一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，，若，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．已知向量，，且，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
4．已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．若的展開式中含的項(xiàng)滿足，則這些項(xiàng)的系數(shù)和為（ ）
A．10B．20C．30D．40
6．波斯詩人奧馬爾?海亞姆于十一世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了一元三次方程的幾何求解方法.在直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)在軸上，以為直徑的圓與拋物線：交于點(diǎn)，.已知是方程的一個(gè)解，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
7．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，若半徑為1的球與該正四棱錐的各面均相切，則正四棱錐的體積為（ ）
A． B．12C．D．36
8.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意，滿足，且，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9．已知函數(shù)，若將的圖象向右平移個(gè)單位后，再把所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（ ）
A. B. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C. 的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D. 的圖像與的圖像在內(nèi)有4個(gè)交點(diǎn)
10．?dāng)?shù)學(xué)中有許多美麗的曲線，圖中美麗的眼睛圖案由兩條曲線構(gòu)成，曲線，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，曲線上的點(diǎn)滿足到和直線的距離之和為定值4，已知兩條曲線具有公共的上下頂點(diǎn)，過作斜率小于0的直線與兩曲線從左到右依次交于且，則（ ）
曲線由兩條拋物線的一部分組成
B. 線段的長(zhǎng)度與點(diǎn)到直線的距離相等
若，則直線的斜率為
D. 若線段的長(zhǎng)度為，則直線的斜率為
11．如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，，P為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
若，則四面體的體積為定值
B．若，則點(diǎn)的軌跡為一段圓弧
C．若的外心為O，則為定值2
D．若且，則存在點(diǎn)E在線段上，
使得的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12. 已知等比數(shù)列 為遞增數(shù)列，. 記 分別為數(shù)列 的前項(xiàng)和，若 ，則 ．
13．已知，且滿足，則______．
14．如果是離散型隨機(jī)變量，則在事件下的期望滿足其中是所有可能取值的集合.已知某獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的成功概率為，進(jìn)行次試驗(yàn)，求第次試驗(yàn)恰好是第二次成功的條件下，第一次成功的試驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 .
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.在矩形ABCD中，點(diǎn)E在線段CD上，且，，
(1)求
(2)若動(dòng)點(diǎn)M，N分別在線段EA，EB上，且與面積之比為，試求MN的最小值.
16.芻甍（chúméng）是中國(guó)古代數(shù)學(xué)書中提到的一種幾何體，《九章算術(shù)》中對(duì)其有記載：“下有袤有廣，而上有袤無廣”，可翻譯為：“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒有寬為一條棱．”，如圖，在芻甍中，四邊形是正方形，平面和平面交于EF．
(1)求證：平面；
(2)若，，，，再從條件①，條件②，條件③中選擇一個(gè)作為已知，使幾何體存在且唯一，并求平面和平面的夾角的余弦值．
條件①：，；
條件②：平面平面；
條件③：平面平面，．
17.已知函數(shù)，
(1)求在處的瞬時(shí)變化率;
(2)若恒成立，求a的值;
18.P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)Q．
(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程C；
(2)如圖，（1）中曲線C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為和，M、N為曲線C上異于、的兩點(diǎn)，直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)，且不與坐標(biāo)軸平行．點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為S，若直線與直線相交于點(diǎn)T，直線與直線相交于點(diǎn)R，證明：在曲線C上存在定點(diǎn)E，使得的面積為定值，并求該定值．
19．為了合理配置旅游資源，管理部門對(duì)首次來揚(yáng)州旅游的游客進(jìn)行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計(jì)，其中的人計(jì)劃只參觀瘦西湖，另外的人計(jì)劃既參觀瘦西湖又游覽大運(yùn)河博物館，每位游客若只參觀瘦西湖，則記1分；若既參觀瘦西湖又游覽大運(yùn)河博物館，則記2分．假設(shè)每位首次來揚(yáng)州旅游的游客計(jì)劃是否游覽大運(yùn)河博物館相互獨(dú)立，視頻率為概率．
(1)從游客中隨機(jī)抽取2人，記這2人的合計(jì)得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)從游客中隨機(jī)抽取n人，記這n人的合計(jì)得分恰為分的概率為，求；
(3)從游客中隨機(jī)抽取若干人，記這些人的合計(jì)得分恰為n分的概率為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
《江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2024-2025學(xué)年度開學(xué)考試卷》參考答案
1．C【詳解】由題意，因?yàn)椋瑒t.
