一、單選題
1．已知集合，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由交集、并集、補(bǔ)集的定義即可判斷.
【詳解】解：因?yàn)榧?，，?br>所以，，，，
故選：C.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.
【詳解】解：若，則，
若，當(dāng)時(shí)，，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
3．已知點(diǎn)是第三象限的點(diǎn)，則的終邊位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)即可求出．
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是第三象限的點(diǎn)，所以，故的終邊位于第四象限．
故選：D．
4．若，則下列不等式中不成立的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性質(zhì)即可以逐項(xiàng)判斷正誤.
【詳解】，，即，∴A正確；
，∴，∴，故B錯(cuò)誤；
，∴，故C正確；
，∴，∴，即，故D正確.
故選：B.
5．德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（1805~1859）在1837年時(shí)提出：“如果對(duì)于的每一個(gè)值，總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么是的函數(shù)．”這個(gè)定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵．只要有一個(gè)法則，使得取值范圍中的每一個(gè)，有一個(gè)確定的和它對(duì)應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示，例如狄利克雷函數(shù)，即：當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為1；當(dāng)自變量取無理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為0．以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的性質(zhì)：①；②的值域?yàn)?；③為奇函?shù)；④，其中表述正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】①②可以直接根據(jù)題意得到，③④可以利用題意進(jìn)行推導(dǎo)出.
【詳解】因?yàn)槭菬o理數(shù)，所以，①正確；
的函數(shù)值是1或0，所以的值域?yàn)?，②正確；
若是有理數(shù)，則是有理數(shù)，則，若是無理數(shù)，則是無理數(shù)，則，綜上：是偶函數(shù)，③錯(cuò)誤；
若是有理數(shù)，則是有理數(shù)，則，若是無理數(shù)，則是無理數(shù)，，④正確，所以表述正確個(gè)數(shù)為3.
故選：C
6．函數(shù)的圖像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求解函數(shù)定義域，進(jìn)而化簡為，判斷函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的符號(hào)，通過排除法即可得出結(jié)果．
【詳解】∵，∴函數(shù)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，函數(shù)為奇函數(shù)，由
易得的圖象為A．
故選：A
7．關(guān)于x的不等式的解集是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不等式的解集是，即對(duì)于，恒成立，即，分和兩種情況討論，結(jié)合基本不等式即可得出答案.
【詳解】解：不等式的解集是，
即對(duì)于，恒成立，
即，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br>所以，
綜上所述.
故選：A.
8．設(shè)定義在R上的奇函數(shù)，，都有，記，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由題可構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合條件可知函數(shù)為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，再利用指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，即得.
【詳解】∵，都有，
∴，
令，則當(dāng)時(shí)，有，即，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減,
又函數(shù)為奇函數(shù)，
∴，即函數(shù)為偶函數(shù)，
∴，，，
又，函數(shù)在上單調(diào)遞減,
∴.
故選：D.
二、多選題
9．下列命題是真命題的有（ ）
A．
B．若函數(shù)為奇函數(shù)，則f(0)=0
C．已知3a=4b=12，則
D．若冪函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(，2)，則
【答案】AC
【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷，根據(jù)奇函數(shù)定義可判斷，把指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷，把點(diǎn)，代入函數(shù)的解析式，求出的值可判斷．
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，故選項(xiàng)正確，
對(duì)于選項(xiàng)若函數(shù)是奇函數(shù)，設(shè)的定義域?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)才有，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)：已知，，，
，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)：若冪函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，，則，
，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：．
10．將函數(shù)向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)，則具有性質(zhì)（ ）
A．在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)
B．最大值為1，圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．在上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)
D．周期為，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
【答案】ABD
【分析】化簡得到，分別計(jì)算函數(shù)的奇偶性，最值，周期，軸對(duì)稱和中心對(duì)稱，單調(diào)區(qū)間得到答案.
