江蘇省邗江中學2024-2025學年高一下學期3月階段測試數(shù)學試卷（含解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 的值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由半角公式計算．
【詳解】．
故選：B．
2. 已知平面向量，且，則（）
A. B. C. 1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由兩向量平行坐標間的關系可求解.
【詳解】由題意知，所以，解得，故A正確.
故選：A.
3. 函數(shù)零點所在的整區(qū)間是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用零點存在性定理求解即可.
【詳解】因為函數(shù)為單調遞增函數(shù)，
且，
所以零點所在的區(qū)間是，
故選：C．
4. 已知向量，，的夾角為，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義運算可得結果.
【詳解】由題意得，，
∴.
故選：C
5. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】因為，先求出的值，代入即可求出答案.
【詳解】，
.
故選：A.
6. 在平面直角坐標系中，動點在以原點為圓心，為半徑的圓上，以的角速度按逆時針方向做勻速圓周運動；動點在以原點為圓心，為半徑的圓上，以的角速度按逆時針方向做勻速圓周運動.、分別以、為起點同時開始運動，經(jīng)過后，動點、的坐標分別為、，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函數(shù)的定義可得，，利用二倍角的余弦公式結合二次函數(shù)的基本性質可求得的最小值.
【詳解】由三角函數(shù)的定義可知，，，
則，
因為，其中，
當且僅當時，等號成立，故的最小值為.
故選：C.
7. 已知，則的值是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】試題分析：因，所以選C．
考點：三角函數(shù)求值
8. 已知函數(shù)在上有兩個不同的零點，則m的取值集合是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將原函數(shù)轉化為同角三角函數(shù)，再利用對勾函數(shù)的性質數(shù)形結合，分類討論處理即可.
【詳解】解：，
令，
則，
則
當時，顯然無解；當時可化為.
利用對勾函數(shù)的性質與圖象可知（如下圖所示）：
①當時，即，此時或，符合題意；
②當時，即或，此時或，符合題意；
③當時，即，由可得，
易知當時，只有一個解滿足，不符合題意；
④當時，即，
方程有兩根，不妨記為，其中，只有一個根，
有兩個根，故方程有3個解，也不符合題意.
∴滿足條件的所有m的值組成的集合是：.
故選：B
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．
9. 已知向量，，，，則（）
A. 若，則
B. 若，則
C. 在方向上的投影向量的坐標為
D. 若向量與向量的夾角為銳角，則的取值范圍是
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算可得選項A正確；根據(jù)向量相等可得選項B正確；利用投影向量的公式計算可得選項C錯誤；計算向量與向量同向時的值可得選項D錯誤.
【詳解】A.∵，，∴，
∵，，∴，故，選項A正確.
B.∵，，∴，
∵，∴，解得，故，選項B正確.
C.由題意得，，，
∴在方向上的投影向量為，選項C錯誤.
D.由題意得，，，
∵向量與向量的夾角為銳角，
∴a→+b→?2b→+c→=-4+λ+3>0，解得，
當向量與向量共線時，由得，
此時，，，向量與向量夾角為，不合題意，
∴的取值范圍是，選項D錯誤.
故選：AB.
10. 下列選項中，值為的是（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)誘導公式、二倍角公式及輔助角公式逐項化簡計算可得結果.
【詳解】A.，故A正確；
B.
，故B錯誤；
C.
，故C正確.
D. ，故D正確.
故選：ACD.
11. 如圖，已知扇形OAB的半徑為1，，點C、D分別為線段OA、OB上的動點，且，點E為上的任意一點，則下列結論正確的是（）
A. 的最小值為0B. 的最小值為
C. 的最大值為1D. 的最小值為0
【答案】BCD
【解析】
【分析】以為原點建立如圖所示的直角坐標系，得，，設，則，求出，利用的范圍可判斷A；
求出、的坐標，由，利用的范圍可判斷B；設，可得，求出、，由，利用、、，的范圍可判斷CD.
詳解】
以為原點建立如圖所示的直角坐標系，所以，，
設，則，，
，所以，
因為，所以，所以，
所以，的最小值為，故A錯誤；
，，
所以，
因為，所以，所以，
所以，，
的最小值為，故B正確；
設，又，所以，可得，
，，
所以
，其中，
又，所以，所以，，
，，所以，
的最小值為0，故CD正確.
