∵點是對角線的中點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
；；，
∴，
綜上，；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵四邊形是軸對稱圖形，
①當(dāng)四邊形是矩形時，如圖，
只需即可，
則此時只需即可，
∴，
解得；
②當(dāng)四邊形是菱形時，，
∴，
解得（舍去）；
綜上，當(dāng)四邊形是軸對稱圖形時，的值是．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，動點問題，矩形和菱形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．(1)四邊形是平行四邊形，理由見解析
(2)或7
【分析】（1）把的值代入第一問的解析式就可以求出的值，再利用三角形相似就可以求出的值，進而判斷即可．
（2）由條件可以證明，可以得到，再分情況討論，從而求出的值．
【詳解】（1）解：如圖1，
當(dāng)時，，
，
四邊形是矩形，
平行于．
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
平行四邊形是菱形；
（2）解：如圖2，
根據(jù)，可得：，
，，
，
又，
于是：①或②
解得：，或，．
或7．
【點睛】本題為四邊形綜合問題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性在，菱形的判定，解直角三角形以及勾股定理的運用，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．
3．(1)證明見詳解；
(2)證明見詳解；
(3)．
【分析】結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的定義推得和，再根據(jù)等角對等腰可得，綜合即可證明平行四邊形是正方形；
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推得平行四邊形是含有角的菱形，再結(jié)合菱形的性質(zhì)推得即可證明；
延長交延長線于點，延長交于點，先根據(jù)平行四邊形和矩形的性質(zhì)推得，、的值，再證，推得，再根據(jù)勾股定理在中求得、．
【詳解】（1）證：平行四邊形中，，
平行四邊形是矩形，
，，
，
平行四邊形是矩形，
，，
又平分，
，
，
中，，
矩形是正方形．
（2）證：四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，
，，
，
，，
平分，
，
，
中，
，
即平行四邊形是含有角的菱形，
，，
，
和中，
，
，
．
（3）解：延長交延長線于點，延長交于點，
四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，
，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
平行四邊形是矩形，
，即，
，即，
平分，
，
，，
，
矩形中，
，
，
，
是的中點，
，
和中，
，
，
，
，
中，，
．
【點睛】本題考查的知識點是平行四邊形的性質(zhì)、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定．
4．(1)
(2)或或2
(3)當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，
(4)的值為或或
【分析】（1）設(shè)秒后、相遇．列出方程即可解決問題；
（2）根據(jù)，，分類討論即可解決問題；
（3）分三種情形①如圖2中，當(dāng)，點在上時．②如圖3中，當(dāng)，點在上時，．③如圖4中，當(dāng)，點在上時．分別求解即可；
（4）分四種情形求解①當(dāng)時，．②當(dāng)時，．③當(dāng)時，．④當(dāng)時，，此時與重合．
【詳解】（1）設(shè)秒后、相遇．
由題意，
秒，
秒后、相遇．
故答案為；
（2）∵正方形
∴，
當(dāng)時，此時與重合，；
當(dāng)時，此時與重合，；
當(dāng)時，在的垂直平分線上，即為中點，此時；
綜上所述，當(dāng)或或2時，是等腰三角形；
（3）①如圖2中，當(dāng)，點在上時，．
②如圖3中，當(dāng)，點在上時，．
③如圖4中，當(dāng)，點在上時，．
綜上所述，．
（4）如圖5中，
①當(dāng)時，，此時，；
②當(dāng)時，，此時，；
③當(dāng)時，，此時，；
④當(dāng)時，，此時與重合，；
綜上所述，為或或或時，當(dāng)以點及正方形的某兩個頂點組成的三角形和全等．
【點睛】本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論，注意不能漏解，屬于中考壓軸題．
5．(1)①見解析；②
(2)
(3)不發(fā)生變化，
【分析】（1）①由正方形可得，，，，再由可得，，從而得出為等腰直角三角形，可得，最后可得結(jié)論；
②連接交于點，則，證明，最后進行計算即可；
（2）連接，證明，即可解決問題；
（3）連接，由（2）知，可得，再證為等腰直角三角形，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）①證明：正方形，
，，，，
，
，，
為等腰直角三角形，
，
．
在和中，
．
②如圖，連接交于點，則，
，
，
由①知，，，
又，
，
在和中，
．
，
，
．
（2）如圖，連接，
，
，
又，
，
．
（3）不發(fā)生變化，理由如下：
如圖，連接，
由（2）知，
，
又，
為等腰直角三角形，
．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．25；見解析；
【分析】圖1：由余角的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可求解；
