2025年中考數(shù)學三輪沖刺：相交線與平行線相關(guān)問題提分刷題練習題（含答案解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，若F在之間，，平分，若，求與的數(shù)量關(guān)系．
2．已知，點在上，點在上，點為射線上一點．
(1)【基礎(chǔ)問題】如圖1，試說明：．（完成圖中的填空部分）
證明：過點作直線，
又，
（___________）
，
___________．
，
___________（___________）
．
(2)【類比探究】如圖2，當點在線段延長線上時，請寫出三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
(3)【應用拓展】如圖3，平分交于點，且，直接寫出的度數(shù)為___________（用含的式子表示）．
3．如圖，直線相交于點，過點作射線，作射線平分．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若的度數(shù)比的度數(shù)大，求的度數(shù)．
4．如圖，，定點，分別在直線，上，在平行線，之間有一動點，滿足．
(1)試問，，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？
解：由于點是平行線，之間有一動點，因此需要對點的位置進行分類討論：如圖1，當點在的左側(cè)時，，，滿足數(shù)量關(guān)系為______________________，如圖2，當點在的右側(cè)時，，，滿足數(shù)量關(guān)系為______________________．
(2)如圖3，，分別平分和，且點在左側(cè)．
①猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②如圖4，若與的角平分線交于點，與的角平分線交于點，與的角平分線交于點；此次類推，則與滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出結(jié)果）
5．如圖，在平面直角坐標系中，點，，，且滿足，P點從點A出發(fā)沿x軸正方向以每秒2個單位長度的速度移動，點Q從點O出發(fā)沿y軸負方向以每秒1個單位長度勻速運動．
(1)點A的坐標是________，點B的坐標是________，點C的坐標是________．
(2)在點P，Q運動的過程中，連接，，使三角形的面積是三角形面積的4倍，求出點P的坐標；
(3)在點P，Q運動的過程中，當時，請?zhí)骄亢偷臄?shù)量關(guān)系，并說明理由．
6．如圖，直線，一副三角尺，中，，，，．
(1)若將三角尺如圖①擺放，當平分時，則______．
(2)若將三角尺和三角尺如圖②擺放，的頂點恰好落在直線上，三角尺的一邊在直線上，且邊與邊在同一直線上，作和的平分線交于點，求的度數(shù)．
(3)若圖③中三角尺固定，將三角尺繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖③），旋轉(zhuǎn)到邊與直線首次重合時停止旋轉(zhuǎn)，在這旋轉(zhuǎn)的過程中，當邊與三角尺的一邊平行時，請直接寫出的度數(shù)．
7．【閱讀理解】兩條平行線間的拐點問題經(jīng)?？梢酝ㄟ^做一條直線的平行線進行轉(zhuǎn)化．
例如：如圖1，直線，求證：
（1）把下面的解答過程補充完整，并填到相應的序號內(nèi)．
解：過點作直線，
①_______，
（已知），，
②_______，
③_______，
，
．
（2）如圖2，直線，若，，則______．
【方法運用】
（3）如圖3，直線，點在的上方，，，之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．
【聯(lián)想拓展】
（4）如圖4，已知，的平分線和的平分線交于點，請你用含有的式子表示的度數(shù)，直接寫出結(jié)果．
8．圖形變換可以幫助我們認識圖形．
(1)把圖①中等腰三角形紙片沿著頂角平分線折疊得到圖②，由與重合，可知：___________，___________；
(2)如圖③，將沿邊的垂直平分線翻折得到，點對應點，點對應點，再將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，當點恰好落在的延長線上時，判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．
(3)如圖④，中，，，點在上，過點作交于點，將所截沿過點的某射線翻折得到．直接寫出當?shù)哪骋贿吪c平行時的大?。ㄖ粚懗鰹殇J角時的大小即可，結(jié)果用含用的代數(shù)式表示）
9．經(jīng)過平行線中的拐點作平行線是解決與平行線有關(guān)問題的常用思路．
(1)如圖1．，，，則______；
(2)如圖2．，點在直線上方，探究、、的數(shù)量關(guān)系，并證明．
(3)如圖3．，點在直線上方，的角平分線所在的直線和的角平分線所在的直線交于點（點在直線的下方）．請寫出和之間的數(shù)量關(guān)系．并證明．
10．如圖，已知，、分別在、上，點在、之間，連接、．
(1)當，平分，平分時：
