類型一、方程與不等式中的分類討論
1．在解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題時，常常用到數(shù)形結(jié)合思想，比如：|x+1|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與表示數(shù)﹣1的點(diǎn)的距離，|x﹣2|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與表示數(shù)2的點(diǎn)的距離．當(dāng)|x+1|+|x﹣2|取得最小值時，x的取值范圍是（ ）
A．x≤﹣1B．x≤﹣1或x≥2C．﹣1≤x≤2D．x≥2
【分析】以﹣1和2為界點(diǎn)，將數(shù)軸分成三部分，對x的值進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)絕對值的意義去絕對值符號，分別求出代數(shù)式的值進(jìn)行比較即可．
【解答】解：如圖，
當(dāng)x＜﹣1時，x+1＜0，x﹣2＜0，
|x+1|+|x﹣2|
＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）
＝﹣x﹣1﹣x+2
＝﹣2x+1＞3；
當(dāng)x＞2時，x+1＞0，x﹣2＞0，
|x+1|+|x﹣2|
＝（x+1）+（x﹣2）
＝x+1+x﹣2
＝2x﹣1＞3；
當(dāng)﹣1≤x≤2時，x+1≥0，x﹣2≤0，
|x+1|+|x﹣2|
＝（x+1）﹣（x﹣2）
＝x+1﹣x+2＝3；
綜上所述，當(dāng)﹣1≤x≤2時，|x+1|+|x﹣2|取得最小值，
所以當(dāng)|x+1|+|x﹣2|取得最小值時，x的取值范圍是﹣1≤x≤2．
故選C．
【點(diǎn)評】本題結(jié)合數(shù)軸考查了絕對值的意義以及絕對值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是以﹣1和2為界點(diǎn)對x的值進(jìn)行分類討論，進(jìn)而得出代數(shù)式的值．
2．已知關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，關(guān)于y的不等式組，恰好有三個整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的和是（ ）
A．1B．3C．4D．6
【分析】先解出x與a的關(guān)系，再通過x的取值范圍得到a的范圍，最后解關(guān)于y的不等式組由題意得到答案．
【解答】解：關(guān)于x的分式方程解為x＝2a﹣1，
∵x解為正數(shù)，
∴2a﹣1＞0，
∴a＞，
關(guān)于y的不等式組解為，
∵y恰有三個整數(shù)解，
∴0＜≤1，
∴﹣1＜a≤3，
分式方程中，x≠3，
∴2a﹣1≠3，
∴a≠2，
綜上所述：＜a≤3，
∴滿足條件的整數(shù)a為：1、3，
則所有滿足條件的整數(shù)a的和是4．
故選：C．
【點(diǎn)評】考查解分式方程和解一元一次不等式組，關(guān)鍵是把分式方程化整式方程，解不等式組時分情況討論解集．
3．下列說法：①若a＜b，則ac2＜bc2；②若ac＜bc，則a＞b；③若a＞b，且c＝d，則
ac＞bd；④若ac2＜bc2，則a＜b．其中正確的有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，通過分情況討論進(jìn)行辨別即可．
【解答】解：∵若a＜b，
當(dāng)c≠0時，c2＞0，
則根據(jù)不等式的性質(zhì)2可得，ac2＜bc2，
當(dāng)c＝0時，c2＝0，
則ac2＝bc2，＝0，
∴命題①不正確；
∵若ac＜bc，
當(dāng)c＞0時，根據(jù)不等式的性質(zhì)2可得a＜b，
當(dāng)c＜0時，根據(jù)不等式的性質(zhì)3可得a＞b，
∴命題②不正確；
∵若a＞b，
當(dāng)c＝d＞0時，可得ac＞bd，
當(dāng)c＝d＝0時，可得ac＝bd，
當(dāng)c＝d＜0時，可得ac＜bd，
∴命題③不正確；
∵若ac2＜bc2，
則c≠0，
∴c2＞0，
∴根據(jù)不等式的性質(zhì)2可得a＜b，
∴命題④正確，
故選：D．
【點(diǎn)評】此題考查了不等式性質(zhì)的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能根據(jù)題意準(zhǔn)確選擇所需要應(yīng)用的性質(zhì)，并進(jìn)行討論辨別．
4．定義運(yùn)算“※”：a※b＝若3※x＝1，則x的值為（ ）
A．1B．5C．1或5D．5或7
【分析】先分類討論，再解分式方程．
【解答】解：當(dāng)x＜3，3※x＝．
∴x＝1．
當(dāng)x＝1，3﹣x≠0．
∴的解是x＝1．
當(dāng)x＞3，3※x＝．
解得：x＝5，
∴當(dāng)x＝5，3﹣x≠0．
∴的解是x＝5．
綜上：x＝1或5．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查解分式方程，熟練掌握解分式方程是解決本題的關(guān)鍵．
5．已知關(guān)于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，則下列分析正確的是（ ）
A．當(dāng)p＝0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根
B．當(dāng)p＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
C．當(dāng)p＜0時，方程沒有實(shí)數(shù)根
D．方程的根的情況與p的值無關(guān)
【分析】先將該方程整理成一般式，再求得其根的判別式為4p+9，再判斷各選項(xiàng)的正確與否即可．
【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）＝p可整理為x2+x﹣2﹣p＝0，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2﹣p）＝1+8+4p＝4p+9．
當(dāng)p＝0時，Δ＝4p+9＝9＞0，
∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
故選項(xiàng)A不符合題意；
當(dāng)p＞0時，Δ＝4p+9＞0，
∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
故選項(xiàng)B符合題意；
當(dāng)p＜0時，Δ的正負(fù)無法確定，
∴無法判斷該方程實(shí)數(shù)根的情況，
故選項(xiàng)C不符合題意；
∵方程的根的情況和p的值有關(guān)，
故選項(xiàng)D不符合題意．
故選B．
【點(diǎn)評】此題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能對該方程進(jìn)行準(zhǔn)確變形與計算．
6．對于兩個不相等的有理數(shù)a，b，我們規(guī)定符號max{a，b}表示a，b兩數(shù)中較大的數(shù)，例如max{2，4}＝4，max{﹣2，﹣4}＝﹣2．按照這個規(guī)定，那么方程max{x，5x}＝2x+6的解為（ ）
A．x＝2B．x＝3或x＝﹣6C．x＝2或x＝﹣6D．x＝3
【分析】對x＞5x和x＜5x兩種情況進(jìn)行分類計算．
【解答】解：當(dāng)x＞5x時可得，
x＝2x+6，
解得x＝﹣6，
∵5×（﹣6）＝﹣30，且﹣6＞﹣30，
∴x＝﹣6是該方程的解；
當(dāng)x＜5x時，
5x＝2x+6，
解得x＝2，
∵5×2＝10，且2＜10，
∴x＝2是該方程的解，
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查了通過新定義問題解一元一次方程的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)題目定義，分情況列出不同方程求解，并討論結(jié)果是否符合題意．
7．若一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）在﹣3≤x≤2的范圍內(nèi)y的最大值比最小值大5，則下列說法正確的是（ ）
A．k的值為1或﹣1
B．y隨x的增大而減小
C．該函數(shù)的圖象不可能經(jīng)過第一、二、四象限
D．滿足題意的函數(shù)表達(dá)式只有2個
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，分k＞0，k＜0分別求得最大值與最小值，根據(jù)在﹣3≤x≤2的范圍內(nèi)y的最大值比最小值大5，求得k的值，繼而逐項(xiàng)分析判斷即可求解．
【解答】解：依題意，當(dāng)k＞0時，則當(dāng)x＝2時取得最大值y＝2k+b，
當(dāng)x＝﹣3時，取得最小值y＝﹣3k+b，
依題意，2k+b﹣（﹣3k+b）＝5，
解得：k＝1，
當(dāng)k＜0時，則當(dāng)x＝2時取得最小值y＝2k+b，
當(dāng)x＝﹣3時，取得最大值y＝﹣3k+b，
依題意，（﹣3k+b）﹣（2k+b）＝5，
解得：k＝﹣1，
∴k的值為1或﹣1，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)不正確，
∵b可以取任意數(shù)，故C，D選項(xiàng)不正確，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