圖2：由“”可證，可得，，由銳角三角函數(shù)可求解；
圖3：由“ ”可證，可得，，由銳角三角函數(shù)可求解；
【詳解】解：如圖1，，，
，
將沿直線折疊后，點落在點處，
，
；
如圖2，證明：將沿直線折疊后，當(dāng)點恰好落在上時，
，，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
；
如圖3，解：將沿直線折疊后，當(dāng)點恰好落在上時，
，，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
7．(1)①詳見解析；②
(2)①；②
(3)
【分析】（1）①在中，，為矩形，，，，，，，矩形為正方形，
②過作于，則，，，，，；
（2）①連接，過點向作垂線交于點，求出，，，；
②，，為菱形，連接，，，又，，，又， ，，，，當(dāng)取最小值時，有最大值40，當(dāng)點與點重合時，點在上，即，面積的取值范圍即可求得；
（3）解：當(dāng)點與點重合時，點位置如圖，當(dāng)點與點重合時，點在點處，點在點處，點的運動路線為線段，由題意知：，，．
【詳解】（1）①證明：在中．，
為矩形，
若 則，
在矩形中，
，
，
，
，
又，
，
，
矩形為正方形；
②解：過作于，則，如圖1，
，，
，
又
，
又由，
，
，
，
故答案為：32；
（2）解：①連接，過點向作垂線交于點，如圖2，
若，則，
，
，
，
又：，
，
故答案為：；
②，
則，
當(dāng)時，為菱形，連接，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
，
，
當(dāng)取最小值時，有最大值40，
當(dāng)點與點重合時，點在上，
即，
面積的取值范圍為：；
（3）解：當(dāng)點與點重合時，點位置如圖，根據(jù)瓜豆原理，主動點的軌跡是線段，則從動點軌跡也是線段，則點的運動路線為線段，
由題意知：，
，
所以點的運動路線長為．
【點睛】本題考查動點，矩形，菱形，正方形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是對以上知識的熟練掌握．
8．(1)見解析
(2)①，證明見解析；②
(3)
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明四邊形是矩形，再得，即可解決問題；
（2）①證明，可得即可；
②先根據(jù)正方形的性質(zhì)得，則，，所以，由得，則，即可證明，于是得，根據(jù)四邊形的面積的面積正方形的面積，即可解決問題；
（3）延長至點G，使，連接，證明，可得，，所以為等腰直角三角形，所以四邊形的面積等腰直角三角形的面積，進而可以解決問題．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴，
∴四邊形是正方形；
（2）解：①，
證明：∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面積的面積，
∴四邊形的面積的面積正方形的面積；
（3）解：如圖，延長至點G，使，連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∵，
∴四邊形的面積等腰直角三角形的面積．
【點睛】此題是四邊形的綜合題，考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)正方形性質(zhì)求出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．
9．(1)見解析
(2)
(3)①；存在最小值
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，．從而得出．即．又由可得結(jié)論；
（2）設(shè)，則．在中，由勾股定理列出方程．解得：．最后在中，求出的長即可；
（3）①連接交于點O，連接交于點G．則，．先證明．得出．從而得．求出．最后可得結(jié)果；
②過點D作，交直線于點H，設(shè)交于點N，先證明．
列出比例式再代入數(shù)據(jù)得．求得，，從而得出．再證明．列出比例式再代入數(shù)據(jù)得．從而得出，．最后求解即可．
【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)知：，．
∴．
即：．
又，
∴．
（2）∵．
∴，，．
在中，．
∴．
如圖，當(dāng)直線恰好經(jīng)過點E時，，
設(shè)，則．
在中，，
即：．
解得：．
在中，．
（3）①如圖，連接交于點O，則，．
連接交于點G．
∵，．
∴，．
∴．
又，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
②存在最小值，理由如下：
過點D作，交直線于點H，設(shè)交于點N，
∵，．
∴．
∴．
即：．
∴，，
∴．
又，．
∴．
∴．
即：．
∴，．
∴．
所以當(dāng)點F與點H重合時，，使存在最小值．
【點睛】本題屬于四邊形的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，關(guān)鍵是學(xué)會利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決問題，屬于中考壓軸題．
10．(1)見解析
(2)【探究】；【歸納】
【分析】對于（1），先說明四邊形是正方形，結(jié)合已知得，再根據(jù)“等邊對等角”得，最后根據(jù)“兩角相等的兩個三角形相似”得出結(jié)論；
對于（2），先作出輔助線標(biāo)注圖形，再證明，接下來表示，并說明，可得，再根據(jù)線段垂直平分線可得，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出，進而得出，再結(jié)合已知條件表示出，最后根據(jù)得出答案．
對于【歸納】，根據(jù)（2）可表示，再設(shè)，則，然后根據(jù)，
并表示出，根據(jù)可得，再根據(jù)表示，并代入得出答案.
