一、單選題（本大題共8小題）
1．某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對(duì)立的是（ ）
A．至多一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶D．兩次都沒中靶
2．一個(gè)公司共有名員工，下設(shè)一些部門，要采用分層抽樣方法從全體員工中抽取一個(gè)容量為的樣本.已知某部門有名員工，那么從這一部門抽取的員工人數(shù)為（ ）
A．3B．5C．8D．10
3．已知直線，直線和平面，則下列四個(gè)命題中正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
4．為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)：將6灌這種飲料裝一箱，每箱中都放置2灌能中獎(jiǎng)的飲料.若從一箱中隨機(jī)抽出2灌，能中獎(jiǎng)的概率為（ ）
A．B．C．D．
5．樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，則樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)，方差分別為（ ）
A．9，4B．9，2C．4，1D．2，1
6．如圖，一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為，去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，平均數(shù)為，方差為，則（ ）
A．，B．，C．，D．，
7．為做好“甲型流感”傳染防控工作，某校堅(jiān)持每日測溫報(bào)告，以下是高三一班，二班各10名同學(xué)的體溫記錄（從低到高）：
高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（單位：℃），
高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（單位：℃）
若這兩組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)、第90百分位數(shù)都分別對(duì)應(yīng)相等，則為（ ）
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
8．為了迎接2025年第九屆亞冬會(huì)的召開，某班組織全班學(xué)生開展有關(guān)亞冬會(huì)知識(shí)的競賽活動(dòng)．已知該班男生35人，女生25人．根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，男生組成績和女生組成績的方差分別為，該班成績的方差為，則下列結(jié)論中一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列抽樣方法不是簡單隨機(jī)抽樣的是（ ）
A．在機(jī)器傳送帶上抽取30件產(chǎn)品作為樣本
B．從平面直角坐標(biāo)系中抽取5個(gè)點(diǎn)作為樣本
C．箱子里共有100個(gè)零件，今從中選取10個(gè)零件進(jìn)行檢驗(yàn)，在抽樣操作時(shí)，每次任意地拿出1個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)后不再把它放回箱子里，直到抽取10個(gè)零件為止
D．某可樂公司從倉庫中的1000箱可樂中一次性抽取20箱進(jìn)行質(zhì)量檢查
10．有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測試中各射靶次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：
甲
乙
在這次射擊中，下列說法正確的是（ ）
A．甲成績的極差比乙成績的極差大B．甲成績的眾數(shù)比乙成績的眾數(shù)大
C．甲的成績沒有乙的成績穩(wěn)定D．甲成績的中位數(shù)比乙成績的中位數(shù)大
11．下列敘述正確的是（ ）
A．互斥事件不一定是對(duì)立事件，但是對(duì)立事件一定是互斥事件
B．從裝有個(gè)紅球和個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取個(gè)球，至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球是兩個(gè)互斥而不對(duì)立的事件
C．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率為，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿?br>D．在件產(chǎn)品中，有件一等品和件二等品，從中任取件，那么事件“至多一件一等品”的概率為
三、填空題（本大題共3小題）
12．從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示.

（1）直方圖中x的值為 ；
（2）在被調(diào)查的用戶中，用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為 .
13．一家水果店的店長為了解本店水果的日銷售情況，記錄了過去30天蘋果的日銷售量（單位：），結(jié)果如下：
83，96，107，91，70，75，94，80，80，100，75，99，117，89，74，
94，84，85，101，87，93，85，107，99，55，97，86，84，85，104．
一次進(jìn)貨太多，水果會(huì)變得不新鮮；進(jìn)貨太少，又不能滿足顧客的需求．店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能地滿足顧客的需求（在100天中，大約有80天可以滿足顧客的需求），則每天應(yīng)該進(jìn) 千克的蘋果．
14．二戰(zhàn)期間，盟軍統(tǒng)計(jì)學(xué)家將繳獲的德軍坦克序列號(hào)作為樣本，用樣本估計(jì)總體的方法得出德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù).假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)是，繳獲的該月生產(chǎn)的輛坦克序列號(hào)從小到大為，即最大序列號(hào)為，且繳獲的坦克是從所生產(chǎn)的坦克中隨機(jī)獲取的，因?yàn)樘箍说男蛄刑?hào)是連續(xù)編號(hào)的，所以繳獲坦克的序列號(hào)，相當(dāng)于從中隨機(jī)抽取的個(gè)整數(shù)，這個(gè)數(shù)將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，其中前個(gè)區(qū)間已知，最右邊的區(qū)間未知（由于未知）.由于這個(gè)數(shù)是隨機(jī)抽取的，所以可以用前個(gè)區(qū)間的平均長度來估計(jì)所有個(gè)區(qū)間的平均長度，進(jìn)而得到的估計(jì)值.例如，某月盟軍繳獲坦克的序列號(hào)是，則統(tǒng)計(jì)學(xué)家利用上述方法估計(jì)德軍該月生產(chǎn)的坦克數(shù)約為 輛.
