一、選擇題
1．化簡(jiǎn)( )
A.B.C.D.
2．已知集合,,則( )
A.B.C.D.R
3．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是( )
A.棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形
B.用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐可得到圓臺(tái)
C.直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐
D.在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線不一定是圓柱的母線
4．一組數(shù)據(jù)：5,1,3,5,2,2,2,3,1,2,則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是( )
A.3B.4C.4.5D.5
5．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍得到的圖象,則( )
A.B.C.D.
6．用2，3，4這3個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則事件“這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)”發(fā)生的概率為( )
A.B.C.D.
7．在長(zhǎng)方體中,M為的中點(diǎn),在中,,,,則( )
A.1B.2C.3D.4
8．在三棱錐中,和均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,,則該三棱錐的外接球的表面積是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知復(fù)數(shù)，則( )
A.z的虛部為
B.z是純虛數(shù)
C.z的模是
D.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限
10．下列化簡(jiǎn)正確的是( )
A.B.
C.D.
11．如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體中,已知E,F是線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,則( )
A.的面積為定值B.
C.點(diǎn)A到直線的距離為定值D.二面角的大小為
三、填空題
12．已知x、,若,則_________________.
13．已知,是兩個(gè)不共線的向量,,若與是共線向量,則實(shí)數(shù)______________.
14．定義在R上的奇函數(shù)滿(mǎn)足,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______________.
四、解答題
15．袋子中有9個(gè)大小和質(zhì)地相同的球,標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9,從中隨機(jī)摸出一個(gè)球.
（1）寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間;
（2）用集合表示事件“摸到球的號(hào)碼小于5”,事件“摸到球的號(hào)碼大于4”,事件C=“摸到球的號(hào)碼是偶數(shù)”
16．回答下列問(wèn)題
（1）已知,,求的值;
（2）已知,,求的值.
17．已知a,b,c分別為三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,.
（1）求A;
（2）若,的面積為,求b,c.
18．如圖,四棱柱的底面是正方形,.
（1）證明：平面平面;
（2）證明：平面平面.
19．為了估計(jì)一批產(chǎn)品的質(zhì)量狀況，現(xiàn)對(duì)100個(gè)產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合評(píng)分（滿(mǎn)分100分），并制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評(píng)分為80分及以上的產(chǎn)品為一等品.
（1）求圖中a的值，并求綜合評(píng)分的平均數(shù)；
（2）用樣本估計(jì)總體，以頻率作為概率，按分層隨機(jī)抽樣的思想，先在該條生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取5個(gè)產(chǎn)品，再?gòu)倪@5個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)產(chǎn)品記錄有關(guān)數(shù)據(jù)，求這2個(gè)產(chǎn)品中最多有1個(gè)一等品的概率；
（3）已知落在的平均綜合評(píng)分是54，方差是3，落在的平均綜合評(píng)分為63，方差是3，求落在的總平均綜合評(píng)分和總方差.
參考答案
1．答案：D
解析：.
故選：D.
2．答案：B
解析：由題意可得,
則,
所以.
故選：B.
3．答案：C
解析：由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可知，A選項(xiàng)中說(shuō)法正確；
由圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可知，B選項(xiàng)中說(shuō)法正確；
直角三角形繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體，不是圓錐，
是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體，C選項(xiàng)中的說(shuō)法錯(cuò)誤；
在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)的連線不一定是圓柱的母線，
只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線，D選項(xiàng)中說(shuō)法正確.
故選：C
4．答案：D
解析：將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?,1,2,2,2,2,3,3,5,5,
因?yàn)椴皇钦麛?shù),故取第9個(gè)數(shù),第9個(gè)數(shù)為5,
故這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為5.
故選：D.
5．答案：B
解析：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,
可得的圖象;
再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍可得.
故選:B.
6．答案：C
解析：將2，3，4組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的情況有，共6種，
其中偶數(shù)有，共4種，
所以事件“這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)”發(fā)生的概率為.
故選：C.
7．答案：B
解析：如圖,連接,由M為的中點(diǎn)得,設(shè),
則,,
,
因?yàn)?所以,
即,解得（負(fù)值舍去）.