8．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）交x軸于點(diǎn)A（1，0），B（3，0）．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線上兩個點(diǎn)．若|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．|y1|＜|y2|D．|y1|＞|y2|
【分析】先根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x＝2，若a＞0時，拋物線開口向上，|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，由于點(diǎn)到對稱軸的距離越大，函數(shù)值越大，所以y1＞y2＞0；若a＜0時，拋物線開口向下，|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，利用點(diǎn)到對稱軸的距離越大，函數(shù)值越小得到y(tǒng)1＜y2＜0，從而得到|y1|＞|y2|．
【解答】解：∵拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），B（3，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x＝2，
若a＞0時，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，
∴y1＞y2＞0；
若a＜0時，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，
∴y1＜y2＜0，
∴|y1|＞|y2|．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
9．定義，圖象與x軸有兩個交點(diǎn)的函數(shù)y＝叫做關(guān)于直線x＝m的對稱函數(shù)，它與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)記為A，與x軸正半軸交點(diǎn)記為B．例如，如圖：直線l：x＝1，關(guān)于直線l的對稱函數(shù)y＝與該直線l交于點(diǎn)C，當(dāng)直線y＝x與關(guān)于直線x＝m的對稱函數(shù)有兩個交點(diǎn)時，則m的取值范圍是（ ）
A．0≤m≤B．﹣2＜m≤C．﹣2＜m≤2D．﹣4＜m＜0
【分析】分兩種情況討論；列出關(guān)于m的方程，求得m的值，結(jié)合圖象即可求得m的取值范圍．
【解答】解：令±2x+4＝0，解得x＝2或﹣2，
故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（2，0），
∵函數(shù)與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)為A，與x軸正半軸交點(diǎn)記B，則﹣2＜m≤2；
從圖象看，x＝1時，y＝﹣2x+4＝2，故點(diǎn)C（1，2）．
當(dāng)直線y＝x與關(guān)于m的對稱函數(shù)有兩個交點(diǎn)時，
當(dāng)m≥0時，點(diǎn)C（m，4﹣2m），
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y＝x得：4﹣2m＝m，
解得m＝；
∴0≤m≤，
當(dāng)m＜0時，m＝2m+4，
解得m＝﹣4，
∴﹣4＜m＜0．
又∵﹣2＜m≤2，
∴﹣2＜m＜0．
綜上所述：m的取值范圍是﹣2＜m≤．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，分類討論是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著B→A→D運(yùn)動，同時點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿著C→D→A→B運(yùn)動，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動，設(shè)S△DMN＝S，時間為t（s），則S與t之間的函數(shù)圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用分類討論的思想方法分四種情況討論解答：①0≤t≤2，②2＜t＜4，③4≤t≤6，④6＜t≤8；依據(jù)t的取值范圍畫出對應(yīng)的圖形，求出對應(yīng)的函數(shù)解析式，根據(jù)解析式的大致圖象即可得出結(jié)論．
【解答】解：①當(dāng)0≤t≤2時，此時，點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在CD上，
由題意得：CN＝2t，
∴DN＝CD﹣CN＝4﹣2t．
∴S＝DN?AD＝×（4﹣2t）×8＝16﹣8t．
∵0≤t≤2，
∴此時函數(shù)的圖象是以（0，16）和（2，0）為端點(diǎn)的線段；
②當(dāng)2＜t＜4時，此時點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在AD上，如圖，
由題意得：DN＝2t﹣4，MB＝t．
∴AM＝AB﹣BM＝4﹣t，
∴S＝DN?AM＝（2t﹣4）（4﹣t）＝﹣t2+6t﹣8＝﹣（t﹣3）2+1．
∵2＜t＜4，
∴此時函數(shù)的圖象為開口向下，對稱軸為直線t＝3的拋物線的一段；
③當(dāng)4≤t≤6時，此時點(diǎn)M，N均在線段AD上，
此時s＝0，函數(shù)圖象為x軸上以（4，0）和（6，0）為端點(diǎn)的線段；
④當(dāng)6＜t≤8時，此時點(diǎn)M在線段AD上，點(diǎn)N在線段AB上，如圖，
由題意得：AN＝2t﹣12，M＝t﹣4．
∴DM＝AD﹣AM＝12﹣t．
∴S＝DM?AN＝（12﹣t）（2t﹣12）＝﹣t2+18t﹣72．
∵6＜t≤8，
∴當(dāng)t＝8時，S＝8．
∴此時的函數(shù)的圖象是拋物線S＝﹣t2+18t﹣72上以（6，0）和（8，8）為端點(diǎn)的一段．
綜上，符合上述特征的函數(shù)圖象為B，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查了動點(diǎn)問題函數(shù)的圖形，利用分類討論的方法求出相應(yīng)的函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
類型二、函數(shù)與分類討論
11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C為原點(diǎn)，AC所在直線為y軸，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點(diǎn)有（ ）
A．5個B．6個C．7個D．8個
【分析】分兩種情況推論，當(dāng)AB是底邊時，當(dāng)AB是腰時，即可判斷．
【解答】解：（1）當(dāng)AB是底邊時，作AB的垂直平分線分別與AC，x軸負(fù)半軸相交，共兩個交點(diǎn)，都符合條件；
（2）當(dāng)AB是腰時，①以點(diǎn)A為圓心AB長為半徑畫圓分別與y軸正半軸，負(fù)半軸，x軸負(fù)半軸相交，共三個交點(diǎn)，都符合條件；
②以點(diǎn)B為圓心AB長為半徑畫圓分別與x軸正半軸，負(fù)半軸，y軸負(fù)半軸相交，共三個交點(diǎn)，都符合條件，
因此共有8個符合條件的點(diǎn)．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形，關(guān)鍵是分兩種情況推論．
12．已知實(shí)數(shù)x，y滿足|x﹣3|+＝0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（ ）
A．10B．11
C．10或11D．以上答案均不對
【分析】先利用絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性可得x﹣3＝0，y﹣4＝0，從而可得x＝3，y＝4，然后分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為4，底邊長為3時；當(dāng)?shù)妊切蔚难L為3，底邊長為4時；分別進(jìn)行計算即可解答．
【解答】解：∵|x﹣3|+＝0，
∴x﹣3＝0，y﹣4＝0，
∴x＝3，y＝4，
分兩種情況：
當(dāng)?shù)妊切蔚难L為4，底邊長為3時，
∴等腰三角形的周長＝4+4+3＝11；
當(dāng)?shù)妊切蔚难L為3，底邊長為4時，
∴等腰三角形的周長＝3+3+4＝10；
綜上所述：等腰三角形的周長是10或11，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．
13．直角三角形的兩邊長m，n滿足，則第三邊長是（ ）
A．5B．5或C．4或D．4
【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m，n，再分兩種情況根據(jù)勾股定理即可解決問題．
【解答】解：∵，
∴（m﹣3）2+＝0．
∴m﹣3＝0且2n﹣8＝0．
∴m＝3，n＝4．
①n＝4為斜角邊時，則第三邊長為：＝；
②n＝4為直角邊時，則第三邊長為：＝5；
綜上所述，第三邊長為5或．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，AC＝4，BC＝3，將Rt△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在x軸上，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．（，﹣）