①如圖，若，則的度數(shù)為______，則的度數(shù)為；
②如圖，在的下方有一點，平分，平分，求的度數(shù)；
(2)如圖，在的上方有一點，若平分．線段的延長線平分，則當時，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．
11．在一副三角尺中，，，
(1)將一副三角尺按如圖1所示方式擺放（兩條直角邊在同一條直線上）
①聯(lián)結(jié)，測得，則的度數(shù)是多少？
②將三角尺繞點P以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當三角尺的邊與射線重合時停止運動，經(jīng)歷多久使得其中一塊三角尺的直角邊與另一塊三角尺的斜邊平行？
(2)若將這幅三角尺按照如圖2所示方式擺放（兩條斜邊在同一條直線上）．三角尺繞點P以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時三角尺以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當三角尺的邊與射線重合時兩塊三角尺都停止運動，運動______秒，使得其中一塊三角尺的直角邊與另一塊三角尺的斜邊平行？（只寫答案）
12．如圖，，現(xiàn)將一塊含的三角板按如圖1放置，，，使點、分別在直線、上，設(shè)．
(1)求的度數(shù)；
(2)如果的角平分線交直線于點，如圖2．
①當時，求的度數(shù)；
②在①的條件下，如果點是射線上的一點，將三角板繞著點以每秒的速度進行順時針旋轉(zhuǎn)，同時射線繞著點以每秒的速度進行順時針旋轉(zhuǎn)，射線旋轉(zhuǎn)一周后停止轉(zhuǎn)動，同時三角板也停止轉(zhuǎn)動．當旋轉(zhuǎn)多少時間時，與的一邊平行？
參考答案
1．(1)見解析
(2)
【分析】本題主要查了平行線的判定和性質(zhì)，有關(guān)角平分線的計算：
（1）過點E作射線平行于直線，可得，從而得到，即可求證；
（2）由（1）得，，，再由，可得，然后根據(jù)平分，可得，即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖，過點E作射線平行于直線，
因為，
所以，
所以，
所以．
（2）解：由（1）得，，，
因為，
所以，
因為，
所以
所以，
因為平分，
所以．
所以．
所以，與的數(shù)量關(guān)系是：．
2．(1)平行于同一條的直線的兩條直線平行；；；兩直線平行，內(nèi)錯角相等
(2)，見解析
(3)
【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明即可；
（2）如圖所示，過點作直線，則，，由即可求解；
（3）如圖所示，過點作直線，設(shè)交于點，根據(jù)平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)得到，，，根據(jù)題意，則，由即可求解．
【詳解】（1）證明：過點作直線，
又，
（平行于同一條的直線的兩條直線平行），
，
，
，
（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
．
故答案為：平行于同一條的直線的兩條直線平行；；；兩直線平行，內(nèi)錯角相等
（2）解：
如圖所示，過點作直線，
∵，
∴，
∴，，
∵；
（3）解：如圖所示，過點作直線，設(shè)交于點，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
故答案為：．
3．(1)
(2)
【分析】本題主要考查角平分線的定義，垂直定義，角的和差計算，掌握以上知識，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．
（1）根據(jù)垂直的定義得到，由角平分線的定義得到，根據(jù)平角的計算得到，由此即可求解；
（2）根據(jù)題意得到，根據(jù)平角得到，由此即可求解．
【詳解】（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：的度數(shù)比的度數(shù)大，
，
由（1）得，
，
．
4．(1)；
(2)①；②．
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
（1）過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)分別求解即可；
（2）①根據(jù)角平分線的定義設(shè)，，再結(jié)合（1）所得數(shù)量關(guān)系求解即可；
②同①可得，，，……從而推出，即可得到答案．
【詳解】（1）解：如圖1，當點在的左側(cè)時，過點作，
，
，
，，
；
如圖2，當點在的右側(cè)時，
，
，
，，
，
；
（2）解：①，分別平分和，
設(shè)，，
，，
由（1）可知，，，
，，
，
，
；
②與的角平分線交于點，
，，
，
同理可得，，，……
則，
，
，
，
．
5．(1)，，
(2)點的坐標為或
(3)或，見解析
【分析】本題考查了三角形的面積計算、坐標與圖形性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理．
