（總分150分 考試時(shí)間120分鐘）
一?單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值求解即.
【詳解】.
故選：C
2. 已知，，，若，，三點(diǎn)共線，則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，然后利用共線的坐標(biāo)形式列式得，即可得解.
【詳解】根據(jù)題意，，
則，若三點(diǎn)共線，則，
則有，變形可得.
故選：A
3. 如圖，為等腰直角三角形，為斜邊上的高，點(diǎn)在射線上，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，進(jìn)而根據(jù)，結(jié)合二次函數(shù)最值，向量數(shù)乘運(yùn)算的及其運(yùn)算律求解即可得答案.
【詳解】解：由，設(shè)，
則，
所以當(dāng)時(shí)，取得的最小值為.
故選：B .
4. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由條件根據(jù)二倍角余弦公式可求，再結(jié)合誘導(dǎo)公式求.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>即，
所以．
故選：D．
5. 已知函數(shù)在處取得最大值，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解．
【詳解】，其中，，
又當(dāng)時(shí)， 取得最大值，所以，即，
所以 ，
故選：C．
6. 如圖，在中，為的中點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量共線的性質(zhì)分別設(shè)，，結(jié)合條件依次表示出，，對(duì)應(yīng)解出，即可求解.
【詳解】設(shè)，，
則，
而與不共線，∴，解得，∴.
故選：A.
7. 古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示.若實(shí)數(shù)滿足，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)，再代入運(yùn)算，即可求解.
【詳解】，
，
因?yàn)?，，?br>所以，
所以的值為.
故選：D
8. 在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，設(shè)的面積為，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由面積公式和余弦定理，基本不等式對(duì)進(jìn)行變形，得到關(guān)于的關(guān)系式，結(jié)合三角函數(shù)的有界性，列出關(guān)于t的不等式，求出最大值.
詳解】，，
則設(shè)
所以，即
，
故選：A.
【點(diǎn)睛】三角函數(shù)最值問題，要充分使用題干中的條件及一些工具，比如正余弦定理，面積公式，基本不等式等對(duì)不等式進(jìn)行變形，這道題目的難點(diǎn)在于使用了三角函數(shù)的有界性，輔助角公式來求解最值.
二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分）
9. 在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，下列說法中正確的是（ ）
A. 若為銳角三角形，則
B. 若，則為等腰三角形
C. 若，則
D. 若，，，則符合條件的只有一個(gè)
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合誘導(dǎo)公式可判斷A；當(dāng)互余時(shí)，可判斷B錯(cuò)誤；由正弦定理可判斷C；根據(jù)余弦定理可判斷D.
【詳解】A選項(xiàng)：若為銳角三角形，則，，
所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，故A選項(xiàng)正確.
B選項(xiàng)：在中，由，得或，
當(dāng)，即時(shí)，三角形是直角三角形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)：若，則，由正弦定理得，故C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)：若，，，
由余弦定理得，
所以符合條件的只有個(gè)，故D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
10. 已知函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.若為偶函數(shù)，且最小正周期為，則下列說法正確的是（ ）
A. 的圖象關(guān)于對(duì)稱
B. 在上單調(diào)遞減
C. 的解集為
D. 方程在上有且只有三個(gè)相異實(shí)根
【答案】ACD
【解析】
【分析】將的圖象變換后的函數(shù)的解析式寫出來，依據(jù)為偶函數(shù)，且最小正周期為，可以求出與的函數(shù)解析式，再對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.
【詳解】將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，然后橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），可得，
因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，解得，即?br>因?yàn)榕己瘮?shù)，所以，解得，
又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得，
所以，.
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以在上先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，得，即，解得，
所以的解集為，故C正確；
對(duì)于D，由，得，
即，
所以即
所以，解得，
又因?yàn)?，所以，所以方程在上?個(gè)相異實(shí)根，故D錯(cuò)誤.
故選：ACD.
11. 已知函數(shù)，下列關(guān)于該函數(shù)結(jié)論正確的是（ ）
A. 是偶函數(shù)B. 的一個(gè)周期是
C. 的最小值是D. 在區(qū)間是減函數(shù)
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用偶函數(shù)的定義，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可判斷；計(jì)算出即可判斷；計(jì)算出即可判斷C；根據(jù)在上是減函數(shù)，且，判斷出在區(qū)間上是減函數(shù)，同理可以判斷出在區(qū)間上是減函數(shù)．
【詳解】對(duì)于A，，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，若最小值為，則此時(shí)﹒
∵，∴，也即，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，在上是減函數(shù)，且，
∴在區(qū)間上是減函數(shù)，
在區(qū)間上是增函數(shù)，且，
∴在區(qū)間上是減函數(shù)，故選項(xiàng)D正確，
故選：ABD．
三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，的面積為，則________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，解得，
又，
所以
故答案為：
13. 已知向量，，則向量在向量上的投影向量的模為______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出投影向量，再根據(jù)向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式即可求解.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，，
所以向量在向量上的投影向量為，
故投影向量模長(zhǎng)為
故答案為：
14. 已知函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則__________，__________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】由題意，根據(jù)兩角和的正弦公式可得，令得或，設(shè)，結(jié)合二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.
【詳解】由題意可得.
令，得，
則或，
解得或.
由，得或，所以.
不妨取，
則.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題，由確定、由二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)都是解決本題的關(guān)鍵.
四?解答題（本大題共6小題，共77分）
15. 已知，.
