1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)交集的定義，即可求解.
【詳解】滿足的正整數(shù)只有，所以.
故選：A
2. 命題“”的否定為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)含存在量詞的命題的否定方法寫出已知命題的否定即可判斷.
【詳解】存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，故命題“”的否定為“，”.
故選：D.
3. 已知 則（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式代入計(jì)算可得；
【詳解】解：因，所以，所以
故選：B
4. 已知向量.若向量與共線，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)平面向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算求得的坐標(biāo)，然后利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解即可.
【詳解】為，所以，
又，所以，解得.
故選：A
5. 在山西的某個(gè)旅游景點(diǎn)內(nèi)有刀削面、油炸糕、糖火燒、炕饃、莜面這5種傳統(tǒng)小吃.某游客從中隨機(jī)選擇3種品嘗，則該游客選擇了油炸糕和莜面品嘗的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用編號，列舉的方法，結(jié)合古典概型概率公式，即可求解.
【詳解】將刀削面、油炸糕、糖火燒、炕饃、莜面這5種傳統(tǒng)小吃分別設(shè)為，，，，，
根據(jù)題意，該游客從中隨機(jī)選擇3種品嘗的所有情況有，，，，，，，，，，共10種，
其中該游客選擇了油炸糕和莜面品嘗的，，，情況有3種，
故所求概率為.
故選：B
6. 如圖，E，F(xiàn)分別為平行四邊形ABCD邊AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，分別連接BE，CF，并延長交于點(diǎn)O，連接OA，OD，則（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，根據(jù)相似三角形可得，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】由題意知，，
由，得，所以，
在中，，
即，
即，整理得.
故選：C
7. 已知，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且，設(shè)，則的值為
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】∵，設(shè)，則，
又，，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算知，
所以
本題選擇C選項(xiàng).
點(diǎn)睛：應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．
8. 設(shè)甲、乙兩人每次投進(jìn)籃球的概率分別為與，兩人約定如下投籃：每次由一人投籃，若投進(jìn)，下一次由另一人投籃；若沒有投進(jìn)，則繼續(xù)投籃，則前4次中甲恰好投籃3次的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分第一次甲先投籃與第一次乙先投籃，然后由獨(dú)立事件的概率的乘法公式求解即可.
【詳解】若第一次甲先投籃，則前4次中甲恰好投籃3次的概率為：，
若第一次乙先投籃，則前4次中甲恰好投籃3次的概率為：
故前4次中甲恰好投籃3次的概率為：.
故選：D
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列各組向量中，可以作為基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)基底的定義，判斷所給向量組中的兩個(gè)向量是否共線，若不共線則可作為基底，若共線則不能作為基底.
【詳解】對于A選項(xiàng)，已知，零向量與任意向量共線，所以與共線，不能作為基底，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對于B選項(xiàng)，對于，， ，所以與不共線，可以作為基底，B選項(xiàng)正確.
對于C選項(xiàng)，對于，， ，所以與共線，不能作為基底，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對于D選項(xiàng)，對于，，計(jì)算，所以與不共線，可以作為基底，D選項(xiàng)正確.
故選：BD.
10. 一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號為1和2），2個(gè)白色球（標(biāo)號為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．設(shè)事件“兩個(gè)球顏色不同”，“兩個(gè)球標(biāo)號的和為奇數(shù)”，“兩個(gè)球標(biāo)號都不小于2”，則（ ）
A. A與B互斥B. A與C相互獨(dú)立
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由互斥事件的定義分析A，由相互獨(dú)立事件的定義分析B，由古典概型的計(jì)算公式分析C、D，綜合可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則
，
，
，
所以有，
，
對于A，，事件A、B可以同時(shí)發(fā)生，則A、B不互斥，A錯(cuò)誤；
對于B，，A、C相互獨(dú)立，B正確；
對于C，，C正確；
對于D，，D錯(cuò)誤．
故選：BC．
11. 有如下命題，其中為真命題的是（ ）
A. 若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則
B. 函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)
C. 函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
D. 若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，最小值為3，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義判斷選項(xiàng)A，由指數(shù)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)B，由零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用判斷選項(xiàng)C，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷選項(xiàng)D．
【詳解】設(shè)冪函數(shù)，代入，得到，∴，∴，則，故A錯(cuò)誤；
由于恒過定點(diǎn)，因此令，即時(shí)，恒有，
即圖象恒過定點(diǎn)，故B正確；
轉(zhuǎn)化，即，
函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系下的圖象如圖1所示，
兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤.
函數(shù)中，得，，
如圖2所示，可得若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，最小值為3，
則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故D正確.
故選：BD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查．已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，則應(yīng)從一年級本科生中抽取_______名學(xué)生．
【答案】60
【解析】
【分析】采用分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查的.
【詳解】∵該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4:5:5:6，
∴應(yīng)從一年級本科生中抽取學(xué)生人數(shù)為：.
故答案為60.
13. 已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)得，由此即可得解.
