一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 和相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用誘導公式將三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)，逐項判斷即可.
【詳解】，
對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D正確.
故選：D
2. 函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】通過方程解的個數(shù)即判斷交點個數(shù).
【詳解】若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點，
則方程在上有解，
因為方程在上的解為和，
所以兩函數(shù)圖象有2個交點.
故選：C
3. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用的奇函數(shù)定義列式即可求.
【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
所以.
故選：A
4. 已知黃金分割比m還可表示為，則等于（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，將代入，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，兩角差的正弦公式及倍角公式進行運算，即可求解.
【詳解】由已知，
.
故選：B.
5. 已知（為銳角），則等于（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由得出，由，利用和角公式即可求.
【詳解】因為為銳角，所以，
又，所以，
所以，
所以
.
故選：C
6. 已知為奇函數(shù)，且，則函數(shù)圖象的一條對稱軸方程是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由奇函數(shù)定義求出，由對稱軸方程判斷選項即可.
【詳解】因為為奇函數(shù)，
所以，即，
所以，即，
所以，
所以，因為，
所以，
當時， ；當時， ，
因為兩種情況下函數(shù)的對稱軸相同，不妨設(shè)，
由，得，，
當時，.
故選：D
7. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷即可.
【詳解】當，時，成立，但，
故“”不是“”的充分條件；
當時，，
所以，，
故“”是“”的必要條件，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
8. 已知函數(shù)在上恰有3個零點（包含），則正整數(shù)ω的值為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，將看成整體，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)以及為正整數(shù)確定的值即可.
【詳解】因為且，所以，
因為函數(shù)在上恰有3個零點，
所以，解得，又因為為正整數(shù)，
所以.
故選：A
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列各式中，值為的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A，特殊角三角函數(shù)值代入即可；對于B，利用余弦的二倍角公式化簡計算即可；對于C，利用兩角差的正弦公式化簡求值即可；對于D，利用正切的倍角公式化簡即可.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D正確.
故選：ABD
10. 若，則的可能值有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式可知，，選項代入進行判斷即可.
【詳解】因為，
又，
則且，
選項中，當 或時均符合，當 或時不符合.
故選：BD.
11. 關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 函數(shù)的圖象關(guān)于對稱B. 函數(shù)的值域是
C. 函數(shù)在上單調(diào)遞減D. 函數(shù)的最小正周期為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A，計算即可；對于D，由周期函數(shù)定義判斷即可；對于B，由B可知，只需求在上的值域即可，令，結(jié)合二次函數(shù)即可求；對于C，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷即可.
【詳解】對于A，因為，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，故A正確；
對于D，因為，
所以為函數(shù)的周期，
結(jié)合誘導公式可知，為函數(shù)的最小正周期，故D正確；
對于B，由D可知，要求的值域，只需求在上的值域，
因為，
令，
所以，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因為，；，，
所以函數(shù)的值域是，故B錯誤；
對于C，當時，，且在上單調(diào)遞減，
由C可知，上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 函數(shù)的定義域為______．
【答案】，
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0，正切函數(shù)圖象性質(zhì)解決即可.
【詳解】由題知，，
所以，即，解得，
所以函數(shù)的定義域為，
故答案為：，
13. 已知，則______．
【答案】7
【解析】
【分析】由題意結(jié)合平方關(guān)系求出，利用倍角公式化簡所求式子代入即可求.
【詳解】因為，
所以，又因為，，
所以，
所以
故答案為：7
14. 已知，滿足，則當______時，取最大值．
【答案】##
【解析】
【分析】首先利用三角函數(shù)的兩角差公式對展開，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及弦化切結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】因為，
則，
所以.
即.
因為，則，
等式兩邊同時除以得，
則，即，
因為，則，
所以，
因為，所以，
則，
當且僅當，即時等號成立.
所以當時取最大值.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知為銳角，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用平方關(guān)系計算即可；
（2）利用正切的倍角公式即可計算；
（3）由于，利用正切差角公式計算即可.
【小問1詳解】
因為為銳角，
所以，
所以；
【小問2詳解】
因為，
所以；
【小問3詳解】
由（1）知，，，
所以，
所以.