B．（﹣，）
C．（，﹣）或（﹣，）
D．（，﹣）或（﹣，﹣）
【分析】分兩種情形：如圖，當(dāng)點(diǎn)C′與B重合時，過點(diǎn)B′作B′T⊥OB于點(diǎn)T，過點(diǎn)B作BH⊥A′B′于點(diǎn)H．求出OT，TB′即可，當(dāng)點(diǎn)C′與A重合時，同法可得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)C′與B重合時，過點(diǎn)B′作B′T⊥OB于點(diǎn)T，過點(diǎn)B作BH⊥A′B′于點(diǎn)H．
∵A′C′＝4，B′C′＝3，∠A′C′B′＝90°，
∴A′B′＝＝＝5，
∵′C′?B′C′＝?A′B′?C′H，
∴C′H＝，
∵OA′＝OB′＝OC′，B′T⊥OB，C′H⊥OB′，
∴B′T＝C′H＝，
∴OT＝＝＝，
∴B′（，﹣），
當(dāng)點(diǎn)C′與A重合時，同法可得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為（﹣，），
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化﹣旋轉(zhuǎn)，直角三角形斜邊的中線等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會由分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
15．一個點(diǎn)到圓的最小距離為3cm，最大距離為6cm，則該圓的直徑是（ ）
A．1.5cmB．1.5cm或4.5cm
C．4.5cmD．3cm或9cm
【分析】分類討論：分點(diǎn)在圓外或點(diǎn)在圓內(nèi)進(jìn)行討論．
【解答】解：當(dāng)點(diǎn)在圓外，則該圓的直徑＝6cm﹣3cm＝3cm；當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)，則該圓的直徑＝6cm+3cm＝9cm，
即該圓的直徑為3cm或9cm．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：點(diǎn)P在圓外?d＞r；點(diǎn)P在圓上?d＝r；點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．
16．AB是⊙O的弦，∠AOB＝60°，則弦AB所對的圓周角是（ ）
A．30°B．60°C．150°或30°D．60°或140°
【分析】由⊙O的弦AB所對的圓心角∠AOB＝60°，根據(jù)圓周角定理與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可求得弦AB所對的圓周角的度數(shù)
【解答】解：∵⊙O的弦AB所對的圓心角∠AOB＝60°，
∴弦AB所對的圓周角的度數(shù)為：∠AOB＝30°或180°﹣30°＝150°．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理．此題難度不大，注意弦所對的圓周角有一對且互補(bǔ)．
17．在邊長為a的正方形內(nèi)有4個等圓，每相鄰兩個互相外切，它們中每一個至少與正方形的一邊相切，那么此等圓的半徑可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)圓心距與兩圓的半徑關(guān)系可得．
【解答】解：此題要考慮兩種情況：
當(dāng)四個等圓兩兩外切且和每個圓和正方形的兩邊相切時，
則圓的直徑的2倍等于正方形的邊長，
即圓的半徑是；
當(dāng)只有每相鄰的兩個圓相外切且和正方形的一邊相切時，
則它們的圓心組成了一個邊長等于圓的直徑的正方形．
若設(shè)圓的半徑是r，則有2r+2r＝a，
r＝a．
故選：D．
【點(diǎn)評】能夠正確畫出符合題意的圖形，注意考慮兩種情況．
18．若關(guān)于x的不等式組的所有整數(shù)解的和是﹣12，則m的取值范圍為 ﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3 ．
【分析】解不等式組得出解集，根據(jù)整數(shù)解的和為﹣12，可以確定整數(shù)解為﹣5，﹣4，﹣3或﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，再根據(jù)解集確定m的取值范圍．
【解答】解：解不等式組得：﹣5≤x＜m，
∵所有整數(shù)解的和是﹣12，
∴不等式組的整數(shù)解為﹣5，﹣4，﹣3或﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
∴﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3；
故答案為：﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3．
【點(diǎn)評】考查一元一次不等式組的解集、整數(shù)解，根據(jù)整數(shù)解和解集確定待定字母的取值范圍，在確定的過程中，不等號的選擇應(yīng)認(rèn)真細(xì)心，切實(shí)選擇正確．
19．求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．
解：根據(jù)“同號兩數(shù)相乘，積為正”可得：①或 ②．
解①得x＞；解②得x＜﹣3．∴原不等式的解集為x＞或x＜﹣3．
請你仿照上述方法解決下列問題：直接寫出不等式（2x+3）（5﹣x）≤0的解集 x≥5或x≤﹣ ．
【分析】仿照閱讀材料中的方法求出所求不等式的解集即可．
【解答】解：根據(jù)“異號兩數(shù)相乘，積為負(fù)”可得：①或②，
解①得：x≥5；解②得：x≤﹣，
∴原不等式的解集為x≥5或x≤﹣．
故答案為：x≥5或x≤﹣．
【點(diǎn)評】此題考查了解一元一次不等式組，弄清閱讀材料中的方法是解本題的關(guān)鍵．
20．如圖，函數(shù)y＝的圖象，若直線y＝x+m與該圖象只有一個交點(diǎn)，則m的取值范圍為 m＞或m≤0． ．
【分析】利用排除法，先求得直線y＝x+m與該圖象有兩個或三個交點(diǎn)時m的取值，則可求得結(jié)論．
【解答】解：由題意，直線y＝x+m與函數(shù)y＝的圖象恒相交，
①當(dāng)m＞0時，直線y＝x+m與直線y＝﹣x（x＜0）恒相交，
與拋物線y＝﹣x2+2x（x＞0）至少有一個交點(diǎn)時，
即方程x+m＝﹣x2+2x有兩個實(shí)數(shù)根，
∴x2﹣x+m＝0．
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×m≥0，
解得：m≤．
∴當(dāng)0＜m≤時，直線y＝x+m與函數(shù)y＝的圖象有兩個或三個交點(diǎn)，
∴當(dāng)m＞時，直線y＝x+m與函數(shù)y＝的圖象只有一個交點(diǎn)；
②當(dāng)m≤0時，由圖象可知，直線y＝x+m與函數(shù)y＝的圖象只有一個交點(diǎn)，
綜上，若直線y＝x+m與該圖象只有一個交點(diǎn)，則m的取值范圍為m＞或m≤0．
故答案為：m＞或m≤0．
【點(diǎn)評】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，圖象的交點(diǎn)與一元二次方程根的判別式的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合法解答是解題的關(guān)鍵．
類型三、三角形與分類討論
21．我們引入記號f（x）表示某個函數(shù)，用f（a）表示x＝a時的函數(shù)值．例如函數(shù)y＝x2+1可以記為f（x）＝x2+1，并有f（﹣2）＝（﹣2）2+1＝5，f（a+1）＝（a+1）2+1＝a2+2a+2．
狄利克雷是德國著名數(shù)學(xué)家，是最早倡導(dǎo)嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家之一．狄利克雷函數(shù)f（x）＝的出現(xiàn)表示數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的理解開始了深刻的變化，從研究“算”到研究更抽象的“概念、性質(zhì)和結(jié)構(gòu)”．關(guān)于狄利克雷函數(shù)，下列說法：
①f（π）＝f（）
②對于任意的實(shí)數(shù)a，f（f（a））＝0
③對于任意的實(shí)數(shù)b，f（b）＝f（﹣b）
④存在一個不等于0的常數(shù)t，使得對于任意的x都有f（x+t）＝f（x）
⑤對于任意兩個實(shí)數(shù)m和n，都有f（m）+f（n）≥f（m+n）．
其中正確的有 ①③ （填序號）．
【分析】由狄利克雷函數(shù)，即可判斷．
【解答】解：f（π）＝f（）＝0，故①符合題意；
若a是有理數(shù)，則f（a）＝1，f（f（a））＝1，故②不符合題意；
若b是有理數(shù)，則﹣b是有理數(shù)，若b是無理數(shù)，則﹣b是無理數(shù)，因此f（b）＝f（﹣b），故③符合題意；
令t＝，若x是有理數(shù)，則x+是無理數(shù)，f（x+t）≠f（x），故④不符合題意；
若m，n都是無理數(shù)，m+n＝0，則f（m）+f（n）＜f（m+n），故⑤不符合題意．
故答案為：①③．
【點(diǎn)評】本題考查狄利克雷函數(shù)，關(guān)鍵是注意自變量是有理數(shù)和無理數(shù)時分別對應(yīng)的函數(shù)值．
