1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)弧度和角度的對(duì)應(yīng)關(guān)系可得答案.
【詳解】由題意得，．
故選：C．
2. 函數(shù)的最大值為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象及其值域即可得出結(jié)果.
【詳解】易知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為3.
故選：C
3. 將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變）得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 倍，就是變?yōu)樵瓉?lái)的2倍進(jìn)行變換，即可得到答案．
【詳解】將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的縱坐標(biāo)不變，
就是變?yōu)樵瓉?lái)的2倍進(jìn)行變換，即得到函數(shù)的解析式為：.
故選：D.
4. 一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)與面積的數(shù)值都是，則這個(gè)扇形的中心角大小為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式，即可求解.
【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)、面積和中心角分別為，扇形的半徑為，
因?yàn)?，所以，由題有，解得，
故選：B.
5. 在中，為邊上的中線，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的線性運(yùn)算求解即可.
【詳解】如圖，
故選：C.
6. 已知，且三點(diǎn)共線，則（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，即若向量，則當(dāng)時(shí)，有，即可求解.
【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
因?yàn)椋?br>所以，解得.
故選：A.
7. 已知向量，滿足，，與的夾角為，則（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩個(gè)向量共線反向可求.
【詳解】因?yàn)榕c的夾角為，故，故，
故選：D.
8. 設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上至少有3個(gè)零點(diǎn)，至多有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)為任意實(shí)數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)在任意一個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間上的零點(diǎn)問(wèn)題，求出函數(shù)在軸右側(cè)靠近坐標(biāo)原點(diǎn)處的零點(diǎn)，得到相鄰四個(gè)零點(diǎn)之間的最大距離為，相鄰五個(gè)零點(diǎn)之間的距離為，根據(jù)相鄰四個(gè)零點(diǎn)之間的最大距離不大于，相鄰五個(gè)零點(diǎn)之間的距離大于，列式可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)闉槿我鈱?shí)數(shù)，故函數(shù)的圖象可以任意平移，從而研究函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)問(wèn)題，即研究函數(shù)在任意一個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間上的零點(diǎn)問(wèn)題，
令，得，則它在軸右側(cè)靠近坐標(biāo)原點(diǎn)處的零點(diǎn)分別為，，，，，，
則它們相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離分別為，，，，，
故相鄰四個(gè)零點(diǎn)之間的最大距離為，相鄰五個(gè)零點(diǎn)之間的距離為，
所以要使函數(shù)在區(qū)間上至少有3個(gè)零點(diǎn)，至多有4個(gè)零點(diǎn)，則需相鄰四個(gè)零點(diǎn)之間的最大距離不大于，相鄰五個(gè)零點(diǎn)之間的距離大于，
即，解得.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在求解復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，要善于將問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單化，本題中的以及區(qū)間是干擾因素，所以排除干擾因素是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在.
二、多選題（每小題6分，共18分）
9. （多選）下列結(jié)果為零向量的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的知識(shí)來(lái)求得正確答案.
【詳解】對(duì)于A：
，故選項(xiàng)A不正確；
對(duì)于B：
，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C：
，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：
，故選項(xiàng)D正確.
故選：BCD
10. 下列各式正確是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.
【詳解】根據(jù)誘導(dǎo)公式四，，A正確；
對(duì)于B，，B正確；
根據(jù)誘導(dǎo)公式五，，C錯(cuò)；
根據(jù)誘導(dǎo)公式三，，D正確.
故選：ABD
11. 如圖，設(shè)，當(dāng)時(shí)，定義平面坐標(biāo)系為的斜坐標(biāo)系．在的斜坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)的斜坐標(biāo)這樣定義：設(shè)，是分別與軸，軸正方向相同的單位向量，若，則記．下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 設(shè)，，若，則
B. 設(shè)，，若，則
C. 設(shè)，則
D. 設(shè)，，若與的夾角為，則
【答案】BD
【解析】
【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得A錯(cuò)誤；由向量平行的坐標(biāo)表示可得B正確；由向量模長(zhǎng)的定義可得C錯(cuò)誤；由向量數(shù)量積的定義可得D正確.
【詳解】對(duì)于A，若，則，
，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，則，
則，所以，故B正確；
對(duì)于C，，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，
即，
解得，所以，故D正確．
故選：BD.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題思路有：
（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；
（2）由已知條件，看所求的是什么問(wèn)題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言；
（3）將已知條件代入新定義的要素中；
（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.