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 如圖，在中，為邊上的中線，為的中點，若，則______．

【答案】##
【解析】
【分析】利用向量加法和減法的運算，求得的表達式.
【詳解】．
故．
故答案為：.
13. 已知，，則________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，切化弦，再利用和差角的余弦公式求解.
【詳解】依題意，，則，
由，得，解得，
所以.
故答案：
14. 在任意四邊形中，點，分別在線段，上，且，，，，，則與夾角的余弦值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】由，得，再兩邊平方求解即可.
【詳解】
由，則①，
又②，
由可得，即，
故，設與夾角為，
則，解得.
故答案為：．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知向量，，，，，且A，E，C三點共線．
（1）求實數(shù)的值；
（2）若四邊形是平行四邊形，其中點D的坐標為，求點A坐標．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由A，E，C三點共線列關于實數(shù)的方程，即可求得實數(shù)的值；
（2）依據(jù)向量相等列出關于點A坐標的方程組即可求得點A的坐標．
【小問1詳解】
又A，E，C三點共線，且
則，則，解之得
【小問2詳解】
設點A坐標為，則
又平行四邊形中，
則，解之得，故點A坐標為
16. 已知函數(shù)．
（1）求的最小正周期及單調遞增區(qū)間；
（2）求在區(qū)間上的最大值及相應的的值．
【答案】（1）最小正周期；單調遞增區(qū)間
（2）時，有最大值.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式以及輔助角公式化簡，令
即可求單調增區(qū)間；
（2）計算的范圍，結合正弦函數(shù)圖象可得最大值.
【小問1詳解】
，
則的最小正周期為，
，解得，
故的單調遞增區(qū)間為
【小問2詳解】
，則，
結合正弦函數(shù)圖象可知，當，即時，有最大值.
17. 已知，且，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)和二倍角公式可求得，，根據(jù)，利用兩角和差正弦公式可求得結果；
（2）根據(jù)同角三角函數(shù)可求得，由，結合兩角和差余弦公式和的范圍可求得結果.
【詳解】（1），，，
，
，
；
（2），，，
；
，，.
18. 如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AD的中點，，BE與AC，AF分別相交于M，N兩點．
（1）若，求的值；
（2）若，，求；
（3）若，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)根據(jù)平面向量基本定理計算即可；
(2)根據(jù)平面向量基本定理結合三點共線求出向量最后根據(jù)數(shù)量積求出模長；
(3)應用平面向量基本定理表示向量，再應用垂直計算結合基本不等式求出最值即可.
【小問1詳解】
因為四邊形是平行四邊形，
所以，
所以所以.
【小問2詳解】
因為為中點，四邊形為平行四邊形，
所以.
因為，所以.
設，
則，
，
因為共線，共線，
所以，
解得，
所以，
因為，，
所以，
所以.
【小問3詳解】
因為，，
，
所以，
所以，
又因為，
所以，
所以，當且僅當時取等號，
所以最小值為.
【點睛】方法點睛：把向量用基底表示，再應用向量的數(shù)量積公式計算后結合基本不等式求出最值即可.
19. 已知函數(shù)．
（1）求方程在上的解集；
（2）求證：函數(shù)有且只有一個零點，且
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用余弦二倍角公式化簡方程，再結合輔助角公式即可
（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質分區(qū)間研究函數(shù)，然后再進行隱零點代換，換元即可證明
【小問1詳解】
所以.
所以或
當時,,則,又,所以
當,則,又.
所以或,所以
所以方程在上的解集為
【小問2詳解】
設
當,則,此時在單調遞增
在也單調遞增,所以在單調遞增
所以在時有唯一零點
當,所以
所以在沒有零點
當時,,所以,所以
所以在沒有零點
綜上,在有唯一零點
所以,且,所以
所以
令,因為,所以
又,則
所以
【點睛】方法點睛：含有三角函數(shù)、指數(shù)對數(shù)的零點問題，一般要根據(jù)三角函數(shù)圖像特點劃分區(qū)間，分段研究

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