卷18 特殊的平行四邊（矩形菱形正方形）（解析版+原卷版）-【沖刺2025】中考一輪總復(fù)習(xí)2024中考真題分類提優(yōu)測試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題(每題3分，共30分)
1．（2024?通遼）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，以下條件不能證明?ABCD是菱形的是（）
A．∠BAC＝∠BCAB．∠ABD＝∠CBD
C．OA2+OB2＝AD2D．AD2+OA2＝OD2
2．（2024?臨夏州）如圖，O是坐標(biāo)原點，菱形ABOC的頂點B在x軸的負(fù)半軸上，頂點C的坐標(biāo)為（3，4），則頂點A的坐標(biāo)為（）
A．（﹣4，2）B．（?3，4）C．（﹣2，4）D．（﹣4，3）
3．（2024?黑龍江）如圖，菱形ABCD中，點O是BD的中點，AM⊥BC，垂足為M，AM交BD于點N，OM＝2，BD＝8，則MN的長為（）
A．5B．455C．355D．255
4．（2024?泰安）如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，點E是AB邊上的點，AE＝4，BE＝8，點F是BC上的一點，△EGF是以點G為直角頂點，∠EFG為30°角的直角三角形，連結(jié)AG．當(dāng)點F在直線BC上運動時，線段AG的最小值是（）
A．2B．43?2C．23D．4
5．（2024?蘇州）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC＝1，動點E，F(xiàn)分別從點A，C同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB，CD向終點B，D運動，過點E，F(xiàn)作直線l，過點A作直線l的垂線，垂足為G，則AG的最大值為（）
A．3B．32C．2D．1
6．（2024?包頭）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)是邊BC上兩點，且BE＝EF＝FC，連接DE，AF，DE與AF相交于點G，連接BG．若AB＝4，BC＝6，則sin∠GBF的值為（）
A．1010B．31010C．13D．23
7．（2024?西藏）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，點P是邊AB上任意一點，過點P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分別為點D，E，連接DE，則DE的最小值是（）
A．132B．6013C．125D．3013
8．（2024?山東）如圖，已知AB，BC，CD是正n邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以BC為邊在該正n邊形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，則n的值為（）
A．12B．10C．8D．6
9．（2024?重慶）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E是BC上一點，點F是CD延長線上一點，連接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于點M．若BE＝DF＝1，則DM的長度為（）
A．2 B．5 C．6 D．125
10．（2024?瀘州）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點，且滿足AE＝BF，AF與DE交于點O，點M是DF的中點，G是邊AB上的點，AG＝2GB，則OM+12FG的最小值是（）
A．4B．5C．8D．10
二、填空題(每題3分，共24分)
11．（2024?南通）若菱形的周長為20cm，且有一個內(nèi)角為45°，則該菱形的高為 cm．
12．（2024?淄博）如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E在BC延長線上，OE與CD相交于點F．若∠ACD＝2∠OEC，OFFE=56，則菱形ABCD的面積為．
13．（2024?廣西）如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60°，則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD的周長為 cm．
14．（2024?哈爾濱）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長BC至點G，連接DG，∠CDG=14∠AOB，點E為DG的中點，連接OE交CD于點F，若AO＝6EF，DE=23，則DF的長為．
15．（2024?巴中）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，DE⊥AC于點E，延長DE與BC交于點F．若AB＝3，BC＝4，則點F到BD的距離為．
16．（2024?南通）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的邊長為5，它的頂點D，E，G分別在△ABC的邊上，則BG的長為．
17．（2024?常州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于原點O．若點A的坐標(biāo)是（2，1），則點C的坐標(biāo)是．
18．（2024?呼和浩特）如圖，正方形ABCD的面積為50，以AB為腰作等腰△ABF，AB＝AF，AE平分∠DAF交DC于點G，交BF的延長線于點E，連接DE．若BF＝2，則DG＝．
三、解答題（共46分）
19．（6分）（2024?廣安）如圖，菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點，BE＝BF，求證：∠DEF＝∠DFE．
20．（8分）（2024?哈爾濱）四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AD∥BC，OA＝OC，AB＝BC．