【詳解】
因?yàn)?，則，所以單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，A 正確，C錯(cuò)誤；
最大值為，當(dāng)時(shí)，，所以為對(duì)稱軸，B正確；
，取，當(dāng)時(shí)滿足，圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D正確；
故選：ABD
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的平移，最值，周期，單調(diào)性 ，奇偶性，對(duì)稱性，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.
11．已知定義在R上函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①，；②，，當(dāng)時(shí)，都有；③.則下列選項(xiàng)成立的是（ ）
A．B．若，則
C．若，D．，，使得
【答案】ACD
【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，對(duì)于A，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值大?。粚?duì)于B，，等價(jià)于，求得參數(shù)范圍；對(duì)于C，若，分類討論求得不等式解集；對(duì)于D，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)存在最大值，從而滿足條件.
【詳解】由①知函數(shù)為偶函數(shù)；由②知，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
則函數(shù)在上單調(diào)遞增；
對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B，，則，解得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，由題知，則當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，故C正確；
對(duì)于D，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)在R上的圖形連續(xù)知，函數(shù)存在最大值，則只需，即可滿足條件，故D正確；
故選：ACD
12．已知函數(shù)（其中），恒成立，且在區(qū)間上單調(diào)，則（ ）
A．是偶函數(shù)．
B．
C．是奇數(shù)
D．的最大值為3
【答案】BCD
【分析】根據(jù)得到，根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到，得到或，故CD正確，代入驗(yàn)證知不可能為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤，由函數(shù)的對(duì)稱性可判斷B，得到答案.
【詳解】∵，，
∴，，
故，，，
由，則，
故，，，
當(dāng)時(shí)，，，
∵在區(qū)間上單調(diào)，
故，故，即，
，故，故，
綜上所述：或，故CD正確；
或，故或，，不可能為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；
由題可知是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故成立，B正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)和參數(shù)的計(jì)算，難度較大，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.
三、填空題
13．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是________
【答案】
【解析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域的求解原則可得出關(guān)于的不等式組，即可解得函數(shù)的定義域.
【詳解】設(shè)，則.
由的定義域?yàn)橹?，?
的定義域?yàn)椋?br>要使函數(shù)有意義，必須滿足，即，解得.
因此，函數(shù)的定義域是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)定義域的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
14．若命題“，使成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.
【答案】
【分析】根據(jù)特稱命題的否命題是真命題，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，即可求解.
【詳解】由題可知“，”為真命題，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，則，所以，
綜上可得.故答案為：.
故答案為：
15．如圖，一個(gè)半徑為4米的筒車按逆時(shí)針方向每2分鐘轉(zhuǎn)1圈，筒車的軸心O距離水面的高度為2米．設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒W到水面的距離為d（單位：米）（在水面下則d為負(fù)數(shù)），若以盛水筒W剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，則d與時(shí)間t（單位：分鐘）之間的關(guān)系式為：．則d與時(shí)間t（單位：分鐘）之間的關(guān)系式為______．
【答案】
【分析】根據(jù)題意求出振幅、周期，利用正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由題意，, 振幅，
, ,
由題意，時(shí)，，即，
所以，又，
，
，
故答案為：
16．函數(shù)滿足且，則稱函數(shù)為M函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，，且，均為M函數(shù)，則方程在區(qū)間上所有根的和為______．（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】
【分析】由條件可得M函數(shù)為周期為，圖象關(guān)于對(duì)稱的函數(shù)，由條件作出函數(shù)，的圖象，觀察圖象確定方程在區(qū)間上所有根，由此可得答案.
【詳解】∵ 函數(shù)為M函數(shù)，
∴ ，
∴ 函數(shù)的周期為，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
同理可得函數(shù)的周期為，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
又當(dāng)時(shí)，，，
∵ 函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
在上為減函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，，
，又，，
∴，故
當(dāng)時(shí)，，，
∴
當(dāng)時(shí)，，，
∴
由此可做函數(shù)，在上的圖象如下：
由圖象可得函數(shù)，的圖象在上有12個(gè)交點(diǎn)，
∴ 方程在區(qū)間上有12個(gè)根，從小到大依次記為
，由圖象知，，，
∴方程在區(qū)間上所有根的和為.
