一、單選題（共8題，每題5分，共40分）
1. 已知向量，，則
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】因?yàn)?，所?（5，7），故選A.
考點(diǎn)：本小題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，屬容易題.
2. 已知，，，則（ ）
A A、B、D三點(diǎn)共線 B. A、B、C三點(diǎn)共線
C. B、C、D三點(diǎn)共線D. A、C、D三點(diǎn)共線
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量加法法則，得到，從而可得結(jié)論.
【詳解】，，，
，，與共線，
因?yàn)閮上蛄坑幸粋€(gè)公共點(diǎn)B，、B、D三點(diǎn)共線，故A正確．
由，，可得，
所以不存在使得，故A、B、C三點(diǎn)不共線，故B不正確；
由，，可得，
所以不存在使，故B、C、D三點(diǎn)不共線，故C不正確；
因?yàn)?，?br>所以，
又，可得，
所以不存在使，故A、C、D三點(diǎn)不共線，故D不正確；
故選：A.
3. 在中，已知，，是中線上一點(diǎn)，且，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
假設(shè)，根據(jù)，可得為重心，根據(jù)重心的坐標(biāo)表示，可得結(jié)果.
【詳解】由題意知：是的重心，設(shè)，
則有解得
故.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的重心公式，屬基礎(chǔ)題.
4. 某藥廠為提高醫(yī)藥水平，計(jì)劃逐年增加研發(fā)資金投入，若該公司2022年全年投入研發(fā)資金250萬(wàn)元，之后每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)，則該公司全年投入的研發(fā)資金超過800萬(wàn)元的第一年是（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A. 2033年B. 2032年C. 2031年D. 2030年
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)條件得到從而2020年起第年投入的研發(fā)資金的表達(dá)式，再根據(jù)參考數(shù)據(jù)可得正確的選項(xiàng).
【詳解】設(shè)2022年起第年投入的研發(fā)資金為（2022年為第一年），
由，得，
兩邊取常用對(duì)數(shù)得，則，
所以2032年第一次研發(fā)資金超過.
故選：B
5. 如圖，已知中，為的中點(diǎn)，，若，則
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的線性運(yùn)算將用表示，由此即可得到的值，從而可求的值.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，.故.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算以及數(shù)乘運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用，難度一般.向量在幾何中的應(yīng)用可通過基底的表示形式進(jìn)行分析.
6. 已知a，b，c分別是函數(shù)的零點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.
【詳解】令，
得，
在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，
如圖所示：
由圖象知：即
故選：B
7. 設(shè)向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量為，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由已知結(jié)合投影向量的意義可得，再利用垂直關(guān)系的向量表示及數(shù)量積的運(yùn)算律求出的值.
【詳解】由向量在向量上的投影向量為，得，則，
由，
得，
所以.
故選：A
8. 已知函數(shù)，則方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 6B. 7C. 10D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】令，則有，解得，，，，再結(jié)合函數(shù)的圖象，分別求出的解的個(gè)數(shù)，即可得答案．
【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，；
當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又；
作出函數(shù)的圖象，如圖所示：
令，則有，
易得此時(shí)有4個(gè)解，分別為，，，，
結(jié)合圖象可得：
當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)有1個(gè)解；
當(dāng)，即時(shí)，有4個(gè)解；
當(dāng)，即有3個(gè)解；
當(dāng)，即有3個(gè)解；
所以原方程共有個(gè)解．
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于令，將題意轉(zhuǎn)化為方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象求解.
二、多選題（共3題，每題6分，共18分）
9. 已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則零點(diǎn)所在區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理求解即可.
【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以函?shù)是連續(xù)不間斷函數(shù)，
又，，
，，
，
且，，
所以由零點(diǎn)存性定理可知函數(shù)在和上有零點(diǎn).
故選：AD.
10. 對(duì)于向量，，，實(shí)數(shù)t，下列判斷不正確的是（ ）
A. 若，，則
B. 若，且，則
C. 若，且，則的充要條件是
D. 若，且，則對(duì)任意實(shí)數(shù)t，都有
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)平面零向量的概念即可判斷A；根據(jù)向量的運(yùn)算律和垂直的向量表示即可判斷BC；根據(jù)共線向量的概念即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，是零向量時(shí)，對(duì)任意和都成立，故A不正確；
對(duì)于B，，即，與可能垂直，不一定有，故B不正確；
對(duì)于C，的充要條件是，
即，所以，故C正確；
對(duì)于D，消去向量，則有，，
若，則，，
若，則，，所以，故D正確．
故選：AB
11. 是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算、向量的模的計(jì)算、向量數(shù)量積、向量投影等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)分別進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).
【詳解】如圖：
對(duì)于A，．故A不正確；
對(duì)于B，
所以，故B正確；
對(duì)于C，，故C正確；
對(duì)于D，在上的投影向量是．故D正確．
故選：BCD.
