2021-2022學(xué)年江蘇省揚州中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】由可得，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，故選：C2．已知，向量與的夾角為，則（       ）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】由已知先求出，然后根據(jù)，代值即可求解.【詳解】∵，向量與的夾角為∴∴，故選：D.3．在中，，，的面積為，則為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件，先根據(jù)三角形面積公式求出的值，然后利用余弦定理求出的值，即可得的值.【詳解】解：在中，因為，，的面積為，所以，所以，因為，所以，所以.故選：B.4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（       ）A．A=30°，B=45°，c=5 B．a=4，b=5，C=60°C．a=8，，B=45° D．a=6，b=8，A=30°【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)條件和三角形解的個數(shù)的判定方法，逐項判定，即可求解，得到答案.【詳解】對于選項A中：由A=30°，B=45°，c=5，所以，再利用正弦定理可求，顯然只有一解；對于選項B中：由余弦定理可得，所以只有一解；對于選項C中：因為，且，所以只有一解；對于選項D中：因為，且，所以角有兩解.故選：D.5．已知，，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系和角的范圍可求得，進(jìn)而結(jié)合二倍角公式可求得，根據(jù)角的范圍可進(jìn)一步求得，，由，利用兩角和差正弦公式可求得結(jié)果.【詳解】，，又，，，，解得：，，，，，，.故選：B.6．已知函數(shù)是奇函數(shù)且當(dāng)時是減函數(shù)，若，則函數(shù)的零點共有（    ）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)y=f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，則f（0）=0，當(dāng)x∈（0，+∞）時是減函數(shù)，且f（1）=0，則函數(shù)在（0，+∞）上只有一個零點，若函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)且當(dāng)x∈（0，+∞）時是減函數(shù)，則f（x）在（-∞，0）為減函數(shù)，又由f（1）=0，則f（-1）=-f（1）=0，則函數(shù)在（-∞，0）上只有一個零點，故函數(shù)y=f（x）共有3個零點，依次為-1、0、1，對于函數(shù)，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，解得或， 當(dāng)時，解得或. 故函數(shù)的零點共有7個.故選D點睛：本題考查函數(shù)的零點的判斷，涉及函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合運用，關(guān)鍵是分析得到函數(shù)y=f（x）的零點，注意計算的準(zhǔn)確性.7．已知外接圓圓心為，半徑為，，且，則向量在向量上的投影向量為(       )A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可知△ABC為直角三角形，向量在向量上的投影向量為．【詳解】由知為中點，又為外接圓圓心，，，，，，，∴在向量上的投影為：，向量在向量上的投影向量為：．故選：D．8．已知向量滿足，，若向量與向量的夾角為，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)得到兩個向量的夾角為.建立平面直角坐標(biāo)系.得到，根據(jù)向量與向量的夾角為判斷出在以為圓心，半徑為的圓上，根據(jù)可知對應(yīng)的軌跡為，不包括兩點，由此可求得的取值范圍.【詳解】由于，.以方向為軸建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示.其中.故.由于向量與向量的夾角為，則在以為弦，并且所對應(yīng)的圓周角為的圓弧上.由于,根據(jù)對稱性有,，由于直角對的弦為直徑，故以為直徑的圓圓心為，半徑為，根據(jù)可知對應(yīng)的軌跡為，不包括兩點.而，所以表示的幾何意義是上的點，到的距離.根據(jù)可知，最遠(yuǎn)距離為圓心到的距離再加上半徑，即，所以的取值范圍是，故選B.【點睛】本小題主要考查平面向量數(shù)量積，考查平面向量的幾何意義，考查向量的模，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性很強，屬于難題. 二、多選題9．下列式子等于的是（       ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，即可判斷A，B不正確；根據(jù)三角恒等變換，即可判斷C正確；根據(jù)余弦的二倍角公式，即可判斷D正確，由此即可得到答案.【詳解】，故A不正確；，故B不正確；，故C正確；，故D正確.故選：CD.10．下列命題為真命題的是（       ）A．若互為共軛復(fù)數(shù)，則為實數(shù)B．若i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，則C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為D．