一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式可得，再結(jié)合兩角和差公式運算求解.
【詳解】因為，
所以原式
.
故選：C.
2. 已知，是兩個不共線的向量，，，且，則實數(shù)t的值為（ ）
A. B. C. 6D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量定理及平面向量基本定理求解作答.
【詳解】，是兩個不共線的向量，，，而，
則存在實數(shù)，使得，即，
因此，解得，
所以實數(shù)t值為.
故選：A
3. 已知向量，，，則（ ）
A. 6B. 4C. -6D. -4
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的線性運算與數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得答案.
【詳解】因為，，，所以，，
則．
故選：C.
4. 如圖，在中，是的中點，若，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平面向量的線性運算求解即可.
【詳解】因為是的中點，
所以，
所以．
故選：D.
5. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解即可.
【詳解】因為，所以，
所以，所以.
故選：A
6. 已知向量，滿足，，，則（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】將分別進行平方，借助的值聯(lián)系起它們的關(guān)系，從而求解.
【詳解】由題知，，
則，
，
則.
故選：A
7. 如圖，AB為半圓的直徑，點C為的中點，點M為線段AB上的一點（含端點A，B），若，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得出，然后根據(jù)向量的運算得出，從而可求出答案.
【詳解】因為點C為的中點，，所以，
所以
，
因為點M為線段AB上的一點，所以，所以，
所以的取值范圍是,
故選：D.
8. 人臉識別技術(shù)應(yīng)用在各行各業(yè)，改變著人類的生活，而所謂人臉識別，就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別人臉對象的身份.在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測試，常用的測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.假設(shè)二維空間中有兩個點、，為坐標(biāo)原點，余弦相似度為向量、夾角的余弦值，記作，余弦距離為.已知、、，若、的余弦距離為，，則、的余弦距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算、兩角和與差的余弦公式以及“余弦距離”的定義可得出，再由可得出、的值，再結(jié)合“余弦距離”的定義可求得、的余弦距離.
【詳解】由，，，
，
，
由已知，可得，①
又因為，②
聯(lián)立①②可得，，
因此，、的余弦距離為，
故選：A.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分．有選錯的得0分．
9. 已知，，下列選項正確的有（ ）
A.
B.
C
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A選項，由同角三角函數(shù)平方關(guān)系及角的范圍得到；B選項，根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系得到，去掉不合要求的解；C選項，利用湊角法求解；D選項，在C選項的基礎(chǔ)上，得到，利用正弦差角公式計算出答案.
【詳解】A選項，由，得，故A正確；
B選項，由，得，
因為，所以，
又，其中，
若，則，則，與矛盾，
所以，故B錯誤；
C選項，
，故C正確；
D選項，由及，得，
故，故D正確．
故選：ACD
10. 下列說法中正確的有（ ）
A. 兩個非零向量，，若，則與共線且反向
B. 向量，能作為平面內(nèi)的一組基底
C. 已知向量，，則向量在向量上的投影向量是
D. 若非零向量，滿足：，則與的夾角為
【答案】ABD
【解析】
【分析】把平方，由數(shù)量積的運算與性質(zhì)判斷A，確定是否共線判斷B，根據(jù)投影向量的定義求出投影向量判斷C，根據(jù)向量的加減法法則（作出相應(yīng)的圖形）判斷D．
【詳解】A．由得，即，
所以，是非零向量，因此它們共線且反向，A正確；
B．由于，它們共線，不能作為平面的基底，B正確；
C．向量在向量上的投影是，與向量同向的單位向量為，
因此所求投影向量為，C錯誤；
D．如圖，，，作平行四邊形，
則，，
由得是等邊三角形，四邊形是菱形，
所以，D正確；
故選：ABD．
11. 著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點，且，，則下列各式正確的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用三角形的外心、重心、垂心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運算法則以及平面向量的數(shù)量積的定義及運算律逐項分析即可.
【詳解】對A：由是重心可得，
所以，故A項錯誤；
對B：過的外心分別作，
的垂線，垂足為，，如圖(1)，易知，分別是，的中點，則
，故B項正確；
對C：因為是的重心，所以有，
故，
由歐拉線定理可得，故C項正確：
對D：如圖(2)，由于，可得，
所以，故D正確．
故選:BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角為___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用兩個向量夾角公式以及數(shù)量積的定義即可得到結(jié)果.
【詳解】因為是夾角為的兩個單位向量，所以，
所以，則與的夾角為.
