考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.
3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.
4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第四章.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析給定數(shù)列各項(xiàng)的特征，再求出符合意義的一個(gè)通項(xiàng)公式.
【詳解】數(shù)列分子都是1，分母依次為，則第n項(xiàng)的分母為，
所以數(shù)列，的一個(gè)通項(xiàng)公式是.
故選：B
2. 經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行的直線方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由與已知直線平行設(shè)出所求直線的一般式方程為，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)待定系數(shù)可得.
【詳解】與直線平行的直線的方程可設(shè)為，
又經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，
故所求直線方程為.
故選：C.
3. 拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出該拋物線的準(zhǔn)線方程.
【詳解】由題意知拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其準(zhǔn)線方程為．
故選：C．
4. 在等差數(shù)列中，若，則（ ）
A. 13B. 26C. 39D. 52
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得到，求得，再由，即可求解.
【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，解得，
所以．
故選：D．
5. 一條漸近線方程為，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意雙曲線的方程為，將點(diǎn)（，）代入計(jì)算可得.
【詳解】由題意設(shè)雙曲線的方程為，
將點(diǎn)（，）代入雙曲線方程得，
所以雙曲線的方程為，即.
故選：A.
6. 在等比數(shù)列中，，，則（ ）
A. B. C. 32D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則，
即，解得，
所以．
故選：C．
7. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足，若，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先將表示為，然后通過空間向量的加減以及數(shù)乘運(yùn)算逐步將表示為的線性組合，由此可得結(jié)果.
【詳解】由題意知
．
故選：C．
8. 設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列片斷和性質(zhì)即可得解.
【詳解】在等差數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，即，
設(shè)，則，于是，解得，所以．
故選：A
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知橢圓的長軸長等于20，離心率等于，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由長軸長以及離心率公式、平方關(guān)系即可得解.
【詳解】由橢圓的長軸長等于20，離心率等于，得，
所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是或.
故選：AC.
10. 已知向量，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由向量的模、數(shù)乘及數(shù)量積運(yùn)算分別求解可得.
【詳解】選項(xiàng)A，由題意，得，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，，
所以，
所以，故B正確；
選項(xiàng)C，，故C正確；
選項(xiàng)D，由，
因?yàn)?，所以，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A. 4是數(shù)列中的項(xiàng)B. 當(dāng)最大時(shí)，的值只能取5
C. 數(shù)列是等差數(shù)列D. 當(dāng)時(shí)，的最大值為11
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知數(shù)列是首項(xiàng)為20，公差為的等差數(shù)列，可得，即可知A正確；易知，利用二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)最大時(shí)，的值為5或6，故B錯(cuò)誤；由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，即，所以C正確；解不等式可得，所以可知D正確.
【詳解】由，得，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為20，公差為的等差數(shù)列，
則，
令，得，即，故A正確；
易知
利用二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)最大時(shí)，的值為5或6，故B錯(cuò)誤；
由，所以，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，故C正確；
令，則，解得，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為11，故D正確．
故選：ACD．
12. 某市為了改善城市中心環(huán)境，計(jì)劃將市區(qū)某工廠向城市外圍遷移，需要拆除工廠內(nèi)一個(gè)高塔，施工單位在某平臺(tái) 的北偏東 方向 處設(shè)立觀測點(diǎn) ，在平臺(tái) 的正西方向處設(shè)立觀測點(diǎn)，已知經(jīng)過 三點(diǎn)的圓為圓，規(guī)定圓 及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū).以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正東方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系. 經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn)，在平臺(tái) 的正南方向的處，有一輛小汽車沿北偏西方向行駛，則（ ）
A. 觀測點(diǎn)之間的距離是
B. 圓的方程為
C. 小汽車行駛路線所在直線的方程為
D. 小汽車會(huì)進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A，由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可驗(yàn)證；對(duì)于B，結(jié)合三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解圓的方程即可驗(yàn)證；對(duì)于C，由題意可知小汽車行駛路線所在直線的斜率以及它經(jīng)過點(diǎn)，由點(diǎn)斜式寫出直線方程驗(yàn)證即可；對(duì)于D，將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心坐標(biāo)，半徑，只需比較圓心到小汽車行駛路線所在直線的的距離和半徑即可.
【詳解】由題意, 得, 所以, 即觀測點(diǎn)之間的距離是 , 故錯(cuò)誤；
設(shè)圓的方程為 , 因?yàn)閳A 經(jīng)過 三點(diǎn),
所以 ，解得，
所以圓 的方程為 , 故 B 正確；
小汽車行駛路線所在直線的斜率為, 又點(diǎn)的坐標(biāo)是, 所以小汽車行駛路線所在直線的方程為, 故C正確；
圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為 , 圓心為, 半徑 ,
圓心到直線的距離,
所以直線與圓相交, 即小汽車會(huì)進(jìn)入安全預(yù)警區(qū), 故D正確.