【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，
所以，即，
解得或，
又冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，
所以，故，
故答案為：．
14. 如圖，在中，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線與所在的直線分別交于點(diǎn)，若，則的最小值為_____.
【答案】3
【解析】
【分析】先由題意得，進(jìn)而由共線定理得，接著結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立.
所以的最小值為3.
故答案：3.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件關(guān)系和所求問題的特征，結(jié)合向量的環(huán)境優(yōu)先考慮共線定理中的三點(diǎn)共線系數(shù)和為1，故先由題意得，從而由共線定理得，接著結(jié)合基本不等式可求解.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程及驗(yàn)算步驟．
15. 已知非零向量和不共線．
（1）如果，，，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；
（2）若向量與平行，求實(shí)數(shù)k的值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩向量線性關(guān)系得出向量共線，再結(jié)合公共點(diǎn)B，即可證明.
（2）因?yàn)閮蓚€(gè)向量平行得出向量關(guān)系結(jié)合平面向量基本定理列式求參.
【小問1詳解】
因?yàn)椋郑?br>故，又與有公共點(diǎn)B，
所以A，B，D三點(diǎn)共線．
【小問2詳解】
因?yàn)榕c共線，即，
因?yàn)榕c是不共線的兩個(gè)非零向量，
所以，故綜上，k的值為．
16. 學(xué)校組織數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力測試，測試滿分為100分，從測試卷中隨機(jī)抽取400份作為樣本，將樣本的成績（成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，…，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求a的值，并估計(jì)測試成績的第80百分位數(shù)；
（2）現(xiàn)從該樣本成績在與的學(xué)生中按分層抽樣抽取6人，6人中再隨機(jī)取2人，求2人的測試成績來自不同組的概率．
【答案】（1），第80百分位數(shù)為86；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1求出a值，再求出第80百分位數(shù)作答.
（2）求出6人中在與的人數(shù)，再利用列舉法求出古典概率作答.
【小問1詳解】
因?yàn)?，所以?br>設(shè)知識(shí)競賽成績的第80百分位數(shù)為，
由的頻率為0.65，的頻率為0.9，則位于，
則，解得，
所以知識(shí)競賽成績第80百分位數(shù)為86.
【小問2詳解】
成績在和內(nèi)的頻率分別為，，
則在內(nèi)選取2人，記為，在內(nèi)選取4人，記為，
從這6人中選取2人的所有選取方法：
，，，，，，，，，，，，，，，共15種，
2人的競賽成績來自不同組的選取方法：，，，，，，，，共8種，
所以所求概率為.
17. 已知函數(shù)是的反函數(shù)且，且函數(shù)的圖象過點(diǎn)．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由反函數(shù)定義可知，結(jié)合反函數(shù)性質(zhì)，將代入解析式即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域的基本要求和單調(diào)性可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.
【小問1詳解】
是的反函數(shù)，且，
又的圖象過點(diǎn)，的圖象過點(diǎn)，
，解得：，.
【小問2詳解】
由得：，
，解得：或，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
18. 某大學(xué)開設(shè)甲、乙、丙三門選修課，學(xué)生選修哪門課程互不影響.已知學(xué)生小張只選修甲的概率為，只選修甲和乙的概率是，至少選修一門的概率是，用表示小張選修的課程門數(shù)和沒有選修的課程門數(shù)的乘積.
（1）求學(xué)生小張選修甲的概率；
（2）記“函數(shù)為上的偶函數(shù)”為事件，求事件的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）設(shè)小張選修甲、乙、丙選修課的概率分別為、、，根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式列出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)未知數(shù)，即可得出小張選修甲的概率；
（2）先判斷事件表示的實(shí)際事件，再利用互斥事件的概率加法公式以及獨(dú)立事件的概率乘法公式可求出事件的概率.
【詳解】（1）設(shè)學(xué)生小張選修甲、乙、丙的概率分別為、、，
則，解得，
因此，學(xué)生小張選修甲的概率為；
（2）若函數(shù)為上的偶函數(shù)，則.
當(dāng)時(shí)，表示小張選修三門課或三門課都不選.
所以，
因此，事件的概率為.
【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件概率乘法公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是利用方程思想求出相應(yīng)事件的概率，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.
19. 如圖，在等腰梯形中，，，點(diǎn)為邊上靠近點(diǎn)的六等分點(diǎn)，為中點(diǎn)．
（1）用表示；
（2）設(shè)為中點(diǎn)，是線段（不含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量線性運(yùn)算法則求解；
（2）設(shè)，將通過用表示，在根據(jù)共線，將通過用表示，然后利用平面向量基本定理列方程求出的關(guān)系，代入求范圍即可.
【小問1詳解】
由已知得
；
【小問2詳解】
設(shè)，
則，，
，
由于共線，設(shè)，
則，
所以，所以，
因?yàn)槭蔷€段（不含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，
所以，所以，
所以，
當(dāng)時(shí)，.

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