16. 已知函數(shù)．
（1）將表示為的形式，并求其最小正周期；
（2）若，求的對稱中心；
（3）求在區(qū)間上的最大值和最小值以及對應(yīng)的x值．
【答案】（1）；
（2）對稱中心；
（3）,.
【解析】
【分析】(1)根據(jù)進行變形化簡，求出最小正周期；（2）根據(jù)余弦型函數(shù)求解對稱中心；（3）根據(jù)單調(diào)性求解在最小值與最大值與對應(yīng)的值.
【小問1詳解】
所以最小正周期
【小問2詳解】
，由，
對稱中心橫坐標，，，
所以
故對稱中心為；
【小問3詳解】
由 ，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以，此時，
，此時，
17. 在中，．
（1）求及的值；
（2）若，求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角范圍與同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，二倍角公式，結(jié)合兩角和的正弦、余弦公式即可求解；
（2）利用三角形的內(nèi)角之間關(guān)系及范圍與同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，兩角和的余弦公式即可求解.
【小問1詳解】
在中，因為，又，
則，，
，
所以，
.
【小問2詳解】
在中，因為，則是銳角，
又，則，
因為，，則是銳角，
所以，
在中，，
所以
.
18. 如圖，一個半徑為R的摩天輪，其圓心為坐標原點O，一個座艙從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)．已知旋轉(zhuǎn)一周用時60分鐘，經(jīng)過t分鐘后，座艙旋轉(zhuǎn)到點，其縱坐標滿足．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若摩天輪最低點到地面距離為2米，在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間，座艙P距離地面的高度不低于242米？
（3）若摩天輪旋轉(zhuǎn)周期變?yōu)門分鐘，且在上單調(diào)遞增，求T的取值范圍．
【答案】（1）
（2）20分鐘 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)求，由求，由當時，座艙在點處，求，即得解析式；
（2）由（1）得到座艙到地面的距離，由題意列不等式即可求解；
（3）由求出，結(jié)合正弦曲線求出單調(diào)增區(qū)間，由于，可得，由此求解.
【小問1詳解】
由圖可知，，
又周期，所以，
所以
當時，座艙在點處，
所以，即
因為，所以，
所以函數(shù)的解析式.
【小問2詳解】
因為摩天輪最低點到地面距離為2米，
所以座艙到地面的距離為，
由題意，即，
所以，解得，
整理得，
在一個周期內(nèi)，當時，，
所以座艙P距離地面的高度不低于242米的時間為分鐘.
【小問3詳解】
因為，所以，
所以，
由得，
所以得單調(diào)遞增區(qū)間為
因為在上單調(diào)遞增，且，
所以，
所以，即，
所以T的取值范圍．
19. 已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象上的點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮傧蜃笃揭苽€單位長度，得到函數(shù)的圖象．
（1）寫出函數(shù)的解析式；
（2）試判斷大??；
（3）如果函數(shù)的定義域為D，若對于任意分別為某個三角形的邊長，則稱為“三角形函數(shù)”．記，當定義域為時，為“三角形函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)圖象變換求出解析式即得.
（2）利用差角的正弦公式，三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合不等式性質(zhì)判斷的大小及所在區(qū)間，再利用余弦函數(shù)單調(diào)性比較得解.
（3）由（1）求出函數(shù)在上的最大最小值，再利用“三角形函數(shù)”定義分類列出不等式求解即得.
【小問1詳解】
依題意，將函數(shù)的圖象上的點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象，
再把所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，
所以函數(shù)的解析式為.
【小問2詳解】
顯然，
又，而，則，
因此，
令，，且當時，，
在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，
所以，即.
【小問3詳解】
由（1）知，，
所以
當時，，則，
依題意，為“三角形函數(shù)”，當且僅當，
① 當時，，恒有，
此時，滿足，則符合題意；
② 當時，，則
由，得，解得，則；
③ 當時，，
則需使，即，
由，得，解得，因此.
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
注意事項
學生在答題前，請認真閱讀本注意事項及各題答題要求：
1．本卷共4頁，包含單項選擇題（第1題~第8題）、多項選擇題（第9題~第11題）、填空題（第12題~第14題）、解答題（第15題~第19題）．本卷滿分150分，答題時間為120分鐘答題結(jié)束后，請將答題卡交回．
2．答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、考號等信息用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置．
3．請在答題卡上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效．作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆請注意字體工整，筆跡清楚．

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