22．已知y關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+（m+1）2（m為常數(shù)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）
（1）k關(guān)于h的函數(shù)解析式為 k＝2h+1 ．
（2）若拋物線不經(jīng)過第三象限，且在﹣2≤x≤2時，二次函數(shù)最小值和最大值和為，則m＝ ．
【分析】（1）利用拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式解答即可；
（2）利用分類討論的思想方法分m≥2，0＜m＜2和當(dāng)m≥2時三種情況討論解答，分別確定出最大值與最小值，利用已知條件列出方程即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+（m+1）2＝（x﹣m）2+2m+1，
∴h＝m，k＝2m+1，
∴k關(guān)于h的函數(shù)解析式為k＝2h+1，
故答案為：k＝2h+1；
（2）令x＝0，則y＝（m+1）2，
∴拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，（m+1）2）．
∵（m+1）2≥0．
∵拋物線不經(jīng)過第三象限，拋物線的開口方向向上，
∴Δ＝4m2﹣4（m+1）2≤0，
∴m≥﹣．
①當(dāng)﹣≤m≤0時，
∵拋物線的開口方向向上，拋物線的對稱軸為x＝m，
∴在﹣2≤x≤2時，當(dāng)x＝m時，函數(shù)取最小值為y＝m2﹣2m2+（m+1）2＝2m+1，
當(dāng)x＝2時，函數(shù)取最大值為y＝4﹣4m+（m+1）2＝m2﹣2m+5，
∵二次函數(shù)最小值和最大值和為，
∴2m+1+m2﹣2m+5＝，
即：m2＝4
解得：m＝2或﹣2（不合題意，舍去），
∴此種情況不存在；
②當(dāng)0＜m＜2時，
在﹣2≤x≤2時，當(dāng)x＝﹣2時，函數(shù)取最大值為y＝4+4m+（m+1）2＝m2+6m+5，
當(dāng)x＝m時，函數(shù)取最小值為y＝2m+1，
∵二次函數(shù)最小值和最大值和為，
∴m2+6m+5+2m+1＝，
解得：m＝或m＝﹣（不合題意，舍去），
∴m＝．
③當(dāng)m≥2時，
當(dāng)x＝﹣2時，函數(shù)取最大值為y＝4+4m+（m+1）2＝m2+6m+5，
當(dāng)x＝2時，函數(shù)取最大值為y＝4﹣4m+（m+1）2＝m2﹣2m+5，
∵二次函數(shù)最小值和最大值和為，
∴m2+6m+5+m2﹣2m+5＝，
解得：m＝（不合題意，舍去），
綜上，在﹣2≤x≤2時，二次函數(shù)最小值和最大值和為，則m＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的極值，利用分類討論的方法解答是解題的關(guān)鍵．
23．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C（其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對應(yīng)點(diǎn)），若點(diǎn)B'恰好落在△ABC邊上，則點(diǎn)A到直線A′C的距離是 9或 ．
【分析】分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)B'恰好落在AB邊時，過點(diǎn)A作AD⊥A′C于點(diǎn)D，根據(jù)勾股定理得AC＝，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得B′C＝BC，∠B＝∠A′B′C＝60°，∠A′CB′＝∠ACB＝90°，則△CB′B為等邊三角形，根據(jù)等角的余角相等得∠ACD＝60°，再根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)得CD＝＝，由勾股定理即可求出AD；②當(dāng)點(diǎn)B'恰好落在AC邊時，A′、C、B三點(diǎn)共線，此時AC即為點(diǎn)A到直線A′C的距離．
【解答】解：①當(dāng)點(diǎn)B'恰好落在AB邊時，過點(diǎn)A作AD⊥A′C于點(diǎn)D，如圖，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝6，
∴AB＝2BC＝12，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，B′C＝BC，∠B＝∠A′B′C＝60°，∠A′CB′＝∠ACB＝90°，
∴△CB′B為等邊三角形，
∴∠ACB′＝∠ACB﹣∠BCB′＝30°，
∴∠ACD＝∠A′CB′﹣∠ACB′＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝＝，
∴；
②當(dāng)點(diǎn)B'恰好落在AC邊時，如圖，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∠A′CB′＝∠ACB＝90°，
∴A′、C、B三點(diǎn)共線，AC⊥A′B，
由（1）知，AC＝．
綜上，點(diǎn)A到直線A′C的距離是9或．
故答案為：9或．
【點(diǎn)評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形，解題關(guān)鍵在于理清題意，利用分類討論思想解答．
24．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上，點(diǎn)G在邊BC上，連接DE，DG，F(xiàn)G，當(dāng)四邊形DEFG是菱形時，發(fā)現(xiàn)菱形的個數(shù)隨著點(diǎn)D的位置變化而變化，若存在兩個菱形DEFG，則線段CD的長的取值范圍是 ＜CD≤ ．
【分析】利用勾股定理求得斜邊AB，利用分類討論的思想方法分三種情況討論解答：①當(dāng)四邊形DEFG是正方形時，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，CH與DG交于點(diǎn)M，利用三角形的面積公式求得斜邊上的高，設(shè)正方形的邊長為x，則HM＝x，CM＝CH﹣HM＝﹣x，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得x值，則CD可得，觀察圖形可知：當(dāng)0≤CD＜時，菱形的個數(shù)為0，當(dāng)CD＝時，菱形的個數(shù)為1；②當(dāng)四邊形DAEG是菱形時，設(shè)菱形的邊長為m，則CD＝3﹣m，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得m值，則CD可得，觀察圖形可知：當(dāng)＜CD≤時，菱形的個數(shù)為2；③當(dāng)四邊形DABG是菱形時，設(shè)菱形的邊長為n，則CG＝4﹣n，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得n值，則CD可得，觀察圖形可知：當(dāng)＜CD≤時，菱形的個數(shù)為1，當(dāng)＜CD≤3時，菱形的個數(shù)為0，綜上，結(jié)論可得．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5．
①當(dāng)四邊形DEFG是正方形時，
過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，CH與DG交于點(diǎn)M，如圖，
∵AB?CH＝AC?BC，
∴CH＝．
設(shè)正方形的邊長為x，則HM＝x，
∴CM＝CH﹣HM＝﹣x，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
∴x＝．
∴DG＝．
∵△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
∴CD＝，
觀察圖形可知：當(dāng)0≤CD＜時，菱形的個數(shù)為0，當(dāng)CD＝時，菱形的個數(shù)為1；
②當(dāng)四邊形DAEG是菱形時，如圖，
設(shè)菱形的邊長為m，則CD＝3﹣m，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
∴m＝，
∴CD＝3﹣＝，
觀察圖形可知：當(dāng)＜CD≤時，菱形的個數(shù)為2；
③當(dāng)四邊形DABG是菱形時，如圖，
設(shè)菱形的邊長為n，則CG＝4﹣n，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
∴n＝，
∴CG＝4﹣＝．
∵△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
∴CD＝，
觀察圖形可知：當(dāng)＜CD≤時，菱形的個數(shù)為1，當(dāng)＜CD≤3時，菱形的個數(shù)為0，
綜上，當(dāng)＜CD≤時，菱形的個數(shù)為2，
故答案為：＜CD≤．
【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，利用分類討論的思想方法解得是解題的關(guān)鍵．
25．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，點(diǎn)M是線段CO延長線上的一個動點(diǎn)，∠AOC＝60°，則當(dāng)△ABM為直角三角形時，AM的長為 或 ．
【分析】分∠AMB＝90°、∠ABM＝90°兩種情況，根據(jù)勾股定理計算即可．
【解答】解：當(dāng)∠AMB＝90°時，
∵AO＝BO，AB＝2，
∴OM＝AB＝OB，
∵∠BOM＝∠AOC＝60°，