故選：B.
8．答案：C
解析：取中點(diǎn)G,連接,,在和上分別作點(diǎn)E和點(diǎn)F,使得,,
過(guò)點(diǎn)E和點(diǎn)F分別作垂直平面和平面的直線交于點(diǎn)H,易得點(diǎn)H是該三棱錐外接球的球心.
因?yàn)?所以,,在中,
由余弦定理得,
故,在中,,,
所以,在中,,
故外接球的半徑,外接球的表面積.
故選：C.
9．答案：AC
解析：對(duì)A：由虛部定義知z的虛部為，故A正確；
對(duì)B：純虛數(shù)要求實(shí)部為0，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：，故C正確；
對(duì)D：z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10．答案：AC
解析:,故A正確;,故B錯(cuò)誤;
,故C正確;,故D錯(cuò)誤.故選AC.
11．答案：ABC
解析：對(duì)于A,因?yàn)樵谥?高為B到的距離,即的長(zhǎng)度,為定值,底邊為的長(zhǎng)度,也為定值,所以的面積為定值,故A正確;
對(duì)于B,因?yàn)樵谏?,,所以,即,故B正確;
對(duì)于C,A到直線的距離等于A到的距離,由于為邊長(zhǎng)為的等邊三角形,
故A到的距離為,因此A到直線的距離為定值,故C正確;
對(duì)于D,易知在該正方體中,平面,又平面,所以平面平面,即平面平面,
故二面角的大小為,故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
12．答案：2
解析：由題意,得,
所以.
故答案為：2.
13．答案：-4
解析：因?yàn)榕c是共線向量,所以存在實(shí)數(shù),使得,
所以,即,
又因?yàn)?是兩個(gè)不共線的向量,所以,
解得
故答案為：-4.
14．答案：5
解析：因?yàn)?
所以,可得函數(shù)是周期為4的奇函數(shù),
因?yàn)?可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),
當(dāng)時(shí),,又易知,所以時(shí),,
由對(duì)稱(chēng)性可先畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間上的圖象,
根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)且周期為4,可以畫(huà)出函數(shù)在R上的圖象,
由,得,
分別畫(huà)出函數(shù)和的圖象,如圖,
由,又,,,,而,
可以得到函數(shù)和的圖象有5個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5.
故答案為：5.
15．答案：（1）詳見(jiàn)解析
（2）詳見(jiàn)解析
解析：（1）用球的標(biāo)號(hào)表示對(duì)應(yīng)的球,則該試驗(yàn)的樣本空間可表示為;
（2）;;.
16．答案：（1）;
（2）
解析：（1）,
.
（2）因?yàn)?,
所以,,
上述兩式相加得
即解得
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）根據(jù)正弦定理,
變?yōu)?即,
也即,
所以.
整理,得,即,所以,,
所以,則.
（2）由,,得.
由余弦定理,得,
則,所以.則.
18．答案：（1）證明見(jiàn)詳解
（2）證明見(jiàn)詳解
解析：（1）由題意可知：,,可知為平行四邊形,
則,且平面,平面,可得平面,
又因?yàn)?,可知為平行四邊形,
則,且平面,平面,可得平面,
且,,平面,所以平面平面.
（2）因?yàn)闉檎叫?則,
因?yàn)?,,則,
可得,
設(shè),可知O為的中點(diǎn),則,
且,,平面,可得平面,
由平面,所以平面平面.
19．答案：（1），平均數(shù)為81；
（2）；
（3），
解析：（1）由頻率和為1，得，解得；
設(shè)綜合評(píng)分的平均數(shù)為，
則，
所以綜合評(píng)分的平均數(shù)為81.
（2）由題意，抽取5個(gè)產(chǎn)品，其中一等品有3個(gè)，非一等品有2個(gè)，
一等品記為a、b、c，非一等品記為D、E；
從這5個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)，試驗(yàn)的樣本空間
，；
記事件“抽取的這2個(gè)產(chǎn)品中最多有1個(gè)一等品”，
則，，
所以所求的概率為.
（3）由題意可知：落在的頻率為0.05，落在的頻率為0.1，
所以，
.

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