（1）如圖1，求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）如圖2，AB＝AC，CH⊥AD于點H，交BD于點E，連接AE，點G在AB上，連接EG交AC于點F，若∠FEC＝75°，在不添加任何輔助線的情況下，直接寫出四條與線段CE相等的線段（線段CE除外）．
21．（8分）（2024?蘭州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）若BC＝4，CE＝3，求EF的長．
22．（8分）（2024?青島）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，且BE＝DF．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AB＝BO，當(dāng)∠ABE等于多少度時，四邊形ABCD是矩形？請說明理由，并直接寫出此時BCAB的值．
23．（8分）（2024?徐州）已知：如圖，四邊形ABCD為正方形，點E在BD的延長線上，連接EA、EC．（1）求證：△EAB≌△ECB；
（2）若∠AEC＝45°，求證：DC＝DE．
24．（8分）（2024?甘肅）【模型建立】
（1）如圖1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB＝BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式寫出線段AE，DE，CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【模型應(yīng)用】
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在對角線BD和邊CD上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式寫出線段BE，AD，DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【模型遷移】
（3）如圖3，在正方形ABCD中，點E在對角線BD上，點F在邊CD的延長線上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式寫出線段BE，AD，DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
卷18 特殊的平行四邊形（原卷版）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（2024?通遼）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，以下條件不能證明?ABCD是菱形的是（）
A．∠BAC＝∠BCAB．∠ABD＝∠CBD
C．OA2+OB2＝AD2D．AD2+OA2＝OD2
【分析】由菱形的判定、矩形的判定分別對各個選項進行判斷即可．
【解答】解：A、∵∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴?ABCD是菱形，故選項A不符合題意；
B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴?ABCD是菱形，故選項B不符合題意；
C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB＝OD，
∵OA2+OB2＝AD2，
∴OA2+OD2＝AD2，
∴∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴?ABCD是菱形，故選項C不符合題意，
D、∵AD2+OA2＝OD2，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∴不能證得?ABCD是菱形，故選項D符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
2．（2024?臨夏州）如圖，O是坐標(biāo)原點，菱形ABOC的頂點B在x軸的負(fù)半軸上，頂點C的坐標(biāo)為（3，4），則頂點A的坐標(biāo)為（）
A．（﹣4，2）B．（?3，4）C．（﹣2，4）D．（﹣4，3）
【分析】過C作CN⊥x軸于N，由勾股定理求出OC=ON2+CN2=5，由菱形的性質(zhì)推出AC∥BO，由勾股定理求出BM=AB2?AM2=3，得到OM＝OB﹣MB＝5﹣3＝2，因此點A的坐標(biāo)為（﹣2，4）．
【解答】解：過C作CN⊥x軸于N，過A作AM⊥x軸于M，
∵點C的坐標(biāo)為（3，4），
∴ON＝3，CN＝4，
∴OC=ON2+CN2=5，
∵四邊形ABOC是菱形，
∴AC＝OC＝5，AC∥BO，
∴點A的坐標(biāo)為（﹣2，4）．
故選：C．
【點評】本題主要考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，關(guān)鍵是由勾股定理求出OC的長．
3．（2024?黑龍江）如圖，菱形ABCD中，點O是BD的中點，AM⊥BC，垂足為M，AM交BD于點N，OM＝2，BD＝8，則MN的長為（）
A．5B．455C．355D．255
【分析】先由菱形性質(zhì)可得對角線AC與BD交于點O，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得OA＝OC＝OM＝2，進而由菱形對角線求出邊長，由sin∠MAC＝sin∠OBC=55解三角形即可求出MC＝ACsin∠MAC=455，MN＝BMtan∠OBC=355．
【解答】解：連接AC，如圖，
∵菱形ABCD中，AC與BD互相垂直平分，
又∵點O是BD的中點，
∴A、O、C三點在同一直線上，
∴OA＝OC，
∵OM＝2，AM⊥BC，
∴OA＝OC＝OM＝2，
∵BD＝8，
∴OB＝OD=12BD＝4，
∴BC=OB2+OC2=42+22=25，tan∠OBC=OCOB=24=12，
∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠OBC＝90°，
∴∠MAC＝∠OBC
∴sin∠MAC＝sin∠OBC=OCBC=225=55，
∴MC＝ACsin∠MAC=455，
∴BM＝BC﹣MC＝25?455=655，
∴MN＝BMtan∠OBC=655×12=355，
故選：C．
【點評】本題考查了解直角三角形，菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半．熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．
4．（2024?泰安）如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，點E是AB邊上的點，AE＝4，BE＝8，點F是BC上的一點，△EGF是以點G為直角頂點，∠EFG為30°角的直角三角形，連結(jié)AG．當(dāng)點F在直線BC上運動時，線段AG的最小值是（）
A．2B．43?2C．23D．4
【分析】E作EM⊥BC，則點E、M、F、G四點共圓，從而得到AP＝MH，因為AG≥AP，所以求出MH的值即可得解．
【解答】解：如圖，過E作EM⊥BC于點M，作MH⊥AB于點H，作AP⊥GM于點P，
∵∠EMF+∠EGF＝180°，
∴點E、M、F、G四點共圓，
∴∠EMG＝∠EFG＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠BEM＝30°＝∠EMG，
∴MG∥AB，
∴四邊形MHAP是矩形，
∴MH＝AP，
∵BE＝8，
∴EM＝BE?cs30°＝43，
∴MH=12EM＝23=AP，
∴AG≥AP＝23，
∴AG最小值是23．
故選：C．
【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形、垂線段最短、圓內(nèi)接四邊形對角互補等知識，熟練掌握相關(guān)知識點和添加合適的輔助線是解題關(guān)鍵．
5．（2024?蘇州）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC＝1，動點E，F(xiàn)分別從點A，C同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB，CD向終點B，D運動，過點E，F(xiàn)作直線l，過點A作直線l的垂線，垂足為G，則AG的最大值為（）
A．3B．32C．2D．1
【分析】由勾股定理可求AC的長，由“AAS“可證△COF≌△AOE，可得AO＝CO＝1，由AG⊥EF，可得點G在以AO為直徑的圓上運動，則AG為直徑時，AG有最大值為1，即可求解．
【解答】解：連接AC，交EF于O，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠B＝90°，
∵AB=3，BC＝1，
∴AC=AB2+BC2=3+1=2，
∵動點E，F(xiàn)分別從點A，C同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB，CD向終點B，D運動，
∴CF＝AE，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
又∵∠COF＝∠AOE，
∴△COF≌△AOE（AAS），
∴AO＝CO＝1，
∵AG⊥EF，
∴點G在以AO為直徑的圓上運動，
∴AG為直徑時，AG有最大值為1，
故選：D．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)知識，確定點G的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．
6．（2024?包頭）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)是邊BC上兩點，且BE＝EF＝FC，連接DE，AF，DE與AF相交于點G，連接BG．若AB＝4，BC＝6，則sin∠GBF的值為（）
A．1010B．31010C．13D．23
【分析】過G作GH⊥BC于H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB＝CD＝4，AD∥BC，得到BE＝EF＝CF＝2，求得BF＝CE＝4，推出△ABF和△DCE是等腰直角三角形，得到∠AFE＝∠DEC＝45°，求得△EGF是等腰直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
【解答】解：過G作GH⊥BC于H，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD∥BC，
∵BC＝6，BE＝EF＝FC，
∴BE＝EF＝CF＝2，
∴BF＝CE＝4，
∴AB＝BF＝CE＝DC＝4，
∴△ABF和△DCE是等腰直角三角形，
∴∠AFE＝∠DEC＝45°，
∴△EGF是等腰直角三角形，
∴GH＝EH=12EF=1，
∴BH＝3，
∴BG=BH2+HG2=10，
∴sin∠GBF=HGBG=110=1010，
故選：A．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2024?西藏）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，點P是邊AB上任意一點，過點P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分別為點D，E，連接DE，則DE的最小值是（）
A．132B．6013C．125D．3013
【分析】連接CP，作CQ⊥AB于點Q，由∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，求得AB=AC2+BC2=13，由S△ABC=12×13CQ=12×12×5，求得CQ=6013，再證明四邊形PECD是矩形，則CP＝DE，由CP≥CQ，得DE≥6013，則DE的最小值為6013，于是得到問題的答案．
【解答】解：連接CP，作CQ⊥AB于點Q，
∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB=AC2+BC2=122+52=13，
∴S△ABC=12×13CQ=12×12×5，
∴CQ=6013，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分別為點D，E，
∴∠PDC＝∠PEC＝∠DCE＝90°，
∴四邊形PECD是矩形，
∴CP＝DE，
∴CP≥CQ，
∵DE≥6013，
∴DE的最小值為6013，
故選：B．
【點評】此題重點考查矩形的性質(zhì)、垂線段最短、根據(jù)面積等式求線段的長度等知識與方法，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
8．（2024?山東）如圖，已知AB，BC，CD是正n邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以BC為邊在該正n邊形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，則n的值為（）
A．12B．10C．8D．6
【分析】先求解正多邊形的1個內(nèi)角度數(shù)，得到正多邊形的1個外角度數(shù)，再結(jié)合外角和可得答案．
【解答】解：∵四邊形BCMN是正方形，
∴∠NBC＝90°，
∵∠ABN＝120°，
∴∠ABC＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴正n邊形的一個外角為180°﹣150°＝30°，
∴n的值為360°30°=12．
故選：A．
【點評】本題考查的是正方形的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和外角，關(guān)鍵是正方形性質(zhì)的應(yīng)用．
9．（2024?重慶）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E是BC上一點，點F是CD延長線上一點，連接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于點M．若BE＝DF＝1，則DM的長度為（）
A．2B．5C．6D．125
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及三角形全等的判定及性質(zhì)，證明AE＝AF；利用角平分線的定義及三角形全等的判定及性質(zhì)，證明EM＝FM；設(shè)DM＝x，將EM、MC和CE分別表示出來，在Rt△MCE中根據(jù)勾股定理列關(guān)于x的方程并求解即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AB=AD∠ABE=∠ADFBE=DF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
∵AM平分∠EAF，
∴∠EAM＝∠FAM，
在△AEM和△AFM中，
AE=AF∠EAM=∠FAMAM=AM，
∴△AEM≌△AFM（SAS），
∴EM＝FM；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，
設(shè)DM＝x，則MC＝CD﹣DM＝4﹣x，CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，EM＝FM＝FD+DM＝1+x，
在Rt△MCE中，根據(jù)勾股定理，得EM2＝MC2+CE2，即（1+x）2＝（4﹣x）2+32，
解得x=125．
故選：D．
【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定及性質(zhì)等，掌握正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定及性質(zhì)和角平分線的定義、勾股定理是解題的關(guān)鍵．
10．（2024?瀘州）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點，且滿足AE＝BF，AF與DE交于點O，點M是DF的中點，G是邊AB上的點，AG＝2GB，則OM+12FG的最小值是（）
A．4B．5C．8D．10
【分析】先證明△ADE≌△BAF（SAS）得到∠ADE＝∠BAE，進而得到∠DOF＝90°，則由直角三角形的性質(zhì)可得 OM=12DF，如圖所示，在AB延長線上截取BH＝BG，連接FH，易證明△FBG≌△FBH（SAS），則FH＝FG，可得當(dāng)H、D、F三點共線時，DF+HF有最小值，即此時，OM+12FG有最小值，最小值即為DH的長的一半，求出AH＝8，在Rt△ADH中，由勾股定理得DH=AD2+AH2=10，則OM+12FG的最小值為5．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，
又∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∴∠DOF＝∠ADO+∠DAO＝∠BAF+∠DAO＝∠DAB＝90°，
∵點M是DF的中點，
∴OM=12DF，
如圖所示，在AB延長線上截取BH＝BG，連接FH，
∵∠FBG＝∠FBH＝90°，F(xiàn)B＝FB，BG＝BH，
∴△FBG≌△FBH（SAS），
∴FH＝FG，
∴OM+12FG=12DF+12HF=12(DF+HF)，
∴當(dāng)H、D、F三點共線時，DF+HF有最小值，即此時OM+12FG有最小值，最小值即為DH的長的一半，
∵AG＝2GB，AB＝6，
∴BH＝BG＝2，
∴AH＝8，
在Rt△ADH中，由勾股定理得DH=AD2+AH2=10．
∴OM+12FG的最小值為5，
故選：B．
【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，通過作輔助線可幫助解題．
二．填空題（共8小題）
11．（2024?南通）若菱形的周長為20cm，且有一個內(nèi)角為45°，則該菱形的高為 522 cm．