【詳解】（1）證明：如圖，
∵，則，
又∵四邊形是菱形，
∴四邊形是正方形，
∴.
∵，
∴.
∵P在上，，則，
∴.
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：[探究]
如圖所示，延長至Q′使得，連接，，過點作交的延長線于點M，作交的延長線于點S，
∵，
∴.
又∵，
∴.
∵，且四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴.
∵四邊形是菱形，
∴，，
，
∴，則.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
.
∵P是上的點，垂直平分，
∴.
又，，
.
∵，
∴，
，
∴，
，
過點P作于點T，則，
∵，設(shè)，
則，
∵，
，
，
，
．
[歸納]
同（2）可得，
設(shè)，則，
∵，
.
，
，
.
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了特殊的平行四邊形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)和判定，準(zhǔn)確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
11．(1)①；②存在，
(2)①；②理由見解析
【分析】（1）①證明四邊形是矩形，得到，，繼而得到，，根據(jù)等邊對等角得到，，再根據(jù)三角形的面積即可得解；
②求出，根據(jù)題意即可得解；
（2）①連接，，根據(jù)四邊形是矩形，，得，延長交于，作于，證明，得，繼而得到，得，再根據(jù)點在內(nèi)部（不含邊界）可得解；
②根據(jù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解．
【詳解】（1）解：①∵點是邊長為的正方形的對角線上的一點，且， ，，，，，
∴，，
∴四邊形是矩形，
∴，，，，
∴，，
∵，，的面積分別為，，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵四邊形是矩形，，，
∴，
∴
，
∵的值與點在上的位置無關(guān)，即與值無關(guān)，
∴，
解得：，
∴當(dāng)時，的值為，與點在上的位置無關(guān)；
（2）①連接，，
由（1）知：，，
∵四邊形是矩形，即，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
延長交于，作于，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵點在內(nèi)部（不含邊界）
∴；
②∵，
∴對稱軸為：，
∵，
∴，
∵，
∴當(dāng)時，隨的增大而增大，
即的值隨的增大而增大．
【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等角對等邊，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點．掌握矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．(1)
(2)①證明見解析；②
(3)6或
【分析】（1）旋轉(zhuǎn)到所掃過的圖形是以為半徑的四分之一圓，求出即可計算；
（2）①利用直角互余求證即可證明；②利用列式求解即可；
（3）分別討論、、三種情況，特別主要旋轉(zhuǎn)過程中，利用再結(jié)合圖形性質(zhì)求解．
【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴旋轉(zhuǎn)到所掃過扇形的面積為；
（2）①證明：由旋轉(zhuǎn)可知，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②解：由（1）得，，
則，
由①知，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
（3）由旋轉(zhuǎn)得，，，
∴可看作繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，
∴，，
∵中，，
∴，
①當(dāng)時，
∵，
可知點在直線上，如圖：
由（2）得，
故的值為；
②當(dāng)時，
∵，
∴點在直線上，
∵繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，點不在直線上，
所以不存在；
③當(dāng)時，
如圖，延長交于點，過點作于點，過點作于點，
∴，四邊形為矩形，
∴，，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
同理，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
要使，只需，
∵，，
∴，
即，
化簡得：，
解得：，
綜上所述，的值為6或．
【點睛】本題考查了平行四邊形與幾何變換綜合，涉及平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)，全等的性質(zhì)與判定，相似的判定與性質(zhì)，勾股定理及判定直角三角形，三角函數(shù)，熟練掌握這些幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（1）；（2）；（3）
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形是四個角都是直角的平行四邊形，相似三角形對應(yīng)邊成比例，以及正確作出輔助線，構(gòu)造題中所給幾何模型，進行解答．
（1）證明，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，即可求解；
（2）構(gòu)造矩形，延長交于點G，
