（本卷滿分150分考試時間120分鐘）
一、單選題
1. 設(shè)，是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量平行得到方程，求出答案.
【詳解】向量與向量共線，
設(shè)，故，解得.
故選：B
2. 已知點，，則與同方向的單位向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出，再求出，最后根據(jù)與同方向的單位向量為計算可得.
【詳解】因為，，
所以，則，
所以與同方向的單位向量為.
故選：C
3. 若兩個非零向量滿足，則向量與的夾角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)向量的運算與模長關(guān)系可得，從而確定向量與的夾角為的夾角，即可得答案.
【詳解】由題意作圖如下，設(shè)，

故向量，
因為，所以，則四邊形ABCD為矩形，則
又因為，所以，則，
故向量與的夾角為的夾角，故為.
故選：C.
4. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角余弦公式可得結(jié)果.
【詳解】
，
故選：D.
5. 已知向量 ，則向量 在向量 方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量公式計算即可.
【詳解】因為向量 ，所以，
向量在向量方向上的投影向量為，
故選:B．
6. 在菱形中，，，，，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出圖形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè), 得到是的中點，根據(jù)已知求出再根據(jù)即得解.
詳解】
作出圖形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，因為
因為，所以,即是的中點，
所以
所以，由題知.
故
故選：D
7. 在斜中，設(shè)角、、的對邊分別為、、，已知，若是的角平分線，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正余弦定理可得，即可根據(jù)等面積法可得，利用余弦定理可得，由二倍角公式即可求解.
【詳解】解：由正弦定理可得得，

由余弦定理可得，
由于所以，
，
由于，所以，
由于，，
由余弦定理可得，
，
，，
，，
，
故選：B
8. 如圖，在扇形OAB中，半徑，，C在半徑OB上，D在半徑OA上，E是扇形弧上的動點（不包含端點），則平行四邊形BCDE的周長的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由于點E在弧上運動，引入恰當(dāng)?shù)淖兞?，從而表達，再利用正弦定理來表示邊，來求得周長關(guān)于角的函數(shù)，然后求出取值范圍；也可以建立以圓心為原點的坐標(biāo)系，同樣設(shè)出動點坐標(biāo)，用坐標(biāo)法求出距離，然后同樣把周長轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的函數(shù)，進而求出取值范圍.
【詳解】
（法一）如圖，連接設(shè)，則，，
故．在中，由正弦定理可得，
則．
在中，由正弦定理可得，則．
平行四邊形的周長為
．
因為，所以，所以，所以，
所以，則，
即平行四邊形BCDE的周長的取值范圍是．
（法二）以O(shè)為原點，所在直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)，則，，
從而，，，
，
故平行四邊形的周長為．
因為，所以，所以，
則，即平行四邊形的周長的取值范圍是．
故選：A.
二、多選題
9. 已知向量，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若在上的投影向量為，則向量與的夾角為
D. 的最大值為3
【答案】ACD
【解析】
【分析】應(yīng)用向量垂直計算判斷A，應(yīng)用向量平行得出正切進而得出角判斷B，根據(jù)投影向量公式計算得出夾角判斷C，應(yīng)用向量坐標(biāo)模長公式計算結(jié)合正弦值域判斷D.
【詳解】對于A，由，得，因此，故A正確；
對于B，若，則，所以，所以，故B錯誤；
對于C，因，，
由在上的投影向量為，解得，
又，，故C正確；
對于D，因，
故，
當(dāng)，即時，
也即時，取得最大值9，即的最大值為3，故D正確.
故選：ACD.
10. 已知點在所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是（ ）
A. 若為的垂心，且，則
B. 若，則的面積與的面積之比為
C. 若，則動點的軌跡經(jīng)過的外心
D. 若E，F(xiàn)，G分別為，，的中點，且，，則的最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】A將轉(zhuǎn)化為，然后求數(shù)量積；B將拆成，然后根據(jù)線性運算得到，然后求面積比即可；C由題意得，然后根據(jù)得到，即可得到動點的軌跡經(jīng)過的外心；D根據(jù)得到點的軌跡，將轉(zhuǎn)化為，然后求數(shù)量積，根據(jù)點的軌跡求最值.
【詳解】A選項，，故A正確；
B選項，設(shè)中點為，中點為，
，即，
所以點為中位線靠近點的三等分點，所以，故B錯；
C選項，設(shè)中點為，則，
結(jié)合題設(shè)
所以，所以，
又的中點為，所以在的中垂線上，
所以動點的軌跡經(jīng)過的外心，故C正確；
D選項，設(shè)中點為，
因為，所以點的軌跡為以為直徑的圓，
結(jié)合上圖，
,
當(dāng)為直徑時最大，最大為，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：數(shù)量積的計算方法（1）定義法；（2）坐標(biāo)法；（3）轉(zhuǎn)化法；（4）幾何意義法.
11. 窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形的邊長為，是正八邊形邊上任意一點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 在上的投影向量為
B.
C. 的最大值為2
D. 若在線段上（含端點），且，則取值范圍為
【答案】BCD
【解析】
【分析】選項A，延長，交的延長線于點，求出 在上的投影向量即可；
選項B，由正八邊形的幾何性質(zhì)知，，利用向量求夾角的余弦值即可；
選項C，取中點，中點，根據(jù)，，求解即可；選項D，根據(jù)向量的線性運算可得，由于，即可求解最大，．
【詳解】解：對于A,延長，交的延長線于點，則，則故，
所以 在 上的投影向量為，，選項A錯誤；
對于B，由正八邊形的幾何性質(zhì)知，所以,故，所以，所以，選項B正確；
對于C，取中點，中點，則，，
所以，因為為的中點，
所以，因為是正八邊形邊上任意一點，
所以當(dāng)點位于正八邊形頂點時，最大，不妨設(shè)點與點重合，
此時，
即的最大值為，所以的最大值為，選項C正確；
對于D，，,其中，
由于,
進而可得，
所以，
由于，故，D正確．
故選：BCD．
三、填空題
12. 若向量，，與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是_________
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量夾角為鈍角的條件，借助數(shù)量積公式來確定實數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為向量，，與的夾角為鈍角，
所以且，即且，
即實數(shù)取值范圍是.
故答案為：.
13. _________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式、和角公式及二倍角公式計算可得結(jié)果.
【詳解】
.
故答案為：.
14. 如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，，若P為線段BE上的動點，則的最小值為 _________________．
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運算求得最值．
【詳解】解：在正方形中，建立如圖所示坐標(biāo)系，
由正方形邊長3且，
可得，
設(shè)，，則，
則，
故，
故當(dāng)時，取得最小值為．
故答案為：．
四、解答題
15. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）若，且為銳角三角形，求的周長的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，即可得解;
（2）利用正弦定理將轉(zhuǎn)化為關(guān)于A的三角函數(shù)，結(jié)合三角形為銳角三角形求出A的范圍，即可求出的范圍得解.
【小問1詳解】
因為，
由正弦定理可得，
，
，則，，又，；
【小問2詳解】
在中，由正弦定理，
，
，
又為銳角三角形，，
，，
，，，
故周長的取值范圍為．
16. 已知函數(shù)的最大值為3．
（1）若的定義域為，求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式將化簡并利用最值可得，再由三角函數(shù)單調(diào)性解不等式即可求得單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）代入解析式可求得，再根據(jù)同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系以及二倍角等公式即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
將化簡可得，
因為，所以．
此時，
當(dāng)時，
令．得；
令，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和．
【小問2詳解】
由（1）知．
由，得，
所以．又因為．所以，
所以．
所以，
，
所以
.
17. 已知，與的夾角為，為外接圓上一點，與線段交于點．
（1）若，求；
（2）設(shè).
（?。┰囉玫暮瘮?shù)表示；
（ⅱ）求的取值范圍．
【答案】（1）1； （2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用表示，再利用數(shù)量積的定義及運算律計算即得.
（2）（?。┯桑?）及向量數(shù)量得，利用直角三角形邊角關(guān)系求解即得；（ⅱ）利用正弦定理求得，再利用數(shù)量積的定義，結(jié)合三角恒等變換求解.
【小問1詳解】
依題意，，，
，
，
因此
.
【小問2詳解】
（ⅰ）由（1）得，，則，
連接，當(dāng)與不重合時，為直角三角形，則，
則，當(dāng)與重合時，上式也成立，
所以.
（ii）四邊形為圓內(nèi)接四邊形，則，，
因此的夾角為，當(dāng)與都不重合時，在中，由正弦定理得：
，則，當(dāng)與之一重合時，上式成立，于是，
，
由，得，則，
所以.
【點睛】思路點睛：用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．
18. 如圖，在平面四邊形中，，，，．