故選：BCD.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由方程表示雙曲線的充要條件可得.
【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，
所以，解得或，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
14. 已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，，上頂點(diǎn)為，則直線，的斜率之積為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用橢圓性質(zhì)及兩點(diǎn)斜率公式計(jì)算即可.
【詳解】由題意知，，，所以，
即直線，的斜率之積為．
故答案為：
15. 中國三大名樓之一的黃鶴樓因其獨(dú)特的建筑結(jié)構(gòu)而聞名，其外觀有五層而實(shí)際上內(nèi)部有九層，隱喻“九五至尊”之意，為迎接國慶節(jié)的到來，有網(wǎng)友建議在黃鶴樓內(nèi)部掛燈籠進(jìn)行裝飾，若在黃鶴樓內(nèi)部塔樓的頂層掛4盞燈籠，且相鄰的兩層中，下一層的燈籠數(shù)是上一層燈籠數(shù)的兩倍，則九層塔樓一共需要掛______盞燈籠．
【答案】
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列求和公式運(yùn)算即可得解.
【詳解】解：由題意，各層燈籠數(shù)從上到下排成一列構(gòu)成等比數(shù)列，
由題意知，公比，
因?yàn)榈缺葦?shù)列前項(xiàng)和，.
所以前9項(xiàng)和為，
所以九層塔樓一共需要掛盞燈籠．
故答案為：.
16. 已知圓：，過圓外一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，若，則_____．
【答案】1
【解析】
【分析】結(jié)合切線長定理可得為等邊三角形，即可得.
【詳解】
由圓：可得圓心坐標(biāo)為，半徑，
由、圓切線，故，
又
故，
又，故為等邊三角形，故.
故答案為：1.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知在橢圓上，分別為的左?右焦點(diǎn).
（1）求橢圓的離心率；
（2）若動(dòng)點(diǎn)均在上，且在軸的兩側(cè)，求四邊形的周長.
【答案】（1）；
（2）8.
【解析】
【分析】（1）把給定點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，建立方程組并求解即得.
（2）根據(jù)給定條件，利用橢圓定義計(jì)算即得.
【小問1詳解】
由點(diǎn)在橢圓上，
得，解得，則半焦距，
所以的離心率為.
【小問2詳解】
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)均在上，且在軸的兩側(cè)，
所以由橢圓的定義得，四邊形的周長為.
18. 已知的圓心為，且過點(diǎn)．
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與相切于點(diǎn)，求的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用圓心坐標(biāo)和圓上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用直線與圓的位置關(guān)系求解.
【小問1詳解】
由題可知，的半徑為,
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
因?yàn)橹本€與相切于點(diǎn)，且,
所以，所以，
由點(diǎn)斜式得，，整理得，.
19. 已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，且．
（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列定義可解得，，可寫出數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）利用等差等比前項(xiàng)和公式分組求和即可得.
【小問1詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，
由得
即即，
解得或．
當(dāng)時(shí)，，不滿足單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，滿足單調(diào)遞增，
故，所以．
又，所以，
所以，
即數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
【小問2詳解】
利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，數(shù)列的前項(xiàng)和為，
數(shù)列的前項(xiàng)和為，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和，
即
20. 如圖，已知正方體的棱長為，是的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求點(diǎn)到平面距離；
（3）求平面和底面夾角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明線線垂直，再由線面垂直的判定定理得證；
（2）利用向量法求點(diǎn)面距離；
（3）利用向量法求兩個(gè)平面的夾角.
【小問1詳解】
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
，故，
所以，所以，
又，平面，因此平面.
【小問2詳解】
平面的法向量為，
，則
取，可得，
又，則點(diǎn)到平面的距離為.
【小問3詳解】
設(shè)平面和底面夾角為，
因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，
所以，
故，
所以平面和底面夾角的正弦值為.
21. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求的最小值.
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系即可求解，
（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法求解和，即可列不等式求解
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，由，得；
當(dāng)時(shí)，，符合上式.
綜上所述，.
【小問2詳解】
，
所以.
由，得，解得，又，所以的最小值為8.
22. 已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.
（1）求的方程；
（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線交于兩點(diǎn)，交于兩點(diǎn).求證：為定值.
【答案】（1）；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合拋物線定義列出方程組，再求解并判斷即得.
（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合拋物線定義求出即可計(jì)算即得.
【小問1詳解】
拋物線的準(zhǔn)線方程為，
依題意，，解得或，而，則，
所以拋物線的方程為.
【小問2詳解】
由（1）知，直線的斜率均存在，
不妨設(shè)直線的方程為，
由消去y得，顯然，
則，
因此，
由，得直線的斜率為，同理得，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：①引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；②特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．

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