故選：C．
2．D【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，
則設(shè)，
因?yàn)?，所以?br>所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
又，所以該點(diǎn)位于第四象限.
故選：D.
3．A 【解析】解：因?yàn)椋裕?br>故，解得
故，，
又因?yàn)闉橹苯侨切危?br>則面積，
故選：
4．C【詳解】由題意得，函數(shù)，
設(shè)（），
由，得從而：，
又因?yàn)椋?br>所以是上的奇函數(shù)，即，
又有，
因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，是上的增函數(shù)，
所以是上的增函數(shù)；
則可得：，即，
整理得：，解得：或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故選：C.
5．A
6．A【詳解】設(shè)，的中點(diǎn)為，
則以為直徑的圓的方程為，
與拋物線聯(lián)立，可得，
化簡(jiǎn)可得，
由于，可得，的橫坐標(biāo)相等，
則方程和方程有相同的解，
即有，解得，
則．
故選：A．
7．B【詳解】
因?yàn)榍蚺c該正四棱錐的各面均相切，所以該球的球心在的高線上，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn).
因平面，平面，則，
又平面，則平面，
因平面，故，又平面，故平面.
依題意，，因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為，所以，
在中，，則，
因，則，則，
故，則.
故選：B.
8.【答案】D 【解析】解：因?yàn)椋?br>由累加法得：，，，
所以，所以，
故故A，B錯(cuò)誤;
再由累加法得：，，，
所以，故，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選
9．BD 【解析】解：對(duì)于將函數(shù)的圖象向右平移，可得函數(shù)的圖象;
再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍縱坐標(biāo)不變得到函數(shù)的圖象，故A錯(cuò)誤;
對(duì)于令，，得，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確;
對(duì)于令，，得，，故C錯(cuò)誤;
對(duì)于分別畫出與在內(nèi)的圖像，可知有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確;
故選：
10．【答案】ABD
【詳解】
對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，
由定義可知，滿足，
移項(xiàng)，平方可得：，
即，為兩條拋物線，故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，和直線分別為拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，由拋物線定義可知，故B正確
對(duì)于C選項(xiàng)，易知為拋物線和的焦點(diǎn)，
前者，后者分別為兩個(gè)拋物線的較短的焦半徑，因此
，由于，
則，因此，所以，故D正確，
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)與軸夾角為同時(shí)為拋物線和橢圓的焦點(diǎn)，，
，
解得，則，故C錯(cuò)誤.
故選：ABC
11．ABD
【詳解】對(duì)于A，如圖，取靠近的三等分點(diǎn)為，靠近的三等分點(diǎn)為，
連接，
因?yàn)?，所以?br>令，而，
則，得到，
因?yàn)榭拷娜确贮c(diǎn)為，靠近的三等分點(diǎn)為，所以，
而由直四棱柱性質(zhì)得，
而，由勾股定理得，
在直四棱柱中，，，
得到四邊形是平行四邊形，故，
則，由題意得為的中點(diǎn)，則的面積是定值，
而面，面，所以面，
結(jié)合，由線面平行性質(zhì)得到面的距離為定值，
即四面體的體積為定值，故A正確，
對(duì)于B，如圖，在面中，過作，連接，
由直四棱柱性質(zhì)得面，則，
而，面，
故面，則，
而面為菱形，則面為菱形，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，則，
由銳角三角函數(shù)定義得，解得，由勾股定理得，
因?yàn)椋杂晒垂啥ɡ淼茫?br>則在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
設(shè)該圓與交于，與交于，
由三角函數(shù)定義得，則，
即點(diǎn)的軌跡為一段圓弧，故B正確，
對(duì)于C，如圖，作，由題意得的外心為，故是的中點(diǎn)，
由已知得，因?yàn)?，所以?br>而，
，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，若且，此時(shí)，
因?yàn)镻為的中點(diǎn)，所以，
由向量加法法則得，故，
則點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)把沿著翻折，
如圖，使得四點(diǎn)共面，此時(shí)有最小值，
此時(shí)的點(diǎn)均為翻折過的點(diǎn)，因?yàn)镻為的中點(diǎn)，所以，
由勾股定理得，如圖，連接，
由已知得，則，
由余弦定理得，解得，
由直四棱柱性質(zhì)得面，則，
則由勾股定理得，
則，故，
而，則，得到，
由余弦定理得，解得，故D正確.
故選：ABD
12.【詳解】，
則 .