四、解答題（本大題共5小題）
15．高二年級(jí)有男生490人，女生510人，張華按男生、女生進(jìn)行分層，通過分層隨機(jī)抽樣的方法，得到男生、女生的平均身高分別為170.2cm和160.8cm.
（1）如果張華在各層中按比例分配樣本，總樣本量為100，那么在男生、女生中分別抽取了多少名？在這種情況下，請估計(jì)高二年級(jí)全體學(xué)生的平均身高.
（2）如果張華從男生、女生中抽取的樣本量分別為30和70，那么在這種情況下，如何估計(jì)高二年級(jí)全體學(xué)生的平均身高更合理？
16．拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，記下骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，若用x表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，用y表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用（x，y）表示一次試驗(yàn)的結(jié)果，設(shè)A=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和等于8”，B=“至少有一顆骰子的點(diǎn)數(shù)為5”，C=“紅色骰子上的點(diǎn)數(shù)大于4”.
（1）求事件A，B，C的概率；
（2）求的概率.
17．如圖所示，已知多面體的底面是邊長為6的菱形，底面，且．
(1)證明：平面；
(2)若，求異面直線與所成角的余弦值．
18．棉花是我國紡織工業(yè)重要的原料.新疆作為我國最大的產(chǎn)棉區(qū)，對(duì)國家棉花產(chǎn)業(yè)發(fā)展、確保棉糧安全以及促進(jìn)新疆農(nóng)民增收，實(shí)現(xiàn)鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略都具有重要意義動(dòng)態(tài)，準(zhǔn)確掌握棉花質(zhì)量現(xiàn)狀，可以促進(jìn)棉花產(chǎn)業(yè)健康和穩(wěn)定的發(fā)展.棉花的纖維長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo).在新疆某地收購的一批棉花中隨機(jī)抽測了100根棉花的纖維長度（單位：），得到樣本的頻數(shù)分布表如下：
(1)在圖中作出樣本的頻率分布直方圖；
(2)根據(jù)（1）作出的頻率分布直方圖求這一棉花樣本的眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù)，并對(duì)這批棉花的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)；
(3)從抽取的100根棉花的纖維長度在及的棉花中用分層抽樣的方法抽取5根，再從抽取的5根中隨機(jī)抽取2根，求2根中恰有1根的纖維長度在的概率.
19．我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出.某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理制度，即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解全市居民用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民的月均用水量（單位:噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5]，（0.5，1]，…，（4，4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求a的值；
(2)若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值；
(3)已知平價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為4元/噸，議價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為8元/噸.當(dāng)時(shí)，估計(jì)該市居民的月平均水費(fèi).（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）
參考答案
1．【答案】D
【分析】利用對(duì)立事件的定義判斷可得出結(jié)論.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，“至多一次中靶”包含：一次中靶、兩次都不中靶，
“至少一次中靶”包含：一次中靶、兩次都中靶，A選項(xiàng)不滿足條件；
對(duì)于B項(xiàng)，“兩次都中靶”與“至少一次中靶”是包含關(guān)系，B選項(xiàng)不滿足條件；
對(duì)于C項(xiàng)，“只有一次中靶”與“至少一次中靶”是包含關(guān)系，C選項(xiàng)不滿足條件；
對(duì)于D項(xiàng)，“兩次都沒有中靶”與“至少一次中靶”對(duì)立，D選項(xiàng)滿足條件.
故選D.
2．【答案】B
【分析】根據(jù)分層抽樣的概念即可計(jì)算.
【詳解】設(shè)一部門抽取的員工人數(shù)為，
則，解得.
故選B.
3．【答案】C
【分析】根據(jù)直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)分析可得答案.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若，，則或與異面，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，若，，則或與異面或與相交，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，若，過作平面，使得，則，
因?yàn)?，，則，又，則，故C正確；

對(duì)于D項(xiàng)，若，，則或或與相交，故D錯(cuò)誤.
故選C.
4．【答案】D
【分析】間接法，中獎(jiǎng)的概率兩灌都不中獎(jiǎng)的概率即可計(jì)算.
【詳解】6灌飲料機(jī)抽出2灌的種類有,
兩灌都不中獎(jiǎng)的種類有，
兩灌都不中獎(jiǎng)的概率，
故中獎(jiǎng)的概率為.
