一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若，，與的夾角是，則（ ）
A. 12B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的計(jì)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由題意，向量，，與的夾角是，
所以.
故選：C.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和差正弦公式.
【詳解】因，則
故選：C
3. 在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式，結(jié)合二倍角的余弦公式即可求解.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓交于點(diǎn)，
所以.
所以.
故選：B.
4. 設(shè)向量，為互相垂直的單位向量，若向量與垂直，則（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量垂直，得數(shù)量積為0，計(jì)算可得．
【詳解】向量，為互相垂直的單位向量，則，
向量與垂直，則，
．
故選：C．
5. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知等式求出，利用差角的正切公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，即
故選：C
6. 在中，為邊上的中線(xiàn)，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，以及向量加減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，即可得出答案.
【詳解】
因?yàn)?，所?br>由已知可得，，
所以，，
所以，.
故選：A.
7. 已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，，是其圖象上的兩點(diǎn)，那么 的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由題意可得，，所要解的不等式等價(jià)于，再利用單調(diào)性脫掉，可得，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即可求解.
【詳解】由可得，
因?yàn)?，是函?shù)圖象上的兩點(diǎn)，
所以，，所以，
因?yàn)槭嵌x在上增函數(shù)，
可得，解得：，
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，
所以原不等式的解集為，
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是將要解得不等式轉(zhuǎn)化為利用單調(diào)性可得.
8. 已知函數(shù)，其中.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】若在區(qū)間上單調(diào)遞增，滿(mǎn)足兩條件：①區(qū)間的長(zhǎng)度超過(guò)；②的整體范圍在余弦函數(shù)的增區(qū)間內(nèi)，取合適的整數(shù)k求出ω的取值范圍.
【詳解】，
∵函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
∴，∴，
∵，∴，
若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，
解得，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椋?
故選：A
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列命題中，正確的命題有（ ）
A. 是共線(xiàn)的充要條件B. 若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得
C. 若，則或D. 若與反向，則
【答案】CD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)向量的共線(xiàn)及模長(zhǎng)關(guān)系進(jìn)行判斷；B選項(xiàng)，根據(jù)向量的共線(xiàn)性質(zhì)判斷；C選項(xiàng)，根據(jù)平面向量數(shù)乘運(yùn)算判斷；D選項(xiàng)，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算律，結(jié)合夾角計(jì)算判斷.
【詳解】若，同向共線(xiàn)時(shí)，，則不相等，
所以不是共線(xiàn)的充要條件，故A不正確；
若向量為零向量，為非零向量，則，共線(xiàn)時(shí)，不存在實(shí)數(shù)，使得成立，故B不正確；
若，則或，故C正確；
因?yàn)槭堑膴A角，
若與反向，則，所以，故D正確．
???????故選：CD.
10. 下列化簡(jiǎn)正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，由正切的和角公式化簡(jiǎn)得到答案；B選項(xiàng)，由余弦二倍角公式求出答案；C選項(xiàng)，由正切二倍角公式進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，通分后，利用輔助角公式，倍角公式和誘導(dǎo)公式求出答案.
【詳解】A選項(xiàng)，，即，
化簡(jiǎn)得：，A正確；
B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，，C正確；
D選項(xiàng)，，D錯(cuò)誤.
故選：AC
11 已知函數(shù)，則（ ）
A. B. 的最小正周期為
C. 的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)D. 的最大值為
【答案】BC
【解析】
【分析】將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)形式，結(jié)合函數(shù)的圖象以及該函數(shù)奇偶性、對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】由于，
所以，
即，
如圖所示：
對(duì)于選項(xiàng)A，，，不滿(mǎn)足，選項(xiàng)A不正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，，結(jié)合圖象，的最小正周期為，選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，，
的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，由于，，的最大值為，選項(xiàng)D不正確；
故選：BC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知平面向量，不共線(xiàn)，且，，，若，，三點(diǎn)共線(xiàn)，則______.
【答案】1
【解析】
【分析】先根據(jù)向量的減法法則表示出，然后根據(jù)向量的共線(xiàn)定理進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】依題意得，，
由三點(diǎn)共線(xiàn)可知，存在，使得，即，
由于，是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，則，
解得.
