（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 下列命題中，真命題是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合正方形可判斷A,D項(xiàng)錯誤；再根據(jù)向量既有大小又有方向的特征排除B項(xiàng)，利用相等向量的定義確定C項(xiàng)正確.
【詳解】
對于A，如圖正方形中，若，則，但，故A錯誤；
對于B，因向量既有大小，又有方向，故不能比較大小，故B錯誤；
對于C，因兩向量相等包括長度相等，方向相同，故C正確；
對于D，如上圖中，，但，故D錯誤.
故選：C.
2 已知，則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式來求得正確答案.
【詳解】
.
故選：C
3. 已知，，，則，，大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊角的三角函數(shù)值比較大小.
【詳解】因?yàn)樵谏线f增，且，
所以，所以，即，
因?yàn)樵谏线f減，且，
所以，即，
因?yàn)椋?br>所以,
故選：B.
4. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 是奇函數(shù)B. 的圖象關(guān)于直線對稱
C. 在上單調(diào)遞增D. 在上的值域?yàn)?br>【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.
【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到，
顯然不是奇函數(shù)，故A錯誤．
因?yàn)椋缘膱D象不關(guān)于直線對稱，故B錯誤．
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，
所以在上不單調(diào)，故C錯誤．
由，得，則，
即在上的值域?yàn)?，故D正確．
故選：D
5. 已知函數(shù)在區(qū)間上至少有3個零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得，結(jié)合條件可得，求解即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上至少有3個零點(diǎn)，
所以，解得，所以的取值范圍是.
故選：C.
6. 如圖，水利灌溉工具筒車的轉(zhuǎn)輪中心到水面的距離為，筒車的半徑是，盛水筒的初始位置為與水平正方向的夾角為．若筒車以角速度沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動，為筒車轉(zhuǎn)動后盛水筒第一次到達(dá)入水點(diǎn)所需的時(shí)間（單位：），則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出盛水桶到水面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，令即可求解.
【詳解】設(shè)盛水桶在轉(zhuǎn)動中到水面的距離為，時(shí)間為，
由圖可知筒車轉(zhuǎn)動后盛水筒第一次到達(dá)入水點(diǎn)的角度小于，
又筒車的角速度為2rad/min，所以所需的時(shí)間為，故A錯誤；
由題意可得，盛水桶到水面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如下：
，
令，即，解得，
又，可得，
，故D正確；
，
，故C錯誤；
又，解得，故B錯誤；
故選：D.
7. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，以圖象相鄰的三個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函數(shù)圖象平移規(guī)則得出的解析式，再由對稱性及面積求得交點(diǎn)坐標(biāo)，可得結(jié)果.
【詳解】如圖，
不妨取縱軸右側(cè)的連續(xù)三個交點(diǎn)，周期也為，可得，
由面積為及對稱性知，，進(jìn)而，
代入結(jié)合，得.
故選：B
8. 已知函數(shù)分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. 或B. 或1C. 或2D. 1或
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可得，從而可得的圖象關(guān)于對稱，即得，代入求解即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，
所以，
即，②
由①+②，得，
由①-②，得，
又因?yàn)橛形ㄒ涣泓c(diǎn)，
即有唯一解，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，圖象關(guān)于軸對稱，
所以圖象關(guān)于軸對稱，
的圖象也關(guān)于軸對稱，
所以的圖象關(guān)于軸對稱，
所以，即，解得或.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于分析得的圖象關(guān)于軸對稱，從而得到，由此得解.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 為偶函數(shù)
B. 的值域?yàn)?br>C. 不存在，使得
D. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)定義判斷A；換元并利用余弦函數(shù)值域判斷B；舉例說明判斷C；利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷D.
【詳解】對于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，
，因此為偶函數(shù)，A正確；
對于B，令，函數(shù)是R上增函數(shù)，值域?yàn)镽，函數(shù)的值域?yàn)椋?br>因此的值域?yàn)椋珺正確；
對于C，由選項(xiàng)B知，存在唯一使得，則，
且，因此存在，使得，C錯誤；
對于D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
而函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，D正確.
故選：ABD
10. 對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（ ）
A. 與有相同的零點(diǎn)B. 與有相同的最大值
C. 與最小正周期不相同D. 與的圖象存在相同的對稱軸
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用三角恒等變換化簡兩個函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷AD選項(xiàng)；利用正弦型的最值可判斷B選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷C選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋?br>，
對于A選項(xiàng)，對于函數(shù)，由，可得，
對于函數(shù)，由，可得，
故函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，
所以，函數(shù)、沒有相同的零點(diǎn)，A錯；
對于B選項(xiàng)，的最大值為，的最大值為，故與的最大值相同，B對；
對于C選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，
這兩個函數(shù)的最小正周期不同，C對；
對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，?br>所以，函數(shù)與的圖象存在相同的對稱軸，D對.
故選：BCD.
11. 在數(shù)學(xué)史上，曾經(jīng)定義過下列兩種三角函數(shù)：為角的正矢，記作；為角的余矢，記作.則下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)在上單調(diào)遞減
B. 若，則
C. 若函數(shù)，則的最大值為
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】對于A求單調(diào)減區(qū)間即可判斷，對于B，代入即可判斷，對于C即可求出的最大值，對于D即可判斷.
【詳解】由已知有，，
對于A：，
令，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在為減函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯誤；
對于B：，則，故B正確；
對于C：，
則最大值為4，故C錯誤；
對于D：，故D正確.