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再利用45°特殊直角三角形求出菱形的高．
【解答】解：過點C作CE⊥AD于點E，
∵周長為20cm，
∴CD＝5cm，
∵∠BCD＝45°，
∴∠CDE＝45°，
∴高＝CE=22CD=522cm，
故答案為：522．
【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（2024?淄博）如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E在BC延長線上，OE與CD相交于點F．若∠ACD＝2∠OEC，OFFE=56，則菱形ABCD的面積為 96 ．
【分析】作OH∥BC交CD于點H，則△DOH∽△DBC，由菱形的性質(zhì)得OD＝OB，OA＝OC，AC⊥BD，則OHBC=ODBD=12，求得OH=12BC＝5，再證明△OFH∽△EFC，得OHEC=OFFE=56，則EC=65OH＝6，再證明∠OEC＝∠COE，則OC＝EC＝6，求得OB=BC2?OC2=8，則BD＝16，AC＝12，所以S菱形ABCD=12BD?AC＝96，于是得到問題的答案．
【解答】解：作OH∥BC交CD于點H，則△DOH∽△DBC，
∵四邊形ABCD是邊長為10的菱形，對角線AC，BD相交于點O，
∴BC＝10，OD＝OB=12BD，OA＝OC，AC⊥BD，
∴OHBC=ODBD=12，∠BOC＝90°，
∴OH=12BC＝5，
∵OH∥EC，OFFE=56，
∴△OFH∽△EFC，
∴OHEC=OFFE=56，
∴EC=65OH=65×5＝6，
∵AC＝DC，AC⊥BD，∠ACD＝2∠OEC，
∴∠ACB＝∠ACD＝2∠OEC＝∠COE+∠OEC，
∴∠OEC＝∠COE，
∴OC＝EC＝6，
∴OB=BC2?OC2=102?62=8，
∴BD＝2OB＝16，AC＝2OC＝12，
∴S菱形ABCD=12BD?AC=12×16×12＝96，
故答案為：96．
【點評】此題重點考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
13．（2024?廣西）如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60°，則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD的周長為 83 cm．
【分析】過點A作AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，易知四邊形ABCD為平行四邊形，AE＝AF＝3cm，∠ADF＝∠ABE＝60°，可證△ADF≌△ABE（AAS），得到AD＝AB，可證四邊形ABCD為菱形．在Rt△ADF中，AD=AFsin60°=23，因此四邊形ABCD的周長為：23×4=83cm．
【解答】解：如圖，過點A作AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵兩張紙條寬度均為3cm，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，且AE＝AF＝3cm，
∴∠ADF＝∠ABE＝60°，
∴△ADF≌△ABE（AAS），
∴AD＝AB，
∴四邊形ABCD為菱形，
在Rt△ADF中，∠ADF＝60°，AF＝3cm，
∴AD=AFsin60°=23，
四邊形ABCD的周長為：23×4=83cm．
故答案為：83．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識．
14．（2024?哈爾濱）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長BC至點G，連接DG，∠CDG=14∠AOB，點E為DG的中點，連接OE交CD于點F，若AO＝6EF，DE=23，則DF的長為 11 ．
【分析】連接CE，設(shè)EF＝x，證△DOE∽△CEG，得出成比例線段，求出EF，即可．
【解答】解：在DF上截取DH＝HE，
∴∠FHE＝2∠FDE，
設(shè)FE＝x，HD＝y(tǒng)，
∵DE＝23，
∴DF=12?x2，
在Rt△HEF中，y2＝（12?x2?y）2+x2，
∴y＝6112?x2，
∴sin∠FHE=x6112?x2，
∵∠AOB＝4∠FDE，
∴∠COD＝4∠FDE，
∵O是BD的中點，E是DG的中點，
∴OE是△BDG的中位線，
∴F是CD的中點，
∵OC＝OD，
∴∠DOF＝2∠FDE＝∠FHE，
∴x6112?x2=12?x26x，
∴x＝1，
∴DF=11，
故答案為：11．
【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造相似三角形是關(guān)鍵．
15．（2024?巴中）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，DE⊥AC于點E，延長DE與BC交于點F．若AB＝3，BC＝4，則點F到BD的距離為 2120 ．
【分析】過點F作FH⊥DB，垂足為H，利用勾股定理求出AC的長，利用角的余弦值求出DF的長，再利用勾股定理求出FC，從而得出BF，利用三角形面積求出FH即可．
【解答】解：如圖，過點F作FH⊥DB，垂足為H，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AC＝BD，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝BD=AB2+BC2=32+42=5，
∴S△ADC=12AD?DC=12AC?DE，即12×4×3=12×5×DE，
解得：DE=125，
∴cs∠EDC=DEDC=DCDF，即1253=3DF，
解得：DF=154，
∴FC=DF2?DC2=(154)2?32=94，
∴BF＝BC?FC＝4?94=74，
∴S△BDF=12BD?FH=12BF?DC，即12×5×FH=12×74×3，
解得：FH=2120，