三、填空題（每小題5分，共15分）
12. 的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，，則等于______.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理可得邊長(zhǎng).
【詳解】在中，，，，，則，
由正弦定理，即，解得，
故答案為：.
13. 如圖所示，在四邊形中，，則___________.

【答案】
【解析】
【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算即可得解.
【詳解】因?yàn)樵谒倪呅沃?，?br>所以
.
故答案為：.
14. 已知是單位圓上任意不同三點(diǎn)，則的取值范圍是_____.
【答案】
【解析】
【分析】由等價(jià)于在上的投影，故可結(jié)合投影性質(zhì)，得到當(dāng)與反向共線時(shí)，在上的投影取最小，當(dāng)與同向共線時(shí)，在上的投影取最大，再結(jié)合的范圍，即可得到相應(yīng)投影的最小、最大值，即可得解.
【詳解】等價(jià)于在上投影，
如圖1，在單位圓圓上任取兩點(diǎn)、，
則對(duì)任意的，當(dāng)與反向共線時(shí)，在上的投影取最小，
作于點(diǎn)，設(shè)，取中點(diǎn)，有，
則，，則，
由，故；
如圖2，在單位圓圓上任取兩點(diǎn)、，
則對(duì)任意的，當(dāng)與同向共線時(shí)，在上的投影取最大，
作于點(diǎn)，設(shè)，取中點(diǎn)，有，
則，，則，
由，故；
綜上所述，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于得到表示在上的投影，從而數(shù)形結(jié)合，借助投影性質(zhì)解題.
四、解答題（77分）
15. 若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求角的正弦值、余弦值以及正切值.
【答案】.
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的定義可求得結(jié)果.
【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，，
.
16. 函數(shù)的部分圖象如圖：
（1）求解析式；
（2）寫(xiě)出函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的圖象求出相關(guān)參數(shù)，即可得解析式；
（2）由正弦型函數(shù)的性質(zhì)求區(qū)間內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題設(shè)，可得，且，
所以，又，
所以，且，可得，則；
【小問(wèn)2詳解】
在上，則上單調(diào)遞減，
所以，可得，
所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.
17. 已知向量.
（1）若向量與共線，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若向量與夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可知，即可求出參數(shù)值；
（2）利用兩向量夾角為銳角的充要條件是且與不共線，從而可得不等式組求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可得，，
若向量與共線，可得，
解得.
【小問(wèn)2詳解】
若向量與的夾角為銳角可得且與不共線，
即可得，
解得且，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為且
18. 已知的夾角為，，，，
（1）若，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)t，使得，若存在，求實(shí)數(shù)t.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由列式求得值；
（2）利用共線向量定理列式求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
，的夾角為，且，，
.
由，得
，解得；
【小問(wèn)2詳解】
由，得，
即，解得
所以存在實(shí)數(shù)，使得.
19. 如圖，圓C的半徑為3，其中A，B為圓C上兩點(diǎn).
（1）若，當(dāng)k為何值時(shí)，與垂直？
（2）若G為的重心，直線l過(guò)點(diǎn)G交邊AB于點(diǎn)P，交邊AC于點(diǎn)Q，且，求 最小值.
（3）若的最小值為1，求的值.
【答案】（1）
（2）2 （3）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理可得，再由向量垂直和數(shù)量積的關(guān)系即可求出結(jié)果；
（2）由向量的線性運(yùn)算和共線的條件得到，即可得到，再用基本不等式計(jì)算；
（3）由向量的數(shù)量積的定義得到，再由模長(zhǎng)的計(jì)算得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解出即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以由余弦定理得，即，所以.
若與垂直，則，
所以，所以，
解得，即時(shí)，與垂直；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)闉榈闹匦?，所以?br>又因?yàn)?，所以?br>由于三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，所以
化簡(jiǎn)為，所以，所以.
顯然，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最值.
則的最小值為2.
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)與的夾角為，在中，，
所以，
又
，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以，解得，
即取最小值1時(shí)，．
【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了余弦定理解三角形,向量垂直和數(shù)量積的關(guān)系,向量的線性運(yùn)算和共線的條件，基本不等式計(jì)算最值，二次函數(shù)的性質(zhì).綜合性特別強(qiáng)，轉(zhuǎn)化能力要求高，屬于難題

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