∴△BOM為等邊三角形，
∴BM＝OB＝1，
∴AM＝＝＝；
當(dāng)∠ABM＝90°時，如圖2，
∵∠BOM＝∠AOC＝60°，
∴∠BMO＝30°，
∴OM＝2OB＝2，
∴BM＝＝，
∴AM＝＝，
綜上所述，當(dāng)△ABM為直角三角形時，AM的長為或，
故答案為：或．
【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．
26．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，點(diǎn)E是AB邊上不與端點(diǎn)重合的一個動點(diǎn)，作ED⊥BC交BC于點(diǎn)D，將△BDE沿DE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為F，當(dāng)△ACF為等腰三角形時，則BD的長為 或 ．
【分析】分兩種情況：①當(dāng)CA＝CF時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得∠B＝∠C＝30°，由含30°角的直角三角形性質(zhì)可得BC＝AC＝2，則BF＝，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BD＝DF＝，以此即可出BD；②當(dāng)AF＝FC時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠C＝∠FAC＝30°，由三角形外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可推出△BAF為直角三角形，BF＝＝，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BD＝DF＝，以此即可求解．
【解答】解：①當(dāng)CA＝CF時，如圖，
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，CA＝CF＝2，
∴BC＝AC＝2，
∴BF＝BC﹣CF＝，
由折疊的性質(zhì)可得，BD＝DF＝，
∴BD＝；
②當(dāng)AF＝FC時，如圖，
∴∠C＝∠FAC＝30°，
∴∠AFB＝∠C+∠FAC＝60°，
∴∠BAF＝180°﹣∠B﹣∠BFA＝90°，
∴△BAF為直角三角形，
∴BF＝＝，
由折疊的性質(zhì)可得，BD＝DF＝，
∴BD＝．
綜上，BD的長為或．
故答案為：或．
【點(diǎn)評】本題主要考查折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，學(xué)會利用分類討論思想解決問題是解題關(guān)鍵．
27．拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)C（2，y）在在這條拋物線上．
（1）則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 （2，4） ；
（2）若點(diǎn)P為y軸的正半軸上的一點(diǎn)，且△BCP為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （0，2），（0，） ．
【分析】（1）將點(diǎn)C（2，y）代入函數(shù)解析式即可得出結(jié)論；
（2）令y＝0，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，依據(jù)分類討論的思想方法，利用△BCP為等腰三角形和等腰三角形的解答即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)C（2，y）在拋物線上，
∴﹣×22+2+4＝y(tǒng)，
∴y＝4，
∴C（2，4），
故答案為：（2，4）；
（2）令y＝0，則﹣+x+4＝0，
解得：x＝4或x＝﹣2．
∵拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴B（4，0）．
∵點(diǎn)P為y軸的正半軸上的一點(diǎn)，①當(dāng)BP＝BC時，如圖，
過點(diǎn)C作CD⊥OB于點(diǎn)D，
∵C（2，4），B（4，0），
∴CD＝4，OB＝4，OD＝2，
∴CD＝OB．
在Rt△BPO和Rt△BCD中，
，
∴Rt△BPO≌Rt△BCD（HL），
∴OP＝BD．
∵OB＝4，OD＝2，
∴BD＝OB﹣OD＝2，
∴OP＝BD＝2，
∴P（0，2）；
②當(dāng)BP＝PC時，如圖，
過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，
∵C（2，4），B（4，0），
∴CE＝2，OE＝4，OB＝4，
設(shè)點(diǎn)P（0，a），
∵點(diǎn)P為y軸的正半軸上的一點(diǎn)，
∴OP＝a，EP＝4﹣a，
∵BP＝PC，
∴BP2＝PC2，
∴EP2+CE2＝OP2+OB2，
∴（4﹣a）2+22＝a2+42，
解得：a＝，
∴P（0，）．
綜上，當(dāng)△BCP為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）或（0，）．
故答案為：（0，2）或（0，）．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．
28．如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的正方形紙片，點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OC＝5，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，0），過點(diǎn)N且平行于y軸的直線MN與EB交于點(diǎn)M．現(xiàn)將紙片折疊，使頂點(diǎn)C落在MN上的點(diǎn)G處，折痕為OE．在x軸正半軸上存在一點(diǎn)P，使得以P，O，G為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （﹣5，0）或（，0）或（5，0）或（6，0） ．
【分析】先確定點(diǎn)C、N的坐標(biāo)，再由勾股定理求出NG的長，得到點(diǎn)G的坐標(biāo)，按點(diǎn)P在x軸的正半軸、負(fù)半軸，及OP＝OG、PO＝PG、PG＝OG進(jìn)行分類討論，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：由題意得，C（0，5），N（3，0），
∴ON＝3，
由折疊得，OG＝OC＝5，
∵∠ONG＝90°，
∴NG＝＝＝4，
∴G（3，4），
設(shè)P（x，0），
當(dāng)x＜0時，如圖4，由OP＝OG＝5，得x＝﹣5，
∴P（﹣5，0）；
當(dāng)x＞0時，如圖5，PO＝PG＝x，則PN＝x﹣3，
∵∠PNG＝90°，
∴PG2＝PN2+GN2，
∴x2＝（x﹣3）2+42，
解得x＝，
∴P（，0）；
如圖6，OP＝OG＝5，
∴P（5，0）；
如圖7，PG＝OG，
∵GN⊥PO，
∴PN＝ON＝3，
∴OP＝6，
∴P（6，0）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣5，0）或（，0）或（5，0）或（6，0）．
故答案為：（﹣5，0）或（，0）或（5，0）或（6，0）．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、軸對稱的特征、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識與方法，解題時需進(jìn)行分類討論，求出所有符合條件的值，此題綜合性較強(qiáng)，難度較大．
29．點(diǎn)A、B、C是⊙O上不同的三點(diǎn)，已知∠AOB+∠ACB＝210°，則∠AOB＝ 140或60 度．
【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧上時，當(dāng)點(diǎn)C在劣弧上時，然后分別進(jìn)行計算即可解答．
【解答】解：分兩種情況：
當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧上時，如圖：
∵∠ACB＝∠AOB，∠AOB+∠ACB＝210°，
∴∠AOB＝210°，
∴∠AOB＝140°；
當(dāng)點(diǎn)C在劣弧上時，如圖：
∵∠1＝2∠ACB，∠1+∠AOB＝360°，
∴2∠ACB+∠AOB＝360°，
∵∠AOB+∠ACB＝210°，
∴∠ACB＝150°，
∴∠AOB＝210°﹣∠ACB＝60°；
綜上所述：∠AOB的度數(shù)為140°或60°，
故答案為：140或60．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．
30．如圖，菱形ABCD的邊長為5，對角線AC為8，以頂點(diǎn)D為圓心，2為半徑畫圓，點(diǎn)P在對角線上運(yùn)動，當(dāng)射線BP與圓D相切時，AP的長是 4﹣或4+ ．
【分析】連接BD交AC于點(diǎn)H，當(dāng)射線BP與⊙D相切于點(diǎn)E時，連接DE，分兩種情況，當(dāng)射線BP與⊙D相切于點(diǎn)E，當(dāng)射線BP與⊙D相切于點(diǎn)F時，然后利用菱形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行計算即可解答．
【解答】解：連接BD交AC于點(diǎn)H，當(dāng)射線BP與⊙D相切于點(diǎn)E時，連接DE，如圖：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝5，AC⊥BD，AH＝AC＝4，BD＝2BH，