故選D.
5．【答案】A
【分析】由平均值、方差的性質(zhì)求新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差．
【詳解】由，得樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，
由，得樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為.
故選A.
6．【答案】D
【分析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合平均數(shù)的定義運(yùn)算求解，并根據(jù)方差的意義理解判斷.
【詳解】由題意可得：，則，
故，
因?yàn)槭遣ǚ畲蟮膬蓚€(gè)點(diǎn)的值，則去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，整體波動(dòng)性減小，
所以.
故選D.
7．【答案】C
【詳解】由，可得第25百分位數(shù)分別為和，則；
由，可得第90百分位數(shù)分別為和，
則，解得；
故.故選C.
8．【答案】D
【分析】借助分層抽樣的方差公式計(jì)算即可得.
【詳解】設(shè)該班男生組成績和女生組成績的平均分分別為，，兩個(gè)班的總的平均分為，
則
，
故選D.
9．【答案】ABD
【分析】根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣的概念即得.
【詳解】A項(xiàng)不是，因?yàn)閭魉蛶系漠a(chǎn)品數(shù)量不確定；
B項(xiàng)不是，因?yàn)閭€(gè)體的數(shù)量無限；
C項(xiàng)是，因?yàn)闈M足簡單隨機(jī)抽樣的定義；
D項(xiàng)不是，因?yàn)樗皇侵饌€(gè)抽取的．
故選ABD.
10．【答案】AC
【分析】利用極差的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用眾數(shù)的定義可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用平均數(shù)和方差可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用中位數(shù)的定義可判斷D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】由題意可知，對(duì)于選項(xiàng)A，甲成績的極差為，乙成績的極差為，
所以甲成績的極差比乙成績的極差大，所以選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，甲成績的眾數(shù)為，乙成績的眾數(shù)為，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，甲成績的平均數(shù)為，
方差為，
乙成績的平均數(shù)為，
方差為，
則甲成績的方差大于乙成績的方差，即甲的成績沒有乙的成績穩(wěn)定，所以選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，甲成績的中位數(shù)為，乙成績的中位數(shù)為，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選AC.
11．【答案】ACD
【分析】由互斥和對(duì)立事件的概念可判斷A，B項(xiàng)；根據(jù)概率的基本性質(zhì)可判斷C，D項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，它可以同時(shí)不發(fā)生，對(duì)立事件是必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件，所以A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)：由給定條件知，至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球這兩個(gè)事件都含有一紅一黑的兩個(gè)球這一基本事件，即它們不互斥，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)：甲不輸?shù)氖录窍鲁珊推宓氖录c甲獲勝的事件和，它們互斥，
則甲不輸?shù)母怕蕿?，所以C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)：5件產(chǎn)品中任取兩件有10個(gè)基本事件，
其中“至多一件一等品”的對(duì)立事件為“恰兩件一等品”，有3個(gè)基本事件，
從而所求概率為，所以D正確．
故選ACD．
12．【答案】0.0044；70.
【解析】（1）由小矩形面積和為1，可求得的值；
（2）計(jì)算用電量落在區(qū)間內(nèi)的頻率，再乘以100.
【詳解】（1）由，得.
（2）戶數(shù)為.
故答案為：0.0044；70.
【思路導(dǎo)引】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，應(yīng)牢記在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積的綜合為1；頻數(shù)等于樣本容量乘頻率.
13．【答案】99.5
【分析】利用百分位數(shù)的定義進(jìn)行求解.
【詳解】過去30天蘋果的日銷售量按從低到高排列：
55，70，74，75，75，80，80，83，84，84，85，85，85，86，87，89，91，93，94，94，96，97，99，99，100，101，104，107，107，117
因?yàn)椋?br>所以第80百分位數(shù)：.
故答案為：99.5.
14．【答案】28.
【分析】依題意得，，所以，即可求解.
【詳解】由于用前個(gè)區(qū)間的平均長度估計(jì)所有個(gè)區(qū)間的平均長度，
而繳獲坦克的編號(hào)是，即，
所以，所以，
即統(tǒng)計(jì)學(xué)家利用上述方法估計(jì)德軍該月生產(chǎn)的坦克數(shù)約為28輛.
故答案為：28.
15．【答案】（1）男生49人，女生51人，平均身高165.4cm；（2）見解析.
【解析】（1）先計(jì)算抽樣比例，得到男生人數(shù)和女生人數(shù)，再計(jì)算平均身高得到答案.
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算公式計(jì)算得到答案.