由（1）中結(jié)論可得：，，設(shè)，，則，，，，再證明，則，即可求出，即可求解；
（3）連接，構(gòu)造如圖所示矩形，過點N作，交于點P，證明，，根據(jù)，得出，設(shè)，則，，得出，即可求出，由（1）中結(jié)論可得：，最后證明四邊形為平行四邊形，則．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：構(gòu)造如圖所示矩形，延長交于點G，

由（1）中結(jié)論可得：，
∵，
∴設(shè)，，
∵點為的中點，
∴，
在中，根據(jù)勾股定理可得：，
∵，
∴，則，，
解得：，，
∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴；
（3）解：連接，構(gòu)造如圖所示矩形，過點N作，交于點P，

∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴設(shè)，，
∴，
設(shè)，
則，，
∴，整理得：，
∴，
由（1）中結(jié)論可得：．
∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∴．
故答案為：．
14．[感知]；[應(yīng)用]；[拓展]
【分析】[感知]證明四邊形是平行四邊形，從而證得四邊形是平行四邊形，進一步得到四邊形是矩形，則，即可得；
[應(yīng)用]連接，并延長交于點，先由勾股定理求得，利用三角形中位線的性質(zhì)可證得，由勾股定理求得，從而得，由三角形中位線的性質(zhì)可求得；
[拓展]連接，作交延長線于，是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)與解直角三角形求得，再證明是等邊三角形，是直角三角形，求得，代入即可求解．
【詳解】解：[感知]點為的中點，點為的中點，
，，
，即，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是矩形，
，
四邊形是矩形，
，
故答案為：；
[應(yīng)用]如圖2，連接，并延長交于點，
，，
，，
、是的中線，
，，
點、分別是和的中點，
，，，
，，
，
，，
，
；
[拓展]連接，作交延長線于，如圖3，
，
是的中點，，
若點為的中點，
，，
點是的中點，，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
在中，，，
在中，，
由勾股定理得，
，，，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題考查三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判定與性質(zhì)．本題屬四邊形的綜合題目，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
15．（1）共線
（2）①當(dāng)時，，理由見解析
②當(dāng)時，是直角三角形，理由見解析
（3）或
【分析】（1）根據(jù)四邊形是矩形，得到；根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，結(jié)合，得到，于是得到，，判定共線解答即可．
（2）① 根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，得到，根據(jù)（1）得，點 A、點E、點 G三點共線，得到繼而得到即，結(jié)合，得到，設(shè)與的交點為M，根據(jù)折疊，得到，繼而得到．
②根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，，結(jié)合得到，根據(jù)，得，，根據(jù)（1）得到，繼而得到．
（3）分點E在射線上，兩種情況，利用三角函數(shù)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解答即可．
【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，
∴；
根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，
∵，
∴，
∴，
∴點 A、點E、點 G三點共線，
故答案為：共線．
（2）解：① 根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，
∴，
根據(jù)（1）得，點 A、點E、點 G三點共線，
∴，
∴即，
∵，
∴，
設(shè)與的交點為M，根據(jù)折疊，得到，
∴．
②根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，，
∴都是銳角，
∴，
∵
∴，
∴，，
根據(jù)（1）得到，
∴．
（3）解：∵四邊形是矩形，
∴，，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
根據(jù)對稱的性質(zhì)，得，
∵，
∴，
∴，
∴點 B、點E、點 G三點共線，
∴，
當(dāng)點E在射線上時，
∵為等腰三角形，
∴為等邊三角形，
∴，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)點E在射線上時，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，
∵為等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
綜上所述，或．
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，三角形外角性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

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