故答案為：2120．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的相關(guān)知識，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．
16．（2024?南通）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的邊長為5，它的頂點D，E，G分別在△ABC的邊上，則BG的長為 32 ．
【分析】過點G作GH⊥AC于點H，證明△ABC是等腰直角三角形，△AGH是等腰直角三角形，證明△DGH≌△DEC（AAS），得GH＝DC，DH＝CE，設(shè)AH＝HG＝DC＝a，DH＝CE＝b，得2a+b＝5，a2+b2＝（5）2，求出a的值，進而可以解決問題．
【解答】解：如圖，過點G作GH⊥AC于點H，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，AB=2AC＝52，
∵GH⊥AC，
∴△AGH是等腰直角三角形，
∴AH＝HG，AG=2AH，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DG＝DE，∠GDE＝90°，
∴∠GDH＝90°﹣∠EDC＝90°﹣∠DGH＝∠DEC，
在△DGH和△DEC中，
∠DHG=∠ECD=90°∠GDH=∠DECDG=ED，
∴△DGH≌△DEC（AAS），
∴GH＝DC，DH＝CE，
∴AH＝HG＝DC，
設(shè)AH＝HG＝DC＝a，DH＝CE＝b，
∵正方形DEFG的邊長為5，
∴DE=5，
∵AC＝AH+DH+DC，DC2+CE2＝DE2，
∴2a+b＝5，a2+b2＝（5）2，
將b＝5﹣2a代入a2+b2＝（5）2整理得：a2﹣4a+4＝0，
解得a1＝a2＝2，
∴AH＝a＝2，
∴AG=2AH＝22，
∴BG＝AB﹣AG＝52?22=32，
故答案為：32．
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，代入法解二元二次方程，解一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．
17．（2024?常州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于原點O．若點A的坐標(biāo)是（2，1），則點C的坐標(biāo)是（﹣2，﹣1）．
【分析】圍繞正方形性質(zhì)：點A和點C關(guān)于原點對稱，得點C的坐標(biāo)．
【解答】解：過點A，C分別作x軸的垂線AE，CF，如圖，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，AE＝CF，
∵點A的坐標(biāo)是（2，1），
∴OE＝OF＝2，AE＝CF＝1，
∴點C的坐標(biāo)為：（﹣2，﹣1），
故答案為：（﹣2，﹣1）．
【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．
18．（2024?呼和浩特）如圖，正方形ABCD的面積為50，以AB為腰作等腰△ABF，AB＝AF，AE平分∠DAF交DC于點G，交BF的延長線于點E，連接DE．若BF＝2，則DG＝ 1542 ．
【分析】先證明△AEF≌△AED（SAS），再通過角度計算得出∠AEM是等腰直角三角形，求出EF的長度，最后利用勾股定理和射影定理，得出DG的長度．
【解答】解：設(shè)∠CBE＝x，則∠ABF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠AFE＝90°+x，∠BAF＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x，
∵AF＝AB＝AD，AE＝AE，∠EAF＝∠EAD＝45°﹣x，
∴△AEF≌△AED（SAS），
∴∠ADE＝∠AFE＝90°+x，
∴∠CDE＝x，
∴∠DEB＝90°，
∴∠AED＝∠AEB＝45°，
過點A作AM⊥BE于點M，過點D作DN⊥AE于點N，
∴∠EAM＝45°﹣x+x＝45°，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∵AM=AB2?BM2=7，
∴EM＝AM＝7，
∴EF＝6，
∴DE＝EF＝6，
∴DN=22DE=32，
∴AN=AD2?DN2=42，
由射影定理得：NG=942，
∴DG=DN2+NG2=1542，
故答案為：1542．
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三．解答題（共6小題）
19．（2024?廣安）如圖，菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點，BE＝BF，求證：∠DEF＝∠DFE．
【分析】由菱形的性質(zhì)推出AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C，而BE＝BF，得到AE＝CF，由SAS推出△DAE≌△DCF，得到DE＝DF，因此∠DEF＝∠DCF．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C，
∵BE＝BF，
∴AB﹣BE＝BC﹣BF，
∴AE＝CF，
在△DAE和△DCF 中，
DA=DC∠A=∠CAE=CF，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE．
【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由菱形的性質(zhì)推出△DAE≌△DCF，得到DE＝DF．
20．（2024?哈爾濱）四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AD∥BC，OA＝OC，AB＝BC．
（1）如圖1，求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）如圖2，AB＝AC，CH⊥AD于點H，交BD于點E，連接AE，點G在AB上，連接EG交AC于點F，若∠FEC＝75°，在不添加任何輔助線的情況下，直接寫出四條與線段CE相等的線段（線段CE除外）．