故答案為：1.
13. 公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過(guò)研究正五邊形和正十邊形，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值（記為m）也可以表示為．若，則________．
【答案】
【解析】
【分析】先得到，故利用輔助角公式化簡(jiǎn)得到.
【詳解】，，故，
故
.
故答案為：
14. 如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，P、Q分別為邊AB、AD延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，，且，則PQ的最小值為_(kāi)_____.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，用分別表示，再利用和角的正切及均值不等式求解作答.
【詳解】依題意，，
顯然，由得：，
即，整理得，
在中，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以PQ的最小值為2.
故答案為：2
四、解答題：本共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. （1）已知且，求的值；
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）先由，求出，再通過(guò)構(gòu)造角，利用和角的正弦公式求出即可；
（2）先由誘導(dǎo)公式求出，再求出，再由二倍角公式求出，再由誘導(dǎo)公式及和角的余弦公式求即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>所以
.
（2）因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?br>所以，
所以，
，
所以
.
16. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊與單位圓分別交，兩點(diǎn)．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由題得得，，，，再利用和角的余弦公式求解；（2）先求出，再利用差角的正弦公式計(jì)算求解.
【詳解】（1）由，，
得，，，，
則．
（2）由已知得，．
∵，，∴，∵，∴，
則
，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查和角的余弦公式和差角的正弦公式，考查同角的平方關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.
17. 如圖，在菱形中，分別是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè)．
（1）用表示；
（2）求的余弦值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，利用向量加法的三角形法則，即可求出結(jié)果；
（2）利用，分別求出，，再利用數(shù)量積的定義，即可求出結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
，
【小問(wèn)2詳解】
根據(jù)題意，由（1）可得，
在平行四邊形中，，即為等邊三角形，所以，則，即，
則
，
因?yàn)椋?br>，
所以.
18. 已知函數(shù)．
（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將的圖象向左平移個(gè)單位后，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到的圖象，若，求m的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩角差的正弦及余弦公式化簡(jiǎn)得出，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間化簡(jiǎn)求解；
（2）先根據(jù)平移得出，再應(yīng)用有解得出，最后應(yīng)用正弦函數(shù)值域結(jié)合二次函數(shù)值域即可求解；
【小問(wèn)1詳解】
，
所以的周期為，
由得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．
【小問(wèn)2詳解】
圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位后，得到
再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，
令，則
，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為
所以，解得或，故的取值范圍為．
19. 設(shè)次多項(xiàng)式，若其滿(mǎn)足，則稱(chēng)這些多項(xiàng)式為切比雪夫多項(xiàng)式． 例如：由可得切比雪夫多項(xiàng)式，由可得切比雪夫多項(xiàng)式．
（1）若切比雪夫多項(xiàng)式，結(jié)合，求實(shí)數(shù)，，，的值；
（2）利用，結(jié)合（1）的結(jié)論，求的值；
（3）已知函數(shù)在區(qū)間上有個(gè)不同的零點(diǎn)，分別記為，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）0
【解析】
【分析】（1）結(jié)合定義可得，利用兩角和余弦公式和二倍角余弦公式，平方關(guān)系將右側(cè)化為的表達(dá)式，對(duì)比可求結(jié)論；
（2）由（1），再結(jié)合二倍角正弦公式，平方關(guān)系化簡(jiǎn)方程可求結(jié)論；
（3）令?，由條件結(jié)合（1）可得，由此可求，再結(jié)合誘導(dǎo)公式兩角和余弦公式求結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，?
?，
因此?，即?，則?．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，
因?yàn)?，?，
即?，
因?yàn)?，解得?（?舍）．
【小問(wèn)3詳解】
函數(shù)?在區(qū)間?上有個(gè)不同的零點(diǎn)?，
即方程?在區(qū)間?上有個(gè)不同的實(shí)根，
令?，由?知?，而?，則?或?或?，
于是?，
則?，
而?，
所以?．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類(lèi)比方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.

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