（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)分別求出a、b，即可得點A、B、C的坐標；
（2）過點作于點，分兩種情況討論：①如圖，當點在點上方時；②如圖，當點在點下方時；分別根據(jù)三角形的面積公式求出，得到點P的坐標；
（3）分點Q在點C的上方、點Q在點C的下方兩種情況，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，，
解得，，，
則，，，
故答案為：，，；
（2）解：如圖1，過點作于點，
設(shè)時間經(jīng)過秒，三角形的面積是三角形面積的4倍，則，，，，
三角形PAB的面積是：，
分以下兩種情況：
①如圖，當點在點上方時，
，
三角形的面積是：，
，
解得，
，
，
點的坐標為；
②如圖，當點在點下方時，
，
三角形的面積是：，
，
解得，
，
，
點的坐標為，
綜上所述，點的坐標為或；
（3）解：或．理由如下：
過點作，
，
，，
，
分以下兩種情況討論：
①如圖，當點在點上方時，
有，
；
②如圖，當點在點下方時，
有，
，
，
綜上所述，或．
6．(1)
(2)
(3)或或．
【分析】（1）根據(jù)得平分得，再根據(jù)得，然后根據(jù)即可求解；
（2）過點作交于，過點作，設(shè)，，由角平分線性質(zhì)得，，證明，則，，，，進而得，，再根據(jù)角平分線性質(zhì)得，則，由此得，結(jié)合，由此可得到答案；
（3）根據(jù)題意分三種情況討論，分別根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：平分，
；
（2）解：過點作交于，過點作，如圖2所示：

設(shè)，
平分
，
，，
，
，，，
平分
；
（3）解：分三種情況：
當時，如圖，
此時，
，
∵
∴
∴；
②當時，如圖，
，
；
③當時，如圖，
延長交于，延長交于，
，
，
∴；
綜上所述，的度數(shù)為或或．
【點睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換及其性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，理解圖形的旋轉(zhuǎn)變換及其性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵，分類討論是解決問題的難點，也是易錯點．
7．（1）見解析（2）（3），理由見詳解（4）
【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可；
（2）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可；
（3）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可；
（4）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線定義求解即可．
【詳解】（1）解：過點作直線，
，
（已知），，
，
，
，
．
（2）如圖，過點作，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案為：
（3），
理由如下：如圖，過點作，
，
，，
，
，
；
（4）如圖所示，
由（2）知，，
，
，
的平分線和的平分線交于點，
，，
，
由（1）知：．
8．(1)；
(2)，，理由見解析；
(3)或或或或．
【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求解；
（2）結(jié)合題意畫出圖形，根據(jù)折疊的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出邊、角之間的關(guān)系，根據(jù)平行線的判定定理可得答案；
（3）分三種情況：①當時，②當時，③當時，結(jié)合題意畫出圖形，根據(jù)折疊的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)逐一求解即可．
【詳解】（1）解：由折疊的性質(zhì)可得：，；
故答案為：；；
（2）解：，，
理由：將沿邊的垂直平分線翻折得到，點對應點，點對應點，
，，
將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
，，，
，
當點恰好落在的延長線上時，是等腰三角形，
，
，
；
（3）解：①當時，如圖：
，
，，
；
②Ⅰ當時，如圖：
此時、共線，
，由折疊可得，，
中，，
，
；
Ⅱ當時，如圖：
；
③Ⅰ當時，如圖：
，
，
，
，
，
Ⅱ當時，如圖：
，
，
，
綜上所述，當?shù)哪骋贿吪c平行時的大小為
或或或或．
9．(1)
(2)，見解析
(3)，見解析
【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線等知識．熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，明確角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（1）如圖1，過作，則，由，可得，則，根據(jù)，計算求解即可；