復(fù)數(shù)為的虛部為－1【答案】AD【分析】設(shè)做乘法運算可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)乘方的周期性計算可判斷B；化簡求出共軛復(fù)數(shù)可判斷C，由復(fù)數(shù)的概念可判斷D，【詳解】設(shè)，則為實數(shù)，A選項正確.，B選項錯誤.，其共軛復(fù)數(shù)是，C選項錯誤.的虛部為，D選項正確.故選：AD.11．已知的重心為G，點E是邊上的動點，則下列說法正確的是（       ）A．B．若，則的面積是面積的C．若，，則D．若，，則當(dāng)取得最小值時，【答案】BCD【分析】根據(jù)三角形重心的向量性質(zhì)判斷A，由向量的線性運算求得與的關(guān)系，判斷B，由數(shù)量積的定義計算判斷C，設(shè)，計算數(shù)量積后求最小值，從而可計算出判斷D．【詳解】因為的重心為G，所以，所以，A錯；，B正確；，， 是等腰三角形，，是銳角，，，，C正確；設(shè)，，，所以時，取得最小值，此時，D正確．故選：BCD．12．由倍角公式，可知可以表示為的二次多項式．一般地，存在一個（）次多項式（），使得，這些多項式稱為切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多項式．運用探究切比雪夫多項式的方法可得（       ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】通過求，來判斷出正確選項.【詳解】，所以，A錯誤.，所以，B正確..所以，由于，所以，由于，所以，所以由解得，所以，C正確.，所以D錯誤.故選：BC【點睛】三角函數(shù)化簡求值問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意，利用三角恒等變換的公式進(jìn)行化簡. 三、填空題13．利用二分法求的零點時，第一次確定的區(qū)間是，第二次確定的區(qū)間是___________.【答案】(1，1.5)(1，)【分析】根據(jù)二分法的原理，判斷兩個端點函數(shù)值正負(fù)以及兩個端點的中點處函數(shù)值正負(fù)即可得到答案．【詳解】由題可知f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，∵f()＝f(1.5)＝1.375＞0，∴f(x)零點應(yīng)該在(1，1.5)上．故答案為：(1，1.5).14．平面凸四邊形中，，，，， (為常數(shù))，若滿足上述條件的平面凸四邊形有且只有2個，則的取值范圍是______.【答案】【分析】本題通過正余弦定理解三角形，把問題轉(zhuǎn)化到中，可解決此題．【詳解】解：如下圖所示：在中：，，，由余弦定理得，；由正弦定理得，，即，，，，．過點作，垂足為，則．作關(guān)于的對稱線段，點在上，則，．若滿足條件的平面凸四邊形有且只有2個，則的取值范圍是．故答案為：．15．折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形，其中，，點在弧上，則的最小值是___________.【答案】【分析】取中點為，用表示目標(biāo)向量，結(jié)合向量數(shù)量積的定義，結(jié)合的范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】連接，取其中點為，連接，如下所示：在△中，，故可得，由圖可知當(dāng)且僅當(dāng)重合時，取得最大值1，此時取得最小值.故答案為：.【點睛】本題考察平面向量數(shù)量積的范圍問題，解決問題的關(guān)鍵是用表示目標(biāo)向量，數(shù)形結(jié)合求解，屬中檔題.16．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點?點（其中為常數(shù)，且），點為坐標(biāo)原點.如圖，設(shè)點是線段的等分點，則當(dāng)時，=___________.（用含的式子表示）【答案】【分析】根據(jù)對稱性以及向量加法的平行四邊形法則，將式子化簡，再求模長即可.【詳解】設(shè)AB的中點為M,則當(dāng)時，由對稱性可知:.故答案為:. 四、解答題17．已知，，.(1)求與的夾角；(2)若，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知的模長、數(shù)量積等式，首先求出數(shù)量積，然后再代入夾角公式求解，進(jìn)一步得出；（2）兩向量垂直的等價形式是數(shù)量積為，建立關(guān)于的方程式求解即可.【詳解】(1)，又，，， ，又，；(2)由（1）知：， 即：解得：.18．已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位.(1)若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值；(2)若滿足，求的值.【答案】(1)或(2)【分析】①根據(jù)純復(fù)數(shù)的定義:實部為0，虛部不等于0，列出方程即可求解.②設(shè)，代入式子化簡，根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件即可列出式子進(jìn)行求解.【詳解】(1)因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以滿足:解得:或(2)設(shè)，則，將其帶入中得:，整理得:，，解得:，解得:19．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若___________.(1)求A；(2)若點M在線段AC上，∠ABM=∠CBM，，且，求c.【答案】(1)(2)【分析】（1）選①利用正弦定理及兩角和的正弦公式可得即求，選②利用正弦定理及余弦定理可得即求，選③利用兩角和正切公式可得即求角A；（2）利用二倍角公式可求，再利用正弦定理即求.