在Rt△ABH中，BH＝＝＝3，
∴BD＝2BH＝6，
∵射線BP與⊙D相切于點(diǎn)E，
∴∠DEB＝90°，
∴BE＝＝＝4，
∵∠DEB＝∠BHP＝90°，∠PBH＝∠DBE，
∴△BHP∽△BED，
∴＝，
∴＝，
∴PH＝，
∴AP＝AH﹣PH＝4﹣，
當(dāng)射線BP與⊙D相切于點(diǎn)F時，如圖：
同理可得：PH＝，
∴AP＝AH+PH＝4+，
綜上所述，當(dāng)射線BP與圓D相切時，AP的長是4﹣或4+，
故答案為：4﹣或4+．
【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，分兩種情況進(jìn)行計算即可解答．
類型四、圓中的分類討論
31．如圖，邊長為4的正方形ABCD中，頂點(diǎn)A落在矩形DEFG的邊EF上，EF＝5，而矩形的頂點(diǎn)G恰好落在BC邊上．點(diǎn)O是AB邊上一動點(diǎn)（不與A，B重合），以O(shè)為圓心，OA長為半徑作圓，當(dāng)⊙O與矩形DEFG的邊相切時，AO的長為 或2 ．
【分析】利用矩形，正方形的性質(zhì)，勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)求得線段CG，DE，AE，AH，F(xiàn)H的長，再利用利用分類討論的方法分①當(dāng)⊙O與矩形DEFG的FG邊相切時，②當(dāng)⊙O與矩形DEFG的DG邊相切時討論解答：利用直線與圓相切的定義，圓心到直線的距離等于半徑，設(shè)OA＝x，則OM＝x，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出比例式即可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝4，∠C＝∠ADC＝90°．
∵四邊形DEFG為矩形，
∴DG＝EF＝5，∠E＝∠EDG＝90°．
∴CG＝＝3．
∵∠CDG+∠ADG＝90°，∠EDA+∠ADG＝90°，
∴∠CDG＝∠EDA．
∵∠C＝∠E＝90°，
∴△CDG∽△EAD．
∴，
∴，
∴DE＝，AE＝．
∴AF＝EF﹣AE＝．
①當(dāng)⊙O與矩形DEFG的FG邊相切時，設(shè)AB與FG交于點(diǎn)H，
過點(diǎn)O作OM⊥FG于點(diǎn)M，如圖，
∵∠DAB＝90°，
∴∠EAD+∠FAB＝90°．
∵∠F＝90°，
∴∠FAB+∠FHA＝90°，
∴∠EAD＝∠FHA．
∵∠E＝∠F＝90°，
∴△EAD∽△FHA．
∴＝．
∴＝，
∴AH＝，F(xiàn)H＝．
設(shè)OA＝x，
∵⊙O與矩形DEFG的FG邊相切，
∴OM＝OA＝x．
∵OM⊥FG，AF⊥FG，
∴OM∥AF，
∴．
∴，
解得：x＝．
∴OA＝
②當(dāng)⊙O與矩形DEFG的DG邊相切時，如圖，
過點(diǎn)O作OM⊥DG于點(diǎn)M，延長MO，交EF于點(diǎn)N，則ON⊥EF，MN＝DE＝．
設(shè)OA＝x，
∵⊙O與矩形DEFG的DG邊相切，
∴OM＝OA＝x．
∴ON＝MN﹣OM＝﹣x，
∵ON∥FH，
∴，
∴．
解得：x＝2．
∴OA＝2；
③過點(diǎn)O作OM⊥DE于點(diǎn)M，如圖，
可知OM＞OA，⊙O與矩形DEFG的邊DE相離．
綜上，以O(shè)為圓心，OA長為半徑作圓，當(dāng)⊙O與矩形DEFG的邊相切時，AO的長為或2．
故答案為：或2．
【點(diǎn)評】本題主要考查了矩形，正方形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，利用分類討論的思想方法解得是解題的關(guān)鍵．
32．如圖，在等邊△ABC中，AB＝2，如果以BC為直徑的⊙D和以A為圓心的⊙A相切，那么⊙A的半徑r的值是 3﹣或3+ ．
【分析】分兩圓外切和兩圓內(nèi)切兩種情形討論解答：利用相切時圓心距與利用半徑的關(guān)系列出方程即可求解．
【解答】解：連接AD，如圖，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AB＝AC＝2，∠B＝60°．
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴BD＝CD＝，AD⊥BC，
∴⊙D的半徑為，
AD＝AB?sin60°＝3．
①以BC為直徑的⊙D和以A為圓心的⊙A相外切時，
∴r+＝AD＝3，
∴r＝3﹣．
②以BC為直徑的⊙D和以A為圓心的⊙A相內(nèi)切時，
∴r﹣＝AD＝3，
∴r＝3+．
綜上，如果以BC為直徑的⊙D和以A為圓心的⊙A相切，那么⊙A的半徑r的值是3﹣或3+．
故答案為：3﹣或3+．
【點(diǎn)評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，兩圓相切的性質(zhì)，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．
33．閱讀下面的材料，回答問題：如果（x﹣2）（6+2x）＞0，求x的取值范圍．
解：根據(jù)題意，得或，分別解這兩個不等式組，得第一個不等式組的解集為x＞2，第二個不等式組的解集為x＜﹣3．故當(dāng)x＞2或x＜﹣3時，（x﹣2）（6+2x）＞0．
（1）由（x﹣2）（6+2x）＞0，得出不等式組或，體現(xiàn)了 轉(zhuǎn)化 思想；
（2）試?yán)蒙鲜龇椒ǎ蟛坏仁剑▁﹣3）（1﹣x）＜0的解集．
【分析】①把解一元二次不等式的問題轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式組的問題；
②原不等式轉(zhuǎn)化為兩個不等式組或，然后兩個不等式組即可．
【解答】解：①由（x﹣2）（6+2x）＞0，得出不等式組或，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想；
故答案為轉(zhuǎn)化；
②由題意知：或，
分別解這兩個不等式組，
得第一個不等式組的解集為x＞3，
第二個不等式組的解集為x＜1，
故：當(dāng)x＞3或x＜1時，（x﹣3）（x﹣1）＜0．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．
34．閱讀下列材料：
根據(jù)絕對值的定義，|x|表示數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，那么，如果數(shù)軸上兩點(diǎn)P、Q表示的數(shù)為x1，x2時，點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為PQ＝|x1﹣x2|．
根據(jù)上述材料，解決下列問題：
如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是﹣4，8（A、B兩點(diǎn)的距離用AB表示），點(diǎn)M是數(shù)軸上一個動點(diǎn)，表示數(shù)m．
（1）AB＝ 12 個單位長度；
（2）若|m+4|+|m﹣8|＝20，求m的值；（寫過程）
（3）若關(guān)于x的方程|x﹣1|+|x+1|+|x﹣5|＝a無解，則a的取值范圍是 a＜6 ．
【分析】（1）用兩個點(diǎn)所表示的數(shù)的差的絕對值進(jìn)行計算即可；
（2）分三種情況討論，m＜﹣4，﹣4≤m≤8，m＞8；
（3）分四種情況討論，x＜﹣1，﹣1≤x＜1，1≤x＜5，x≥5，
【解答】解：（1）|﹣4﹣8|＝12，
所以AB＝12，
故答案為：12；
（2）分三種情況：
當(dāng)m＜﹣4時，
|m+4|+|m﹣8|＝20，
﹣m﹣4+（8﹣m）＝20，
解得：m＝﹣8，
當(dāng)﹣4≤m≤8時，
|m+4|+|m﹣8|＝20，
m+4+（8﹣m）＝20，
此方程無解，
當(dāng)m＞8時；
|m+4|+|m﹣8|＝20，
m+4+m﹣8＝20，
解得：m＝12，
答：m的值為﹣8或12；
（3）分四種情況：
當(dāng)x＜﹣1時，
|x﹣1|+|x+1|+|x﹣5|＝a，
1﹣x﹣x﹣1+5﹣x＝a，
解得：x＝，
∴＜﹣1，
解得：a＞8，
當(dāng)﹣1≤x＜1時，
|x﹣1|+|x+1|+|x﹣5|＝a，
1﹣x+x+1+5﹣x＝a，
解得：x＝7﹣a，
∴﹣1≤7﹣a＜1，
解得：6＜a≤8，
當(dāng)1≤x＜5時，
|x﹣1|+|x+1|+|x﹣5|＝a，
x﹣1+x+1+5﹣x＝a，
解得：x＝a﹣5，
∴1≤a﹣5＜5，
解得：6≤a＜10，
當(dāng)x≥5時，
|x﹣1|+|x+1|+|x﹣5|＝a，
x﹣1+x+1+x﹣5＝a，
解得：x＝，
∴≥5，
解得：a≥10，
綜上所述：a≥6時方程有解，
所以：a＜6時方程無解，
故答案為：a＜6．
【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)軸和絕對值的意義，同時滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想．
35．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax（x﹣6）+1（a≠0）的頂點(diǎn)為A，與x軸相交于B、C兩點(diǎn)（C點(diǎn)在B點(diǎn)的右側(cè)）．
（1）判斷點(diǎn)（0，1）是否在拋物線y＝ax（x﹣6）+1（a≠0）上，并說明理由；
（2）若點(diǎn)A到x軸的距離為5，求a的值；
（3）若線段BC的長小于等于4，求a的取值范圍．
