一、單選題（本大題共8小題）
1．已知向量，則（ ）
A．B．C．D．1
2．已知，均為銳角，且，，則（ ）
A．B．C．D．
3．若△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c．若a2 +b2-c2=ab,則C=
A．B．C．D．
4．已知，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，，，，則等于（ ）
A．-14B．-9C．9D．14
5．已知，則（ ）
A．2B．2或C．D．2或3
6．在中，，點(diǎn)E在上，若，則（ ）
A．B．C．D．
7．點(diǎn)在邊長為的正三角形的外接圓上，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
8．記的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則邊上的中線長度的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若在上的投影向量為，則向量與的夾角為
D．的最大值為3
10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．在上的值域?yàn)?br>C．將的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，則的圖象關(guān)于軸對稱
D．若方程在上恰有一個根，則的取值范圍為
11．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．在向量上的投影向量為
C．若，則為的中點(diǎn)
D．若在線段上，且，則的取值范圍為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知，則 ．
13．在中，角所對的邊分別為，且，則 ．
14．在中，為線段上一點(diǎn).，則 ；若在線段上運(yùn)動，則的取值范圍是 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．設(shè)是不共線的兩個非零向量.
(1)若與共線，求實(shí)數(shù)k的值.
(2)已知向量滿足求；
16．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若.
（i）求的值：
（ii）求的值.
17．已知，其圖象一個對稱軸為，
(1)求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求m的取值范圍；
(3)若在上最小值為1，求使不等式成立的x的取值集合．
18．如圖，某公園有一塊扇形人工湖OMN，其中圓心角，半徑為1千米，為了增加觀賞性，公園在人工湖中劃分出一片荷花池，荷花池的形狀為矩形(四個頂點(diǎn)都落在扇形邊界上)；再建造一個觀景臺，形狀為，記
(1)當(dāng)角取何值時，荷花池的面積最大？并求出最大面積.
(2)若在OA的位置架起一座觀景橋，已知建造觀景橋的費(fèi)用為每千米8萬元不計(jì)橋的寬度；且建造觀景臺的費(fèi)用為每平方千米16萬元，求建造總費(fèi)用的范圍.
19．三角形在數(shù)學(xué)中是十分常用的圖形，將向量運(yùn)用在三角形中同時會迸發(fā)出火花!
(1)如圖1，在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且滿足：，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑作圓交于點(diǎn)，交于點(diǎn).若，求的值.
(2)如圖2，在中，點(diǎn)分所成的比為，點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)，若，求的最小值.
參考答案
1．【答案】A
【詳解】因?yàn)橄蛄浚?br>所以.
故選A.
2．【答案】C
【詳解】因?yàn)?，均為銳角，且，，
所以，，
所以.
故選C．
3．【答案】B
【解析】根據(jù)余弦定理得到角C的余弦值，進(jìn)而得到角C.
【詳解】
故角
故答案為B.
4．【答案】D
【詳解】依據(jù)題意作出如下圖象：
因?yàn)椋匀c(diǎn)共線．
.
又
所以
故選D
5．【答案】D
【詳解】因?yàn)?，所以?br>即，所以，
化簡得，解得2或3.
故選D.
6．【答案】C
【詳解】因?yàn)椋裕?br>則
，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得.
故選C.
7．【答案】A
【分析】先證明，然后給出的例子，即可得到的最大值是.
【詳解】設(shè)外接圓圓心為，則，.
①一方面，我們有
，
故一定有.
②另一方面，當(dāng)時，有，故在的外接圓上，此時
.
綜合①②兩個方面，可知的最大值是.
故選：A.
8．【答案】C
【詳解】由，得，
所以，
即，
則由正弦定理得，
因?yàn)?，所以，所以，即?br>又，所以，因?yàn)椋?br>所以由余弦定理得，即.
由題可得，
所以，
因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，則，
所以邊上的中線長度的最小值為.
故選C.
9．【答案】ACD
【詳解】對于A，由，得，因此，故A正確；
對于B，若，則，所以，所以，故B錯誤；
對于C，因，，
由在上的投影向量為，解得，
又，，故C正確；
對于D，因，
故，
當(dāng)，即時，
也即時，取得最大值9，即的最大值為3，故D正確.
故選ACD.
10．【答案】BC
【詳解】，故的最小正周期為，A錯誤；
當(dāng)時，，所以，
從而，B正確；
由題意知
，
所以為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，C正確；
令，當(dāng)時，，則方程在上恰有一個根等價(jià)于，
即在上恰有一個根，
作出，的圖象與直線，如圖所示，
可得當(dāng)或，即或時，方程在上恰有一個根，D錯誤．
故選BC.
11．【答案】BD
【詳解】如圖所示：以為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
則，整理得到，
，
，，設(shè)，
對選項(xiàng)A：，，，錯誤；
對選項(xiàng)B：，，
，即投影向量為，正確；
對選項(xiàng)C：，
，
，整理得到，即，與正八邊形有兩個交點(diǎn)，錯誤；
對選項(xiàng)D：，，，
，，
整理得到，，故，正確.
故選CD.
12．【答案】
【詳解】由題意得，
，
因?yàn)?，所?
13．【答案】
【詳解】在中，由及余弦定理，得，
由正弦定理得.
14．【答案】 /
【詳解】依題意，，
所以，
由于三點(diǎn)共線，所以.
因?yàn)?，且，所?
設(shè).
由向量減法的三角形法則可得.
那么.
.
已知，，，根據(jù)向量數(shù)量積公式（為與的夾角），
可得.
展開得：
，
把，，代入上式：
，
展開并整理：
，
合并同類項(xiàng)得.
令，，這是一個二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)，
圖象開口向上，對稱軸為.
當(dāng)時，取得最小值，.
當(dāng)時，取得最大值，，
所以的取值范圍是.
15．【答案】(1)；
(2) .
【詳解】（1）由 與 共線，則存在實(shí)數(shù) ，
使得 ，
即 ，又 是不共線的兩個非零向量，
因此 ，解得 ，或 ，實(shí)數(shù) k 的值是 ；
（2）因?yàn)? ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
16．【答案】(1)6
(2)（i）；（ii）
【詳解】（1）由正弦定理及，
得
（2）（i）由余弦定理有，
（ii）因?yàn)?，所以?br>從而，
則，
17．【答案】(1)，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
(3)
【詳解】（1）由已知得，
，
因?yàn)閳D象一個對稱軸為，所以，
解得，又因?yàn)?，所以?br>所以，令，
解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，
所以令，即，
則和有交點(diǎn)即可，
因?yàn)椋裕?br>則，即，
解得，則.
（3）因?yàn)椋裕?br>則，解得，
故，而，
即，得到，
則，解得，
所以使成立的x的取值集合為
18．【答案】(1)，最大值為(平方千米)；
(2)萬元
【詳解】（1）由題意可得，其中，
在中，，則
所以
因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)，即時，矩形的面積取最大值，
所以當(dāng)時，荷花池的面積最大，最大面積(平方千米)；
（2）由(1)可知，則
，
設(shè)建造總費(fèi)用為y萬元，
則
令，
因?yàn)?，所以，所以?br>則，
所以
所以建造總費(fèi)用的范圍為萬元．
19．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)，則，，
又，
所以，
又，
所以，
所以，
所以．
（2）因?yàn)?br>，
又點(diǎn)分所成的比為，即，所以，
則，
設(shè)，則，
當(dāng)或時，
當(dāng)時
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．
即的最小值為．

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