故答案為：
四、解答題
17．已知.
(1)化簡；
(2)若，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡即可.
（2）由題設(shè)有，又、，再由誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求目標(biāo)式的值.
【詳解】(1).
(2)由，
又，，
∴.
18．已知集合.
(1)在①，②，③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）分別對(duì)賦值，利用集合的并集進(jìn)行求解；
（2）先根據(jù)題意得到，再利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行求解，要注意的情形.
【詳解】(1)解：若選擇①:當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所?
若選擇②:當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所?
若選擇③:當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?
(2)解：因?yàn)椋?br>所以.
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
即；
綜上，.
19．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值．
(1)求a的值；
(2)若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，求t的取值范圍．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）分類討論和兩種情況，由其單調(diào)性得出a的值；
（2）令，結(jié)合一元二次方程根的分布得出t的取值范圍．
【詳解】(1)解：當(dāng)時(shí)，，則，故沒有最小值．
當(dāng)時(shí)，由，得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，即．
(2)的圖象如圖所示．
令，則函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，
得
解得，故t的取值范圍為．
20．已知函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度得到的圖像， 圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，的相鄰兩條對(duì)稱軸的距離是.
（1）求在上的增區(qū)間;
（2）若在上有兩解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由的相鄰兩條對(duì)稱軸的距離是，可得函數(shù)的周期，從而得出的值，由平移得出的解析式，根據(jù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可求出的值，從而可求單調(diào)增區(qū)間,得出答案.
（2）令 則，則，根據(jù)有兩解，即有兩解，從而可得答案.
【詳解】解:由的相鄰兩條對(duì)稱軸的距離是，則，
函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，
所以
（1）由，
得，
令得
得
在增區(qū)間是
令，則
所以
若有兩解，即在上有兩解，
由的圖象可得，，即
的取值范圍是
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查求正弦型函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和根據(jù)方程的解個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍問題，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)，由則所以若有兩解，即在上有兩解，然后數(shù)形結(jié)合求解，屬于中檔題.
21．已知函數(shù)是奇函數(shù)．
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)當(dāng)時(shí)，
①判斷的單調(diào)性（不要求證明）；
②對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求正整數(shù)m的最小值．
【答案】(1)或
(2)①在上單調(diào)遞增②3
【分析】（1）依題意可得，即可得到方程，解得即可；
（2）①根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷可得；
②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性可得在上恒成立，由，即可得到不等式，解得的取值范圍，即可得解；
【詳解】(1)解：因?yàn)楹瘮?shù)是一個(gè)奇函數(shù)，
所以，即，
可得，即，
則，得或．此時(shí)定義域?yàn)镽，滿足題意.
(2)①因?yàn)?，所以．函?shù)，定義域?yàn)椋?br>因?yàn)榕c在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．
②對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒成立，，
由①知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
可得在上恒成立．
因?yàn)椋?br>所以，即．
于是正整數(shù)m的最小值為3．
22．對(duì)于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；
(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)n，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)若的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為，且，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)n的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，得到，再利用不動(dòng)點(diǎn)的定義求解；
（2）根據(jù)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為恒有兩個(gè)不等實(shí)根，利用判別式求解；
（3）由題意得到，進(jìn)而得到，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】(1)解：當(dāng)時(shí)，，
設(shè)為不動(dòng)點(diǎn)，因此，
解得或，
所以為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).
(2)因?yàn)楹阌袃蓚€(gè)不動(dòng)點(diǎn)，
即恒有兩個(gè)不等實(shí)根，
整理為，
所以且恒成立.
即對(duì)于任意恒成立.
令，
則，
解得.
(3)因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)，因?yàn)?，所以?br>由P函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
所以.

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