1.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式化角，再根據(jù)兩角差正弦公式化簡(jiǎn)求值.
【詳解】
,選C.
【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基本題.
2. 下列四個(gè)函數(shù)中以為最小正周期且為奇函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，函數(shù)不是周期函數(shù)；BC選項(xiàng)，不滿(mǎn)足奇偶性；D選項(xiàng)滿(mǎn)足要求.
【詳解】A選項(xiàng)，函數(shù)圖象如下：
不是周期函數(shù)，
BC選項(xiàng)，與是偶函數(shù)，
D選項(xiàng)，的周期為且，
故為奇函數(shù)，D正確.
故選：D．
3. 已知，都銳角，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到，，湊角法得到答案.
【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，?br>所以
.
故選：C
4. （ ）
A B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)兩角和的正切公式以及誘導(dǎo)公式求得正確答案.
【詳解】，
，
所以，
所以
故選：A
5. 2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi)，會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)．弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖），如果小正方形的邊長(zhǎng)為1，大正方形的邊長(zhǎng)為5，直角三角形中較大的銳角為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求出和的值，利用兩角和與差的三角函數(shù)公式求出結(jié)果即可.
【詳解】由題意可知，設(shè)直角三角形兩直角邊為a，，
則，解得，
，
，
故選：B
6. 把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像.則函數(shù)的一個(gè)解析式為（ ）
A. 2B. 2
C. 2D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】將函數(shù)的圖像所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即得解.
【詳解】將函數(shù)的圖像所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，
得到，再把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
得到.
故選：B
7. 若中，，則此三角形的形狀是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等邊三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)和與差的正弦公式，即可判斷三角形的形狀.
【詳解】中，，
已知等式變形得，
，
即，
整理得，即，
或（不合題意，舍去）．
，，
則此三角形形狀為直角三角形．
故選：A
8. 在銳角三角形中，，則的最小值是（ ）.
A. 3B. C. D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)可得，將化成，即可根據(jù) 的范圍求解
【詳解】∵，∴，
∴，
∴，
∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
∴.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換的應(yīng)用，考查基本不等式求最值，屬于中檔題.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義分別求出的值，再利用二倍角公式計(jì)算即可一一判斷.
【詳解】由題意，,
對(duì)于A項(xiàng)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，因，，則，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確.
故選：BD.
10. 下列計(jì)算結(jié)果正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用三角恒等變換逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】，A正確；
，B正確；
，C錯(cuò)誤；
由，
可得
，D正確；
故選：ABD
11. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)
C. 函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖象
D. 若方程在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)圖象確定函數(shù)的解析式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．
【詳解】對(duì)于A：由圖可知，，所以，
所以，則，
將點(diǎn)代入得：，
所以，，又，所以，
所以，A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，
可得函數(shù)，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以函?shù)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
由條件結(jié)合圖象可知，于是，
所以，故D正確．
故選：ACD．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式求出，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算即得.
【詳解】由，得，則，，
由，解得，而，
所以.
故答案為：
13. 已知，則的值為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】
【分析】由兩角和差的正弦公式及輔助角、二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可.
【詳解】因?yàn)椋?jiǎn)得
所以
故答案為：
14. 已知函數(shù)在上恰好有7個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】先化簡(jiǎn)為，令，即在上恰有7個(gè)不相等的實(shí)根，由的性質(zhì)可得解
【詳解】，令，
，
，
由題意在上恰有7個(gè)零點(diǎn)，即在上恰有7個(gè)不相等的實(shí)根，
即，或，，
當(dāng)時(shí)，，
…
當(dāng)，.
由的性質(zhì)可得，
解得．
故答案為：
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15 化簡(jiǎn)求值
（1）已知，求值
（2）已知，且．求
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先求得，再由倍角公式求的值；
（2）先求得的值，再求得的值，從而可求得的值.
【小問(wèn)1詳解】
由得，
因?yàn)?，所以，?br>故.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?，
所以
所以
因?yàn)?，所?
16. 已知，.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用兩角差正切公式求得，然后化弦為切及二倍角公式，結(jié)合“1”的代換化弦為切求解即可；
（2）先利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得，然后利用兩角和正切公式求值，最后根據(jù)角的范圍確定角的大小.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，?br>所以，解得，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，且，所以，所?
所以，
又因?yàn)?，，所以，所?
17. 已知函數(shù)的最大值為3．
（1）若的定義域?yàn)?，求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和
（2）
【解析】
分析】（1）利用二倍角公式將化簡(jiǎn)并利用最值可得，再由三角函數(shù)單調(diào)性解不等式即可求得單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）代入解析式可求得，再根據(jù)同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系以及二倍角等公式即可求得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
將化簡(jiǎn)可得，
因?yàn)?，所以?br>此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
令．得；
令，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知．
由，得，
所以．又因?yàn)椋裕?br>所以．
所以，
，
所以
.
18. 已知函數(shù)，其中.如圖是函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，A為圖象的最高點(diǎn)，為圖象與x軸的交點(diǎn)，為等邊三角形，且是偶函數(shù).

（1）求函數(shù)的解析式；
（2）解不等式，實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（3）若在只有兩條對(duì)稱(chēng)軸，求m的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)正三角形求出周期，結(jié)合偶函數(shù)可求，進(jìn)而得到答案；
（2）化簡(jiǎn)不等式，利用正弦函數(shù)性質(zhì)解不等式即可.
（3）令，可得圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，從而可知，求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由可知，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為；
因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，即函?shù)的周期，所以，
所以，
因?yàn)椋?，又是偶函?shù)，所以，
所以，所以.
【小問(wèn)2詳解】
不等式即，所以，
所以，
所以實(shí)數(shù)x的取值范圍；
【小問(wèn)3詳解】
令，解得，
所以圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，所以當(dāng)時(shí)，兩相鄰的對(duì)稱(chēng)軸為，
因?yàn)樵谥挥袃蓷l對(duì)稱(chēng)軸，所以，
故m的取值范圍為.
19. 某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費(fèi)者，工藝品的平面設(shè)計(jì)如圖所示，該工藝品由直角和以為直徑的半圓拼接而成，點(diǎn)P為半圈上一點(diǎn)（異于），點(diǎn)H在線(xiàn)段上，且滿(mǎn)足.已知，設(shè).
（1）為了使工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果，需滿(mǎn)足，且達(dá)到最大，當(dāng)為何值時(shí)，工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果；
（2）為了工藝禮品達(dá)到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿(mǎn)足，且達(dá)到最大.當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求該最大值.
【答案】（1）
（2），最大值為
【解析】
【分析】（1）由，則在直角中，，，計(jì)算得到，計(jì)算最值得到答案.
（2）計(jì)算，得到，得最值.
【小問(wèn)1詳解】
由，在直角中，，；
在直角中，，
；
，
所以當(dāng)，即時(shí)，的最大值為，
即時(shí)，工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果；
【小問(wèn)2詳解】
在直角中，由，
可得；
在直角中，，
所以，，
所以
，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為.

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