【詳解】(1)選①，由，可得，∴，又，∴，又，∴.選②，由得，，∴，∴，又，∴.選③，由題可知，∴又，∴，又，∴.(2)∵，即，∴，又點M在線段AC上，∠ABM=∠CBM，，∴，在△ABM中，，由正弦定理可得，，∴.20．由于2020年1月份國內(nèi)疫情爆發(fā)，經(jīng)濟(jì)活動大范圍停頓，餐飲業(yè)受到重大影響．6月初政府在個別地區(qū)推行地攤經(jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)以刺激消費和促進(jìn)就業(yè)．某商場經(jīng)營者吳某準(zhǔn)備在商場門前“擺地攤”，經(jīng)營冷飲生意．已知該商場門前是一塊角形區(qū)域，如圖所示，其中，且在該區(qū)域內(nèi)點R處有一個路燈，經(jīng)測量點R到區(qū)域邊界，的距離分別為，，（m為長度單位）．吳某準(zhǔn)備過點R修建一條長椅（點M，N分別落在，上，長椅的寬度及路燈的粗細(xì)忽略不計），以供購買冷飲的人休息．（1）求線段的長；（2）為優(yōu)化經(jīng)營面積，當(dāng)等于多少時，該三角形區(qū)域面積最?。坎⑶蟪雒娣e的最小值．【答案】（1）；（2）當(dāng)時，三角形面積取最小值為．【分析】（1）連接，連結(jié)，在中，由余弦定理求得，再由正弦定理求；（2）由三角形的面積相等可得，再由基本不等式求的最小值，即可求得三角形面積的最小值．【詳解】（1）連接，連結(jié)，∵，，，∴，在中，由余弦定理：，則，∵，∴S，T均在以為直徑的圓上，因此為的外接圓直徑，由正弦定理知：；所以線段的長為；（2）由，，∴，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，∴．故當(dāng)時，三角形面積取最小值為．21．已知O為坐標(biāo)原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，試求的相伴特征向量；（2）記向量的相伴函數(shù)為，求當(dāng)且，的值；（3）已知，，為的相伴特征向量，，請問在的圖象上是否存在一點P，使得.若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，點.【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)得，根據(jù)題意可可得特征向量；（2）根據(jù)題意可得相伴函數(shù)，再根據(jù)條件可得，由最終得到結(jié)果；（3）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)則求出的解析式，設(shè)，根據(jù)條件列出方程式求出滿足條件的點P坐標(biāo)即可.【詳解】解：（1）的相伴特征向量.（2）向量的相伴函數(shù)為，，.，，..（3）由為的相伴特征向量知：.所以.設(shè)，，，，又，.，，，.又，當(dāng)且僅當(dāng)時，和同時等于，這時式成立.在圖像上存在點，使得.【點睛】關(guān)鍵點點睛：熟練使用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、三角恒等變換是本題的關(guān)鍵.本題還考查了三角函數(shù)圖象變換后的解析式以及向量垂直的數(shù)量積關(guān)系，屬于中檔題.22．已知函數(shù)，，用表示中的最小值，設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時，若有兩個零點，求的取值范圍；(2)討論零點的個數(shù).【答案】(1)(2)當(dāng)或時，有1個零點；當(dāng)或時，有2個零點；當(dāng)時，有3個零點.【分析】（1）先求出的解析式，由有兩個零點，等價成與函數(shù)圖象有兩個交點，由數(shù)形結(jié)合即可得出的取值范圍；（2）結(jié)合的定義，只需判斷，潛在的零點是否符合的定義即可， 有且只有一個零點1，故只需討論的零點情況，即對分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)為：1.中的符號；2.與零點重合的情況；【詳解】(1)當(dāng)時，，令，得，故有兩個零點等價于函數(shù)與函數(shù)圖象有兩個交點， ，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，如圖所示，則可得，得(2)，在單調(diào)遞減，，即存在唯一零點1；，對稱軸為， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，由得，的零點由的符號決定，i．當(dāng)時，即對稱軸，在單調(diào)遞增且，由，結(jié)合的定義，有且只有一個零點1；ii．當(dāng)時，因為，故，由，結(jié)合的定義， 有且只有一個零點1；iii．當(dāng)時，，，存在唯一零點，由，，結(jié)合的定義，有兩個零點為和1；iv．令，得，故，由可解得，故有兩個零點為和1，由，，結(jié)合的定義，有兩個零點為和1；v．當(dāng)時，，，，故有兩個零點，由，，結(jié)合的定義，有三個零點和1，其中；vi．當(dāng)時，，，故有兩個零點，由，，結(jié)合的定義，有且只有一個零點，；綜上所述，當(dāng)或時，有1個零點；當(dāng)或時，有2個零點；當(dāng)時，有3個零點.【點睛】（1）由零點個數(shù)求參數(shù)，可等價成兩個函數(shù)的交點個數(shù)，由數(shù)形結(jié)合求解；（2）結(jié)合的定義，只需判斷，潛在的零點是否符合的定義即可，關(guān)鍵在于根據(jù)，的零點特征來確定分類標(biāo)準(zhǔn)；另外也可以作出大致的圖形輔助判斷.

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