由于 為遞增數(shù)列，則 ，
所以 的通項(xiàng)公式為
所以 ，
14. 【答案】
【詳解】由，則，
因此，
又因?yàn)椋?br>所以，所以，
則．
14.【詳解】設(shè)隨機(jī)變量分別代表第一?第二次成功對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)次數(shù)，
則，以及，
所以，
所以
15.【答案】解：【方法一】設(shè)，則，，而，
在中，由余弦定理得，
化簡(jiǎn)得，
解得或舍去，
所以；
【方法二】作，垂足為F，設(shè)，，，
則，，又，
所以，解得舍去，所以；
設(shè)，，由，由題：，
，又，
，
由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
的最小值為

16．(1)證明見解析；
(2)選條件②，
【分析】（1）利用線面平行的判定定理可得證；
（2）先判斷只有條件②符合，再利用空間向量法求得二面角的余弦值.
【詳解】（1）證明：在正方形中，，平面，平面
所以平面；
（2）由（1）知平面，又平面，平面與平面交于EF．
，又，
所以四邊形為等腰梯形，四邊形為梯形；
條件①：，，則平面，即平面
又平面，，此時(shí)四邊形不為等腰梯形，故條件①不符合
條件③：平面平面，且平面平面
又，平面，平面，
此時(shí)四邊形不為等腰梯形，故條件③不符合；
條件②：平面平面，；
過點(diǎn)作于，過作于，連接，
由平面平面，平面平面，平面
又平面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)槠矫?，平面，平面平面?br>在四邊形中，，，，所以，
在正方形中，，所以
因?yàn)?，且，所?br>所以，，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量
由，令，則
設(shè)平面的一個(gè)法向量
由，令，則
設(shè)平面和平面的夾角為，
則
所以平面和平面的夾角的余弦值為
17.解：，則，
在處的瞬時(shí)變化率為
令，，由條件知恒成立，
因?yàn)椋值膱D像在定義域上是連續(xù)不間斷的，
所以是的一個(gè)極大值點(diǎn)，則，又，
所以，得，
下證當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，即，而，
所以，當(dāng)時(shí)，恒成立.
綜上，若恒成立，則.
18.【答案】（1） （2）答案見解析,
【小問1詳解】
因直線的垂直平分線交直線于點(diǎn)Q，則，由可知，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為兩焦點(diǎn)的橢圓，
且，故，則點(diǎn)的軌跡方程為：.
【小問2詳解】
如圖，設(shè)，直線的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立消元整理得：
，且，
由（1）知,設(shè)，由三點(diǎn)共線得：；由三點(diǎn)共線得：，
則.
故直線的斜率，則直線的方程為：，將其與直線的方程聯(lián)立，解得：，
因此點(diǎn)R在定直線上，使得的面積為定值的點(diǎn)一定為過點(diǎn)且與直線平行的直線與橢圓的交點(diǎn).
由解得：或，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
故的面積為：
19．(1)分布列見解析；(2)(3)
【分析】（1）根據(jù)題意得到變量X的可能取值為2，3，4，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望；
（2）由這n人的合計(jì)得分為分，則其中只有1人計(jì)劃既參觀瘦西湖又游覽大運(yùn)河博物館，得到，結(jié)合乘公比錯(cuò)位相減法求和，即可求解；
（3）記“合計(jì)得分恰為”為事件A，“合計(jì)得分”為事件B，得到，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式構(gòu)造等比數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到答案
【詳解】（1）的人計(jì)劃只參觀瘦西湖，另外的人計(jì)劃既參觀瘦西湖又游覽大運(yùn)河博物館，每位游客若只參觀瘦西湖記1分；
既參觀瘦西湖又游覽大運(yùn)河博物館記2分．每位首次來揚(yáng)州旅游的游客計(jì)劃是否游覽大運(yùn)河博物館相互獨(dú)立，視頻率為概率．
隨機(jī)變量 的可能取值為 2，3，4，
可得 ，
的分布列如下表所示：
數(shù)學(xué)期望為 ；
（2）由這 人的合計(jì)得分為 分，
則其中只有1人計(jì)劃既參觀瘦西湖又游覽大運(yùn)河博物館，
則 ，
由兩式相減， 可得
；
（3）在隨機(jī)抽取的若干人的合計(jì)得分為 分的基礎(chǔ)上再抽取1人，
則這些人的合計(jì)得分可能為 分或 分，
記“合計(jì)得 分”為事件 ，“合計(jì)得 分”為事件 ， 與 是對(duì)立事件，
，
，即
，則數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，
，.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
A
C
A
A
B
D
BD
ABC
ABD
2
3
4

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