【分析】（1）利用菱形的判定定理解答即可；
（2）利用菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，等腰三角形的判定定理和等腰直角三角形的判定定理解答即可．
【解答】（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△ADO和△CBO中，
∠ADO=∠CBO∠AOD=∠COBOA=OC，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴OD＝OB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB＝BC，
∴四邊形ABCD是菱形；
（2）解：與線段CE相等的線段有：AE，DE，AG，CF．理由：
由（1）知：四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，
∴△ABC和△ADC為等邊三角形，
∵CH⊥AD，
∴AH＝DH，
即CH為AD的垂直平分線，
∴AE＝DE．
同理：CE＝AE，
∴AE＝DE＝EC．
∵△ADC為等邊三角形，CH⊥AD，
∴∠ACH=12∠ACD＝30°，
∵∠FEC＝75°，
∴∠EFC＝180°﹣∠ACH＝∠FEC＝75°，
∴∠EFC＝∠FEC，
∴CF＝CE．
∵△ABC和△ADC為等邊三角形，
∴∠BAC＝∠CAD＝60°，
∵CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ECA＝120°，
∴∠AEG＝∠AEC﹣∠FEC＝45°，
∴△AGE為等腰直角三角形，
∴AE＝AG，
∴AG＝EC．
【點評】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全是三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等邊三角形的判定與性質(zhì)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（2024?蘭州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）若BC＝4，CE＝3，求EF的長．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°，由CE∥AD得∠ECD＝∠ADB＝90°，由AE⊥AD得∠EAD＝90°，則∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，由此即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得BD＝CD=12BC＝2，根據(jù)四邊形ADCE是矩形，則AE＝CD＝2，∠AEC＝90°，進而可在Rt△AEC中求出AC=13，然后根據(jù)三角形的面積公式可求出EF的長．
【解答】（1）證明：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵CE∥AD，
∴∠ECD＝∠ADB＝90°，
∵AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，
∴四邊形ADCE是矩形；
（2）解：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，BC＝4，
∴BD＝CD=12BC＝2，
由（1）可知：四邊形ADCE是矩形，
∵AE＝CD＝2，∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，AE＝2，CE＝3，
由勾股定理得：AC=AE2+CE2=13，
∵EF⊥AC，
由三角形的面積公式得：S△AEC=12AC?EF=12AE?CE，
∴EF=AE?CEAC=2×313=61313．
【點評】此題主要考查了矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運用勾股定理及三角形的面積公式進行計算是解決問題的關(guān)鍵．
22．（2024?青島）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，且BE＝DF．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AB＝BO，當(dāng)∠ABE等于多少度時，四邊形ABCD是矩形？請說明理由，并直接寫出此時BCAB的值．
【分析】（1）判定△ABE≌△CDF（AAS），推出AB＝CD，而AB∥CD，即可證明四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）判定△AOB是等邊三角形，得到AO＝BO，∠BAO＝60°，由平行四邊形的性質(zhì)推出AC＝2AO，BD＝2OB，得到AC＝BD，即可證明四邊形ABCD是矩形，由銳角的正切定義得到tan∠BAC=BCAB=3．
【解答】（1）證明：∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）解：當(dāng)∠ABE等于30度時，四邊形ABCD是矩形，理由如下：
∵AB＝BO，BE⊥AO，
∴∠ABO＝2∠ABE＝60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AO＝BO，∠BAO＝60°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AC＝2AO，BD＝2OB，
∴AC＝BD，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴tan∠BAC＝tan60°=BCAB=3．
【點評】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形當(dāng)判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是判定△ABE≌△CDF（AAS），推出AB＝CD；判定△AOB是等邊三角形，得到AO＝BO，由平行四邊形的性質(zhì)推出AC＝BD，由銳角的正切得到tan∠BAC=BCAB=3．