【分析】（1）將點(diǎn)（0，1）代入拋物線y＝ax（x﹣6）+1（a≠0）進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（2）將已知拋物線解析式利用配方法轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；然后由“點(diǎn)A到x軸的距離為5”列出方程并解答；
（3）分a＞0和a＜0兩種情況下求得線段的BC的長度，結(jié)合“線段BC的長小于等于4”列出不等式并求得a的取值范圍．
【解答】解：（1）點(diǎn)（0，1）在拋物線y＝ax（x﹣6）+1（a≠0）上，
∵當(dāng)x＝0時，y＝a×0×（0﹣6）+1＝1，
∴點(diǎn)（0，1）在拋物線y＝ax（x﹣6）+1（a≠0）上；
（2）∵y＝ax（x﹣6）+1＝ax2﹣6x+1＝a（x﹣3）2+1﹣9a，點(diǎn)A到x軸的距離為5，
∴當(dāng)a＞0時，1﹣9a＝﹣5，
解得，；
當(dāng)a＜0時，1﹣9a＝5，
解得，；
綜上所述，a的值為或﹣；
（3）①當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下．
由（1）知，拋物線y＝ax（x﹣6）+1（a≠0）與y軸的交點(diǎn)為（0，1），
∵拋物線y＝ax（x﹣6）+1（a≠0）的對稱軸為直線x＝3，
∴xB＜0，xC＞6，
∴BC＝|xC﹣xB|＞6，
∵CB≤4，
∴此種情況不符合題意；
②當(dāng)a＞0時，拋物線的開口向上，在x軸上關(guān)于拋物線的對稱軸x＝3對稱且距離為4的兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），（5，0），
∵BC≤4，
∴當(dāng)x＝1時，y＝ax（x﹣6）+1＝ax2﹣6ax+1＝a﹣6a+1≥0，
∴a≤，
∵拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，
∴yA＝﹣9a+1＜0，
∴a＞，
∴＜a≤．
綜上所述，a的取值范圍為：＜a≤．
【點(diǎn)評】本題屬于二次函數(shù)綜合題型，綜合考查了二次函數(shù)的三種形式，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及拋物線的軸對稱性質(zhì)，難度不是很大．
36．為迎接中招體育考試，某校決定采購一批足球以供學(xué)生業(yè)余訓(xùn)練使用．某體育用品超市推出以下兩種優(yōu)惠方案：方案一，一律打八折；方案二，當(dāng)購買量不超過80個時，按原價銷售，當(dāng)購買量超過80個時，超過的部分打六折．已知一個足球的原價為50元，設(shè)學(xué)校計劃購買x個足球．
（1）設(shè)方案一的總費(fèi)用為y1，方案二的總費(fèi)用為y2，請分別寫出y1，y2（元）與x（個）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若派學(xué)生代表去采購足球，他們應(yīng)該選擇哪種方案更省錢？并說明理由．
【分析】（1）利用兩種優(yōu)惠方案的優(yōu)惠方式分別列式計算即可；
（2）利用分類討論的方法和（1）中的結(jié)論分三種情形討論解答即可．
【解答】解：（1）方案一的總費(fèi)用為y1＝0.8×50x＝40x；
當(dāng)x≤80時，方案二的總費(fèi)用為y2＝50x，
當(dāng)x＞80時，方案二的總費(fèi)用為y2＝50×80+50（x﹣80）×0.6＝30x+1600，
∴方案二的總費(fèi)用為y2＝；
（2）當(dāng)x＜160時，選擇方案一更省錢，當(dāng)x＝160時，選擇兩種購買方式花費(fèi)相同，當(dāng)x＞160時，選擇方案二更省錢．理由：
①當(dāng)x≤80時，
∵40x＜50x，
∴y1＜y2，
∴選擇方案一更省錢；
當(dāng)80＜x＜160時，
∵40x＜30x+1600，
∴y1＜y2，
∴選擇方案一更省錢；
②當(dāng)x＝160時，
∵40x＝30x+1600，
∴y1＝y(tǒng)2，
∴兩種購買方式花費(fèi)相同；
③當(dāng)x＞160時，
∵40x＞30x+1600，
∴y1＞y2，
∴選擇方案二更省錢．
綜上，當(dāng)x＜160時，選擇方案一更省錢，當(dāng)x＝160時，選擇兩種購買方式花費(fèi)相同，當(dāng)x＞160時，選擇方案二更省錢．
【點(diǎn)評】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，利用分類討論的方法解答是解題的關(guān)鍵．
37．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2與y軸的交點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作直線l垂直于y軸．
（1）求拋物線的對稱軸（用含m的式子表示）；
（2）將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）為圖形G上任意兩點(diǎn)．
①當(dāng)m＝0時，若x1＜x2，判斷y1與y2的大小關(guān)系，并說明理由；
②若對于x1＝m﹣1，x2＝m+1，都有y1＞y2，求m的取值范圍；
（3）當(dāng)圖象G與直線y＝m+2恰好有3個公共點(diǎn)時，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1））直接利用對稱軸公式x＝﹣即可求出；
（2）①y1＞y2利用圖象法，根據(jù)函數(shù)的增減性判斷即可；
②通過計算可知，點(diǎn)P（m﹣1，1）、Q（m+1、1）為拋物線上關(guān)于對用軸x＝m對稱的兩點(diǎn)，分類討論當(dāng)m變化時，y軸與點(diǎn)P、Q的相對位置：當(dāng)y軸在點(diǎn)P左側(cè)時（含點(diǎn)P），作出圖形，即可得出經(jīng)翻折后，得到點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)相同，此時y1＝y(tǒng)2，不符題意；當(dāng)y軸在點(diǎn)Q右側(cè)時（含點(diǎn)Q），作出圖形，即可得出點(diǎn)M、N分別和點(diǎn)P、Q重合，此時y1＝y(tǒng)2，不符題意；當(dāng)y軸在點(diǎn)P、Q之間時（不含P、Q），作出圖形，即可得出經(jīng)翻折后，點(diǎn)N在l下方，點(diǎn)M、P重合，在l上方，此時y1＞y2，符合題意，即有m﹣1＜0＜m+1．即﹣1＜m＜m；
（3）當(dāng)m＞0時，圖象G與直線y＝m+2恰好有3個公共點(diǎn)時，可列不等式組，當(dāng)m＜0時，圖象G與直線y＝m+2恰好有3個公共點(diǎn)時，可列不等式組，分別解出即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）拋物線y＝x2﹣2mx+m2的對稱軸為直線x＝﹣＝m；
（2）①當(dāng)m＝0時，二次函數(shù)解析式是y＝x2，對稱軸為y軸，
∴圖形G如圖1所示：
：圖形G上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x和y，滿足y隨x的增大而減小，
∵x1＜x2，
∴y1＞y2；
②通過計算可得，P（m﹣1，1），Q（m+1，1）為拋物線上關(guān)于對稱軸x＝m對稱的兩點(diǎn)，
下面討論當(dāng)m變化時，y軸與點(diǎn)P、Q的相對位置：
如圖2所示：當(dāng)y軸在點(diǎn)P左側(cè)時（含點(diǎn)P），
經(jīng)翻折后，得到點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)相同，y1＝y(tǒng)2，不符合題意；
如圖3所示：當(dāng)y軸在點(diǎn)Q右側(cè)時（含點(diǎn)Q），
點(diǎn)M，N分別和點(diǎn)P、Q重合，y1＝y(tǒng)2，不符合題意；
如圖4所示：當(dāng)y軸在點(diǎn)P、Q之間時（不含P、Q），
經(jīng)翻折后，點(diǎn)N在l下方，點(diǎn)M、P重合，在l上方，y1＞y2，符合題意，
此時有m﹣1＜0＜m+1，
∴﹣1＜m＜1，
綜上所述：m的取值范圍為﹣1＜m＜1；
（3）當(dāng)m＞0時，如圖所示
∵拋物線y＝x2﹣2m+m2翻折后y＝﹣（x﹣m）2+2m2，
∴圖象G與直線：y＝m+2恰好有3個公共點(diǎn)在點(diǎn)A、B之間，
∴，
∴解得＜m＜2；
當(dāng)m＜0時，如圖所示，
∴圖象G與直線y＝m+2恰好有3個公共點(diǎn)時，
∴，
∴解得：﹣2＜m＜﹣1．
綜上所述，m的取值范圍為：＜m＜2或﹣2＜m＜﹣1．
【點(diǎn)評】本題為二次函數(shù)綜合題，考查拋物線的對稱軸，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)等知識，較難，利用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．
38．拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣1．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求△BCD的面積；
（3）若點(diǎn)P是x軸下方拋物線上任意一點(diǎn)，已知⊙P的半徑為2，當(dāng)⊙P與坐標(biāo)軸相切時，圓心P的坐標(biāo)是 （﹣2，﹣3）或（﹣1+，﹣2）或（﹣1﹣，﹣2） ．
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）由△BCD的面積＝S梯形DHOB﹣S△CHD﹣S△BOC，即可求解；