（2）如圖2，過作，則，同理可得，，則，即可作答．
（3）由平分，平分，可得，設(shè)，則，，，如圖3，過作，過作，由（2）可知，，由，可得，同理（1）可得，則，由，可得，整理作答即可；
【詳解】（1）解：如圖1，過作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）解：；證明如下；
如圖2，過作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）解：，證明如下；
∵平分，平分，
∴，
設(shè)，則，，，
如圖3，過作，過作，
由（2）可知，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
10．(1)①；；②；
(2)
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）①如圖，分別過點G、P作，根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義求解即可；②如圖，過點Q作，根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義求解即可；
（2）如圖，過點O作，則，設(shè)，可得，進而說明，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得，進而根據(jù)，得到．
【詳解】（1）解：①如圖，分別過點G、P作，
，
，
∴
，
，
同理可得: ，
∵，
∴，
∴，
∵平分平分；
，
∴．
②如圖，過點Q作，
∵平分平分，
，，
設(shè)，
∵，，
∴，
，
∵，
，
，
，
，
由（1）可知，
∴．
（2）解：如圖，在的上方有一點O，平分，線段的延長線平分，
設(shè)H為線段的延長線上一點，則，，
設(shè)，,，
如圖，過點O作，則，
，，
，
，
由（1）可知：，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴．
11．(1)①；②10秒或15秒
(2)6或9或42或45
【分析】（1）①先由平角的意義求出，再對由三角形內(nèi)角和定理即可求解；
②分兩種情況討論：當和，作出圖形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)進行角度和差計算求出旋轉(zhuǎn)角即可；
（2）設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒，由題意得，，，然后分四種情況討論，當當時，得到；當時，得到；當時，得到；當時，得到，分別建立起關(guān)于時間的方程求解即可．
【詳解】（1）解：①∵，，
∴，
∴；
②當時，
則，
∴，
∴（秒）；
當時，
∵，
∴，
∵旋轉(zhuǎn)，
∴
∵
∴，
∴
∴（秒），
綜上所述：當10秒或15秒時，其中一塊三角尺的直角邊與另一塊三角尺的斜邊平行；
（2）解：設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒，由題意得，，，
當時，
則，
∵，
∴
解得：；
當時，
∴，
∵
∴，
解得：；
當時，
則，
∵，
∴，
解得：；
當時，
則，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
解得：，
綜上所述：運動時間為6或9或42或45秒，使得其中一塊三角尺的直角邊與另一塊三角尺的斜邊平行．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角的和差計算，以及一元一次方程的應用，難度較大，注意分類討論思想的應用，
12．(1)
(2)①；②當旋轉(zhuǎn)20秒或40秒或60秒或80秒時，與的一邊平行．
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，一元一次方程的應用，添加輔助線是解題的關(guān)鍵，第3問是動點問題，找到模型即可解答．
（1）先作輔助線構(gòu)造平行，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可解答；
（2）①利用兩次平行線的性質(zhì)，找到等量關(guān)系，②動點問題，先把圖形畫出來，然后數(shù)形結(jié)合找到角之間的數(shù)量關(guān)系，列出方程，從而求出t．
【詳解】（1）解：如圖1，過點G，作，
，
，
，，
，
；
（2）解：①，
，
平分，
，
又，
，，
，
解得；
【點睛】②如圖2，當時，延長至點Q，
，
，
，
，
由題意知，，
由①得，
，
解得：；
當時，
，
由題意知得，
∴，
解得；
如圖4，當時，延長交于點T，過點作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
如圖4，當（第二次）時，
則，
∴，
解得：；
綜上，當旋轉(zhuǎn)20秒或40秒或60秒或80秒時，與的一邊平行．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多