故選：BD.
三、填空題：本題共3小題，每小則5分，共15分．
12. 函數(shù)的定義域?yàn)開_____．
【答案】
【解析】
【分析】要使函數(shù)有意義只須，再解不等式可得答案.
【詳解】由，得，
解得
故答案為：.
13. 已知函數(shù)，則函數(shù)在上的最大值為_______．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，可得出，求出的取值范圍為，令，，利用導(dǎo)數(shù)即可求出在上的最大值，即為所求.
【詳解】設(shè)，則，
所以，，
當(dāng)時(shí)，，所以，，
則，
設(shè)，，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
即當(dāng)時(shí)，．
故答案為：.
14. 已知函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，若在的圖象上存在一點(diǎn)列：，，滿足且，那么滿足條件的的最小值為______．
【答案】8
【解析】
【分析】利用二倍角公式及兩角和的正弦公式化簡，根據(jù)的奇偶性求出，即可得到的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，優(yōu)先找使，即可確定，從而得解.
【詳解】因
．
又因?yàn)榈膱D象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
所以，即，又，所以，
所以．
因?yàn)?br>．
又，所以．
要求滿足條件的的最小值，只需優(yōu)先找使的點(diǎn)即可．
結(jié)合的圖象，可令．
故滿足條件的最小整數(shù)為．
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知，且．
（1）求，的值；
（2）求的值；
（3）已知，且，求的值．
【答案】（1）
（2）;
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用同角平方公式及象限角確定符號來求值；
（2）利用誘導(dǎo)公式化簡，即可求值；
（3）利用變單角為雙角差，再用兩角差余弦公式求值即可.
【小問1詳解】
因?yàn)?，且，所以?br>即；
【小問2詳解】
由；
【小問3詳解】
因?yàn)?，，所以?br>又因?yàn)?，所以?br>則.
16. 已知，
（1）若，求的值；
（2）若，求的值域和單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】（1）
（2）值域?yàn)?，?
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可求解；
（2）根據(jù)三角函數(shù)恒等變換得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.
【小問1詳解】
因?yàn)?，，所以?br>又，
故；
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以
，
所以的值域?yàn)椋?br>令，
解之得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
17. 已知函數(shù).
（1）求的最小正周期及的值；
（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線與函數(shù)的圖象分別交于，兩點(diǎn)，求的最大值.
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）整理可得，進(jìn)而可得的最小正周期及的值；
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求函數(shù)的解析式；
（3）根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換整理可得，結(jié)合正弦函數(shù)有界性分析求解.
【小問1詳解】
由題意可得：，
所以的最小正周期為；.
【小問2詳解】
將函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變）得到，
再向左平移個單位長度得到函數(shù)
【小問3詳解】
由題意可知：兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，
可得
，
因?yàn)?，則，可得，
所以在時(shí)的最大值為.
18. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，將函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到函數(shù)，求解不等式；
（3）當(dāng)時(shí)，若實(shí)數(shù)使得對任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得到，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）根據(jù)題意得到，求得，得到，結(jié)合圖象的變換求得，由不等式，即，即可求解；
（3）化簡得到，求得，轉(zhuǎn)化為，得到方程組，分類討論，即可求解.
【小問1詳解】
解：當(dāng)，時(shí)，可得函數(shù)，
令，所以單調(diào)增區(qū)間為；
【小問2詳解】
解：當(dāng)，時(shí)，可得，其中，
因?yàn)殛P(guān)于直線對稱 ，
可得，即，解得，
所以，
將函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到函數(shù)，
由，即，則
解得，
所以不等式的解集為；
【小問3詳解】
當(dāng)，，時(shí)，則，
可得，則，
于是，
可化為，
即，
所以.
由已知條件，上式對任意恒成立，故必有，
若，則由（1）知，顯然不滿足（3）式，故，
所以由（2）知，故或，
當(dāng)時(shí)，，則（1）、（3）兩式矛盾，
故，由（1）、（3）知，
所以，；
19. 已知函數(shù)的最小正周期為．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若函數(shù)在上恰有8個零點(diǎn)，求的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)證明：有且只有一個零點(diǎn)，且．
【答案】（1）4 （2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由三角函數(shù)周期計(jì)算公式可得答案.
（2）由題可得零點(diǎn)表達(dá)式，要使最小，則，n均為零點(diǎn)，據(jù)此可得答案；
（3）由題可得，由單調(diào)性，正負(fù)情況結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得零點(diǎn)情況，然后由單調(diào)性可完成證明.
【小問1詳解】
的最小正周期為
．
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，令，解得
，則或，
則或，.要使最小，則均為零點(diǎn).
若，則大于的7個零點(diǎn)為：，
得，則此時(shí)，；
若，則大于的7個零點(diǎn)為：，，
得，則此時(shí)，，因，
則的最小值為；
【小問3詳解】
由（1）可得，定義域?yàn)椋?br>①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?br>所以根據(jù)零點(diǎn)存在定理，使得
故在上有且只有一個零點(diǎn)．
②當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞減，
，所以，
所以在上不存在零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，，因?yàn)?br>所以，所以在上不存在零點(diǎn)；
綜上：有且只有一個零點(diǎn)，且
因?yàn)?，所以?br>所以
在上單調(diào)遞減，，所以．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對于函數(shù)零點(diǎn)問題，可利用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，也可利用零點(diǎn)存在性定理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性研究零點(diǎn).

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