23．（2024?徐州）已知：如圖，四邊形ABCD為正方形，點E在BD的延長線上，連接EA、EC．（1）求證：△EAB≌△ECB；
（2）若∠AEC＝45°，求證：DC＝DE．
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，然后根據(jù)全等三角形的判定定理進行證明即可；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，求出∠CED和∠DCE，然后進行證明即可．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
在△EAB和△ECB中，
AB=BC∠ABE=∠CBEBE=BE，
∴△EAB≌△ECB（SAS）；
（2）∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BDC=12∠CDA=45°，
∵△EAB≌△ECB，∠AEC＝45°，
∴∠CED=∠AED=12∠AEC=22.5°，
∵∠BDC＝∠CED+∠DCE＝45°，
∴∠DCE＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠CED＝∠DCE，
∴DC＝DE．
【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確識別圖形，理解角與角之間的關(guān)系，熟練找出△EAB和△ECB的全等條件．
24．（2024?甘肅）【模型建立】
（1）如圖1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB＝BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式寫出線段AE，DE，CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【模型應(yīng)用】
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在對角線BD和邊CD上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式寫出線段BE，AD，DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【模型遷移】
（3）如圖3，在正方形ABCD中，點E在對角線BD上，點F在邊CD的延長線上，AE⊥EF，AE＝EF．用等式寫出線段BE，AD，DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）證明△ABE≌△BCD（AAS），即可得出DE+CD＝AE；
（2）證明Rt△AEM≌Rt△FEN（HL），即可得出AD=2BE+DF；
（3）證明△HAE≌△GEF（AAS），即可得出AD=2BE?DF．
【解答】解：（1）DE+CD＝AE，理由如下：
∵CD⊥BD，AE⊥BD，AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠D＝∠AEB＝90°，
∴∠ABE+∠CBD＝∠C+∠CBD＝90°，
∴∠ABE＝∠C，
∵AB＝BC，
∴△ABE≌△BCD（AAS），
∴BE＝CD，AE＝BD，
∴DE＝BD﹣BE＝AE﹣CD，
∴DE+CD＝AE；
（2）AD=2BE+DF，理由如下：
過E點作EM⊥AD于點M，過E點作EN⊥CD于點N，如圖，
∵四邊形ABCD是正方形，BD是正方形的對角線，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，BD平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴2AD=2CD=BD，
∴DE=BD?BE=2AD?BE，
∵EN⊥CD，EM⊥AD，
∴EM＝EN，
∵AE＝EF，
∴Rt△AEM≌Rt△FEN（HL），
∴AM＝NF，
∵EM＝EN，EN⊥CD，EM⊥AD，∠ADC＝90°，
∴四邊形EMDN是正方形，
∴ED是正方形EMDN對角線，MD＝ND，
∴MD=DN=22DE，NF＝ND﹣DF＝MD﹣DF，
∴NF=AM=AD?MD=AD?22DE，NF=22DE?DF，
∴AD?22DE=22DE?DF，
∴AD=2DE?DF，
∵DE=2AD?BE，
∴AD=2(2AD?BE)?DF，
∴AD=2BE+DF；
（3）AD=2BE?DF，理由如下：
過A點作AH⊥BD于點H，過F點作FG⊥BD，交BD的延長線于點G，如圖，
∵AH⊥BD，F(xiàn)G⊥BD，AE⊥EF，
∴∠AHE＝∠G＝∠AEF＝90°，
∴∠AEH+∠HAE＝∠AEH+∠FEG＝90°，
∴∠HAE＝∠FEG，
∵AE＝AF，
∴△HAE≌△GEF（AAS），
∴HE＝FG，
∵在正方形ABCD中，∠BDC＝45°，
∴∠FDG＝∠BDC＝45°，
∴∠DFG＝45°，
∴△DFG是等腰直角三角形，
∴FG=22DF，
∴HE=FG=22DF，
∵∠ADB＝45°，AH⊥HD，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴HD=22AD，
∴DE=HD?HE=22AD?22DF，
∴BD?BE=DE=22AD?22DF，
∵BD=2AD，
∴2AD?BE=22AD?22DF，
∴AD=2BE?DF．
【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，題目難度中等，作出合理的輔助線，靈活證明三角形的全等，并準(zhǔn)確表示出各個邊之間的數(shù)量關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
C
D
A
B
A
D
B

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