（1）求與的夾角；
（2）求；
（3）若，，求的面積.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把展開，利用向量的夾角公式可得答案；
（2）可先將平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積計(jì)算可得答案；
（3）由與的夾角得到，利用三角形面積公式計(jì)算可得答案.
【小問1詳解】
因?yàn)?，所以?br>又，所以，所以，
所以，
又，所以；
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以；
【小問3詳解】
因?yàn)榕c的夾角，所以，
又，，
所以.
16. 在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c．若，，∠BAC的平分線交BC于D．
（1）求∠BAC；
（2）若，求AD．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用所給等式及正弦定理用b表示a、c，再利用余弦定理求出即可得解；
（2）求出各邊長(zhǎng)度進(jìn)而利用余弦定理求出，再由求出，在中利用正弦定理即可求得AD.
【小問1詳解】
∵，由正弦定理得，即，
代入已知，整理可得，
∴，結(jié)合，
可得．
【小問2詳解】
因?yàn)椋谑怯桑?）得，．
根據(jù)余弦定理得，進(jìn)而可得，
又∴，
在中，由正弦定理得，即，解得．
17. 已知函數(shù)（）的最小正周期為，
（1）求和的值；
（2）若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，再由給定周期求出及函數(shù)值.
（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值，再利用恒成立的不等式求解即得.
【小問1詳解】
依題意，
，
由函數(shù)的最小正周期為，得，因此，，
所以.
【小問2詳解】
由，得，則，，
不等式，
由對(duì)任意，都有，得，
而，則，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
18. 已知函數(shù)，其中．
（1）若函數(shù)的圖象過點(diǎn)、，求函數(shù)的解析式；
（2）如圖，點(diǎn)M、N是函數(shù)的圖象在軸兩側(cè)與軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，函數(shù)圖象上一點(diǎn)滿足，求函數(shù)的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）將點(diǎn)E、F代入函數(shù)解析式，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)求出和A，即可求解；
（2）令可得點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，將點(diǎn)P代入解析式可得，即可求解.
【小問1詳解】
函數(shù)的圖象過點(diǎn)，
，
，
得
，
，
函數(shù)
；
【小問2詳解】
令，得，
點(diǎn)是函數(shù)圖象在軸兩側(cè)與軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，
可得，
，
，
，即.
在函數(shù)圖象上，
，
，函數(shù)的最大值為.
19. 在中，是邊上靠近的三等分點(diǎn)，若.
（1）求面積的最大值；
（2）求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理和基本不等式可求的最大值，再利用三角形的面積公式求最大值即可；
（2）在中，由正弦定理得，由和互補(bǔ)，根據(jù)余弦定理表示方程，進(jìn)而可將表示成關(guān)于角的三角函數(shù)，即可求的最小值.
【小問1詳解】
在中，由余弦定理得，
又，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即為等邊三角形時(shí)等號(hào)成立，所以，
又是邊上靠近的三等分點(diǎn)，所以，
即的面積的最大值為.
【小問2詳解】
在中，，
由正弦定理，得，又，
所以，
因?yàn)?，所以?br>由余弦定理，得，
將代入上式，化簡(jiǎn)得，
所以
，
其中，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，
因此，的最小值為.
20. 對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)，，，若成立，則稱，具有“性質(zhì)”.
（1）試問：
①，0是否具有“性質(zhì)2”？
②，0是否具有“性質(zhì)4”？
（2）若存在及，使得成立，且，1具有“性質(zhì)2”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)，，，為2021個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，點(diǎn)均不在函數(shù)的圖象上，是否存在，（），且，，使得，，具有“性質(zhì)2020”，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）①具有；②不具有；（2）；（3）存在，理由見解析.
【解析】
【分析】（1）①就是證明不等式是否成立；
②令，則，問題轉(zhuǎn)化為，，由一元二次不等式知識(shí)可得；
（2）不等式成立，轉(zhuǎn)化為，
由，1具有“性質(zhì)2”，結(jié)合已知的范圍，縮小的取值范圍，求得的最小值，再求得）的最大值，從而可得的取值范圍；
（3）假設(shè)具有“性質(zhì)2020”，轉(zhuǎn)化為證明：在任意2021個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)中，一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，，滿足，此不等式變形為，而令，由萬能公式可得，這樣將等分成2020段，2021個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)在同一段上，使得成立．進(jìn)而完成證明．
【詳解】（1）①，0具有“性質(zhì)2”，
由基本不等式知后者成立，所以，0具有“性質(zhì)2”；
②令，則，，0具有“性質(zhì)4”，，所以，0不具有“性質(zhì)4”；
（2）依題意，成立，
∵，1具有“性質(zhì)2”，
∴，即，
∴，則，
令，
∴在上單調(diào)遞增，則在處取得最小值，
∴，
又∵，∴；
（3）假設(shè)具有“性質(zhì)2020”，則，
即證明：在任意2021個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)中，一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，，
滿足；
證明如下：由，
令，由萬能公式知，，將其分成2020個(gè)小區(qū)間，
則，，……，，這2021個(gè)數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)落在同一個(gè)區(qū)間，
令其為，，即，
也就是說，在，，…，這2021個(gè)數(shù)中，
一定有兩個(gè)數(shù)滿足，
即一定存兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿足，從而得證.
【點(diǎn)睛】本題考查新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，對(duì)新定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式恒成立，或證明不等式成立．特別是問題（3）中，經(jīng)過利用換元，萬能公式，得出，然后通過分割區(qū)間，利用抽屜原理得結(jié)論．本題難度大，屬于困難題，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算求解能力要求較高．

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