（3）分⊙P與y軸相切、⊙P與x軸相切兩種情況，確定點(diǎn)P的一個坐標(biāo)即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝ax2+bx+c，
由題意得：，解得，
故拋物線的表達(dá)式為y＝x2+2x﹣3；
（2）當(dāng)x＝﹣1時，y＝x2+2x﹣3＝﹣4，即點(diǎn)D（﹣1，﹣4），
過點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H，
則DH＝1，CH＝﹣3﹣（﹣4）＝1，OC＝OB＝3，OH＝4，
則△BCD的面積＝S梯形DHOB﹣S△CHD﹣S△BOC＝（DH+OB）?OH﹣×OB?OC﹣×DH?CH
＝×（1+3）×4﹣×3×3﹣×1×1＝3；
（3）當(dāng)⊙P與y軸相切時，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則|x|＝2，
當(dāng)x＝﹣2時，y＝﹣3，
∴P（﹣2，﹣3）；
當(dāng)x＝2時，y＝5，
∴P（2，5）（舍去）；
當(dāng)⊙P與x軸相切時，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為y，則y|＝﹣2，
即y＝x2+2x﹣3＝﹣2，
解得：x＝﹣1±，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1+，﹣2）或（﹣1﹣，﹣2）；
綜上所述，圓心P的坐標(biāo)為：（﹣2，﹣3）或（﹣1+，﹣2）或（﹣1﹣，﹣2），
故答案為：（﹣2，﹣3）或（﹣1+，﹣2）或（﹣1﹣，﹣2）．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、三角形的面積計算方法以及圓的基本知識，有一定的綜合性，難度適中．
39．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，B，以AB為直徑構(gòu)造圓，點(diǎn)C在運(yùn)動，點(diǎn)D在上，CD交OA于點(diǎn)P，且．
（1）求CD的長．
（2）求證：OP＝PD．
（3）CE∥OA，交圓于另一點(diǎn)E，連結(jié)DE．若△CDE為等腰三角形，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得到CD的長；
（2）連結(jié)CO，DA，證明△COP≌△ADP，即可得到結(jié)論OP＝PD；
（3）分三種情況：①當(dāng)CE＝CD時，設(shè)PD＝OP＝x，則BP＝CP＝8﹣x，在Rt△BOP中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可求得結(jié)論；②當(dāng)DC＝DE時，設(shè)圓心為F，DF交OA于點(diǎn)M，延長DF交CE于點(diǎn)H，設(shè)OP＝PD＝x，則PM＝4﹣x，在Rt△PMD中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可求得結(jié)論；③當(dāng)EC＝ED，設(shè)圓心為F，作EG⊥CD于點(diǎn)G，PT⊥CE，垂足為T，F(xiàn)M⊥OA于M，延長MF交CE于點(diǎn)H，連接CF，利用勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，矩形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)求得線段OP，則結(jié)論可求．
【解答】（1）解：對于，令y＝0，
則得：，
解得：x＝8，
∴A（8，0），
∴OA＝8，
∵，
∴CD＝OA＝8；
（2）證明：連結(jié)CO，DA，如圖，
∵∠OAD，∠C都是所對的圓周角，
∴∠OAD＝∠C．
∵，
∴，
∴CO＝AD．
在△COP和△ADP中，
∴△COP≌△ADP（AAS）．
∴OP＝PD；
（3）解：①當(dāng)CE＝CD時，如圖，
則CE＝CD＝OA＝8，
∵CE∥OA，
∴四邊形COAE為矩形，
又∵∠AOB＝90°，
∴點(diǎn)B，C重合，
設(shè)PD＝OP＝x，則BP＝CP＝8﹣x，
對于，
令x＝0，則得：y＝6，
∴B（0，6），
∴OB＝6．
在Rt△BOP中，由勾股定理得：
62+x2＝（8﹣x）2，
解得：．
∴；
②當(dāng)DC＝DE時，如圖，
設(shè)圓心為F，DF交OA于點(diǎn)M，延長DF交CE于點(diǎn)H，
∵DC＝DE，
∴，
∴DH⊥CE，
∵CE∥OA，
∴DH⊥OA，
∴OM＝AM，
∴FM是△ABO的中位線，
∴，
∵AB＝，
∴FD＝AB＝5，
∴MD＝FD﹣FM＝5﹣3＝2，，
設(shè)OP＝PD＝x，則PM＝4﹣x，
在Rt△PMD中，由勾股定理得：
22+（4﹣x）2＝x2，
解得：，
∴；
③當(dāng)EC＝ED時，設(shè)圓心為F，作EG⊥CD于點(diǎn)G，PT⊥CE，垂足為T，F(xiàn)M⊥OA于M，延長MF交CE于點(diǎn)H，連接CF，如圖，
則CF＝AB＝5，
∵FG⊥CD，
∴CG＝CD＝4，
∴，
∴GE＝GF+FE＝3+5＝8，
∴．
tan∠HFE＝tan∠C＝2，
∵HF⊥CE，
∴，
∴HF＝＝＝．
∵PT⊥CE，MH⊥CE，CE∥OA，
∴四邊形TPMH為矩形，
∴，
∵∠ECG＝∠PCT，∠CGE＝∠CTP＝90°，
∴△CEG∽△CPT，
∴，
∴CP＝＝．
∴，
∴．
綜上，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或或．
【點(diǎn)評】此題考查了圓與一次函數(shù)的綜合題，求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，圓的垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，等腰三角形的定義，熟練掌握各知識點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
40．已知：△ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O，BC＝，射線BO交邊AC于點(diǎn)E．
（1）如果點(diǎn)E恰好是邊AC的中點(diǎn)，求邊AB的長；
（2）如果△ABE∽△ACB，求∠ABC的大小；
（3）當(dāng)△AEO為等腰三角形時，求∠ABC的大?。?br>【分析】（1）利用垂徑定理的推論得到BE是AC的垂直平分線，再利用垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)距離相等即可得出結(jié)論；
（2）延長BE交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，則BF為圓的直徑，利用直角三角形的邊角關(guān)系可得∠FBC＝30°；利用相似三角形的性質(zhì)，同圓的比較相等，圓周角定理和三角形的內(nèi)角和定理可求得∠ABO，則結(jié)論可得；
（3）延長BE交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，利用（2）的結(jié)論可得∠BAC＝60°，設(shè)∠ABO＝∠BAO＝α，則用α可以表示出△AEO的三個內(nèi)角，利用分類討論的思想方法即可求得α的值，則結(jié)論可得．
【解答】解：（1）∵AE＝BE，
∴OE⊥AC．
∴BE是AC的垂直平分線．
∴AB＝BC＝2；
（2）延長BE交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，如圖，
∵⊙O的半徑為2，
∴BF＝3．
∵BF為圓的直徑，
∴∠BCF＝90°．
∴cs∠FBC＝．
∴∠FBC＝30°．
∵△ABE∽△ACB，
∴∠ABE＝∠ACB．
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO．
∴∠ABO＝∠BAO＝∠ACB．
∵∠ACB＝∠AOB，
∴∠ABO＝∠BAO＝∠AOB．
設(shè)∠ABO＝∠BAO＝x°，則∠AOB＝2x°．
∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，
∴x+x+2x＝180．
解得：x＝45．
∴∠ABC＝∠ABO+∠FBC＝75°；
（3）延長BE交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，如圖，
由（2）知：∠FBC＝30°．
∴∠F＝90°﹣∠FBC＝60°．
∴∠BAC＝∠F＝60°．
設(shè)∠ABO＝∠BAO＝α，
則∠AOE＝2α，
∠OAE＝∠BAC﹣∠BAO＝60°﹣α，
∠AEO＝180°﹣∠ABO﹣∠BAC＝120°﹣α．
當(dāng)△AEO為等腰三角形時，
①如果∠AOE＝∠AEO，
則2α＝120°﹣α．
解得：α＝40°．
∴∠ABC＝40°+30°＝70°；
②如果∠AOE＝∠OAE，
則2α＝60°﹣α．
解得：α＝20°．
∴∠ABC＝20°+30°＝50°；
③如果∠OAE＝∠AEO，
則60°﹣α＝120°﹣α，無解．
綜上，當(dāng)△AEO為等腰三角形時，∠ABC＝70°或50°．
【點(diǎn)評】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解直角三角形 的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值，利用分類討論的思想解答是解題的關(guān)鍵．

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