【詳解】（1）抽取男生人數(shù)為，抽取女生人數(shù)為.
高二年級(jí)全體學(xué)生的平均身高估計(jì)為（cm）.
（2）仍按（1）方式進(jìn)行估計(jì)，即（cm）.
【方法總結(jié)】分層抽樣的定義：在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本.應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣.
16．【答案】（1）；；；（2）；.
【解析】(1)求出事件A，B，C的基本事件以及個(gè)數(shù)，利用古典概型的公式計(jì)算概率即可；
(2)求出事件的基本事件以及個(gè)數(shù)，得出，再由得出.
【詳解】該試驗(yàn)的樣本空間可表示為，共有36個(gè)樣本點(diǎn)
（1），有5個(gè)樣本點(diǎn)，所以；
，有11個(gè)樣本點(diǎn)，
所以.
，有12個(gè)樣本點(diǎn)，所以.
（2），有2個(gè)樣本點(diǎn)，所以；
所以.
【思路導(dǎo)引】本題主要考查了計(jì)算古典概型問題的概率.古典概率的定義與基本定義：1.定義：古典概率是指在等可能的條件下，隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能組成的樣本空間是有限的，且每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.基本特點(diǎn)：樣本空間的有限性；等可能性.
17．【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）利用平行關(guān)系，根據(jù)面面平行，證明線面平行；
（2）利用平行關(guān)系，結(jié)合異面直線所成角的定義，先構(gòu)成異面直線所成的角，再根據(jù)幾何關(guān)系求余弦值.
【詳解】（1）證明：如圖，因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以?br>平面平面，
平面．
平面平面，
平面．
又所以平面平面，
平面，
則平面．
（2）取的中點(diǎn)，連接，則，
則四邊形為平行四邊形，則，
又為異面直線與所成角或其補(bǔ)角．
連接，
為等邊三角形，則．
又因?yàn)椋?br>又因?yàn)椋?br>即異面直線與所成角的余弦值為．
【方法總結(jié)】證明線面平行的常用方法
(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))．
(2)利用線面平行的判定定理．
(3)利用面面平行的性質(zhì)定理．
18．【答案】(1)頻率分布直方圖見解析；
(2)答案見解析；
(3).
【分析】（1）將表格中的頻率都除以組距50，從而得到小矩形的高度，即可得答案；
（2）眾數(shù)是出現(xiàn)頻率最大的，中位數(shù)將小矩形面積分成相等兩部分，平均數(shù)小矩形底邊中點(diǎn)值乘以小矩形的面積后再相加，即可得答案；
（3）由分層抽樣的概念，在抽取2根，抽取3根，然后根據(jù)古典概型計(jì)算概率即可.
【詳解】（1）樣本的頻率分布直方圖如圖所示.
（2）由樣本的頻率分布直方圖，得眾數(shù)為（）；
前五組的頻率之和為，則中位數(shù)處于第六組，設(shè)中位數(shù)為，則
，解得，即中位數(shù)為；
設(shè)平均數(shù)為，則（），
所以平均數(shù)為.
所以這批棉花的眾數(shù)?中位數(shù)和平均數(shù)的估計(jì)值分別為275，252.5和222.
（3）在分組中抽取的根數(shù)為2，記為，
在分組中抽取的根數(shù)為3，記為，
所以這5根中隨機(jī)抽取2根的情況有共10種，
其中恰有1根的纖維長度在的情況有6種，
所以2根中恰有1根的纖維長度在的概率為.
19．【答案】(1)；
(2)；
(3)（元）.
【分析】（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)列方程，求出值即可；
（2）首先估算所在的區(qū)間，然后再用所有的頻率之和為即可求解．
（3）先求用水量和水費(fèi)的函數(shù)關(guān)系，由已知求出居民每月的水費(fèi)的頻率分布表,再求水費(fèi)的平均值即可.
【詳解】（1）由已知，
解得；
（2）因?yàn)榍?組的頻率之和是，
前5組的頻率之和為，
所以，
所以，
解得.
（3）設(shè)該市居民月均用水量為噸，相應(yīng)的水費(fèi)為元，
則y=，
即y=，
由題設(shè)條件及月均用水量的頻率分布直方圖，
得居民每月的水費(fèi)數(shù)據(jù)分組與頻率分布表如下：
根據(jù)題意，估計(jì)該市居民的月平均水費(fèi)為
（元）.纖維長度
頻數(shù)
4
8
10
10
16
40
12
頻率
0.04
0.08
0.10
0.10
0.16
0.40
0.12
組號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
分組









頻率
0.04
0.08
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