（1）若，求的值；
（2）若，，求AD的長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中利用余弦定理求出，再由余弦定理求出.
（2）由，及，再結(jié)合正弦定理求．
【小問1詳解】
在中由余弦定理，
即，所以，
再由余弦定理，
即，解得.
【小問2詳解】
在中由正弦定理可得，
所以，
在中正弦定理可得，所以，
而，故，故，
故，
又，顯然為銳角，
所以，，即，，
則
，
在中由正弦定理，
則．
19. 在路邊安裝路燈，燈柱與地面垂直（滿足），燈桿與燈柱所在平面與道路垂直，且，路燈采用錐形燈罩，射出的光線如圖中陰影部分所示，已知，路寬．設(shè)燈柱高，．
（1）當(dāng)時，求四邊形的面積；
（2）求燈柱的高（用表示）；
（3）若燈桿與燈柱所用材料相同，記此用料長度和為，求關(guān)于的函數(shù)表達式，并求出的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3），最小值為
【解析】
【分析】（1）由三角形角的關(guān)系結(jié)合正弦定理可得各邊長，再由可得解；
（2）分別在與中由正弦定理化簡即可得解；
（3）根據(jù)正弦定理分別表示各邊長及，再根據(jù)三角函數(shù)求值域的方法可得最值.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
所以，
又
所以是等邊三角形，所以，
所以中，，即，
所以；
【小問2詳解】
，，，
在中，由正弦定理得，
所以
所以
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，所以；
【小問3詳解】
在中，由正弦定理得，
所以，
所以
所以
，
因為，所以，
所以當(dāng)，即時，取最小值，
故關(guān)于的函數(shù)表達式為，最小值為.

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