故答案為：.
13 計算：=______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和正切函數(shù)的和角公式，化簡即可求得值．
【詳解】根據(jù)誘導(dǎo)公式和正切的和角公式，化簡得

【點睛】本題考查了正切函數(shù)的和角公式及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
14. 在邊長為2的正方形ABCD中，點E為線段CD的三等分點，，則______；F為線段BE上的動點，G為AF中點，則的最小值為______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】以為基底，表示，可得，.再結(jié)合平面向量基本定理，表示出，利用數(shù)量積的概念和二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域求其最小值.
【詳解】如圖：
因為，所以，，所以.
因為在線段上，可設(shè)，.
所以，
.
所以
因為，，
所以，.
所以當(dāng)時，取得最小值，為.
故答案為：；.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知向量，．
（1）若，求實數(shù)k的值；
（2）若與的夾角是鈍角，求實數(shù)k的取值范圍．
【答案】（1）k＝
（2）．
【解析】
【分析】（1）先求出，然后再根據(jù)垂直關(guān)系即可求出；
（2）由與的夾角是鈍角得到且與方向不相反，得到不等式組，求出實數(shù)k的取值范圍.
【小問1詳解】
，
因為，所以，
解得：.
【小問2詳解】
若與的夾角是鈍角，
則且與方向不相反，
即，且
解得：且，
故實數(shù)k的取值范圍是.
16. （1）計算：；
（2）定義運算，若，，，求的值．
【答案】（1）2；（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)結(jié)合兩家和差公式運算求解；
（2）由已知可得出，根據(jù)，利用兩角差的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值.
【詳解】（1）因為，
整理可得，
所以；
（2）由題意可得，
因為，則，
所以，，
因為，則，
可得
，
所以.
17. 如圖，兩座建筑物AB、CD的高度分別是9米和15米，從建筑物AB的頂部看建筑物CD的張角．求這兩座建筑物AB和CD的底部之間的距離BD．
【答案】米
【解析】
【分析】設(shè)米，求得，利用余弦定理列方程來求得.
【詳解】設(shè)米，則，
在三角形中，由余弦定理得：
，
整理得，解得或（此時，舍去），
所以的長為米.
18. 如圖所示，在中，是邊邊上中線，為中點，過點點直線交邊，于，兩點，設(shè)，，（，與點，不重合）
（1）證明：為定值；
（2）求的最小值，并求此時的，的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，從而由三點共線，可得答案；
（2）結(jié)合（1）可得，化簡后利用基本不等式可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
因為是邊邊上中線，，所以.
又是的中點，，
所以.
因為三點共線，所以且
所以，即為定值；
【小問2詳解】
由（1）
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng),即時，等號成立.
所以時，的最小值.
19. 如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“完美坐標(biāo)系”.設(shè)，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實數(shù)對叫做向量的“完美坐標(biāo)”.
（1）若向量的“完美坐標(biāo)”為，求；
（2）已知，分別為向量，的“完美坐標(biāo)”，證明：；
（3）若向量，的“完美坐標(biāo)”分別為，，設(shè)函數(shù)，，求的值域.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先計算的值，再由，利用向量數(shù)量積的運算律計算即可；
（2）利用向量數(shù)量積的運算律計算并化簡即可得證；
（3）利用（2）的公式計算，設(shè)，求出，將轉(zhuǎn)化成，結(jié)合二次函數(shù)的圖象即可求得的值域.
【小問1詳解】
因為的“完美坐標(biāo)”為，則，
又因為，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，且夾角為，
所以,，
所以.
【小問2詳解】
由（1）知，
所以
，
即.
【小問3詳解】
因為向量，的“完美坐標(biāo)”分別為，，
由（2）得.
令，則，
因為，所以，即，
令，
因為的圖象是對稱軸為，開口向上的拋物線的一部分，
所以當(dāng)時，取得最小值，
當(dāng)時，取得最大值，
所以的值域為.
【點睛】思路點睛：本題在求解與之相關(guān)的函數(shù)問題時，應(yīng)按照新定義，準(zhǔn)確寫出函數(shù)解析式，對于較復(fù)雜的三角式，常常運用整體換元思想，將其轉(zhuǎn)化成熟悉的函數(shù)，如二次函數(shù)、雙勾函數(shù)等，利用這些函數(shù)的圖象性質(zhì)特征求解即可.

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