三、填空題（共3題，每題5分，共15分）
12. 已知點(diǎn)，，，則向量的坐標(biāo)為______.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)得到方程組解出即可.
【詳解】設(shè)，∵，，
∴，∴，解得，
∴，又，∴.
故答案為：.
13. 把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么分鐘后物體的溫度（單位：）滿足等式，其中為常數(shù)．現(xiàn)有的物體放到的空氣中冷卻2分鐘后，物體的溫度為，再經(jīng)過4分鐘冷卻，該物體的溫度可以冷卻到_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求得正確結(jié)論.
【詳解】依題意，，
故再經(jīng)過4分鐘冷卻，該物體的溫度可以冷卻到：
.
故答案為：
14. 已知，是兩個(gè)單位向量，若在上的投影向量為，則與的夾角為__________．
【答案】
【解析】
【分析】借助投影向量定義可得，借助模長(zhǎng)公式可得，再利用夾角公式計(jì)算即可得解.
【詳解】由，是兩個(gè)單位向量，且，得，
，，
因此，而，
因此，
所以與的夾角為.
故答案為：
四、解答題（共5題，共77分）
15. 已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中.
（1）若，且，求；
（2）若，且與垂直，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量平行的坐標(biāo)表示求得，進(jìn)而得到，再利用向量的模長(zhǎng)公式即可得解；
（2）利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示得到與，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示列式即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)?，，?br>所以，，，
所以.
【小問2詳解】
因?yàn)?，?br>所以，，
又與垂直，所以，
即，則.
16. 在中，，，且與的夾角為．P為線段AB上的一點(diǎn)，設(shè)．
（1）若，用基向量，表示，并求；
（2）若，求實(shí)數(shù)t的值．
【答案】（1），
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算求得，再利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求出.
（2）用基向量，表示，再利用垂直關(guān)系的向量表示列式求出t的值．
【小問1詳解】
在中，，則，因此；
由，，且與的夾角為，得，

所以．
【小問2詳解】
由，得，，
由，得，
因此，
，所以.
17. 為了號(hào)召并鼓勵(lì)學(xué)生利用課余時(shí)間閱讀名著，學(xué)校決定制定一個(gè)課余時(shí)間閱讀名著考核評(píng)分制度，建立一個(gè)每天得分y（單位：分）與當(dāng)天閱讀時(shí)間（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系，要求如下：
（i）函數(shù)的部分圖象如圖所示；
（ii）每天閱讀時(shí)間為0分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為0分；
（iii）每天閱讀時(shí)間為30分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為50分．
現(xiàn)有以下三個(gè)函數(shù)模型供選擇：．
（1）選出你認(rèn)為最符合要求的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）若學(xué)校要求每天的得分不少于75分，則每天至少閱讀多少分鐘？
【答案】（1）選對(duì)數(shù)型模型，；
（2）70分鐘
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像的特點(diǎn)選擇函數(shù)模型，再代點(diǎn)進(jìn)去即可求得結(jié)果.
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
根據(jù)圖象是曲線且單調(diào)遞增，
故選對(duì)數(shù)型模型，；
由題意可知在上，
所以，解得，
所以，
所以函數(shù)解析式為；
【小問2詳解】
令，可得，
即解得，所以每天得分不少于75分，至少需要閱讀70分鐘．
18. 在等腰梯形ABCD中，，，，設(shè)，，取，為基底，若點(diǎn)P是梯形ABCD內(nèi)部（含邊界）上一點(diǎn)，且（，）．
（1）設(shè)，求，的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值；
（3）若，求證的面積為定值，并求出這個(gè)定值．
【答案】（1），；
（2）1； （3）證明見解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量的減法運(yùn)算和平面向量基本定理即可求解；
（2）先用表示，求出，將兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算律，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）當(dāng)時(shí)，得，即，即可求解.
【小問1詳解】
根據(jù)題意有，
，，
，
又，，由，
即，
所以，，則，；
【小問2詳解】
在等腰梯形ABCD中，，，，
過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，則有，則，得，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值1，此時(shí)，
滿足條件的點(diǎn)在梯形ABCD內(nèi)部．
【小問3詳解】
，
當(dāng)時(shí)，，
所以，從而動(dòng)點(diǎn)P在過點(diǎn)D且與BC平行的直線上，設(shè)過點(diǎn)D且與BC平行的直線與交點(diǎn)，
過點(diǎn)作，由，，
所以
所以的面積為定值，所以．
19. 已知函數(shù)，，其中．
（1）若的定義域是一切實(shí)數(shù)，求m的取值范圍；
（2）若的值域是，求m的值；
（3）證明：對(duì)任意，函數(shù)存在零點(diǎn)；
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由題意可得對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)求解即可；
（2）令，由題意可得t可以取中的一切實(shí)數(shù)，且t的最大值是8，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)求解即可；
（3）按的取值分類討論，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理求證即可.
【小問1詳解】
依題意對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，
則m>0Δ=(?m)2?4×4×m

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