2022-2023學(xué)年江蘇省南京市第二十九中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解出集合B，根據(jù)交集的運(yùn)算，即可得出答案.【詳解】解，可得，所以.所以，.故選：C.2．實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】運(yùn)用代入法將代數(shù)式 轉(zhuǎn)換為只含有x的一元代數(shù)式，運(yùn)用基本不等式求解.【詳解】 ，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)；故選：C.3．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】因?yàn)?/span>，即可推出，然后根據(jù)二倍角的余弦公式，展開代入已知，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，.故選：B.4．1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了歐拉公式： （ 是自然對(duì)數(shù)的底，是虛數(shù)單位），這個(gè)公式被譽(yù)為復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的“天橋”，在復(fù)變函數(shù)中占有非常重要的地位，則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先用歐拉公式求出 得復(fù)數(shù)形式，再根據(jù)其坐標(biāo)求解.【詳解】 ，其在復(fù)平面的坐標(biāo)為 ，又因?yàn)?/span> ，所以， 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限；故選：D.5．已知函數(shù)，則（    ）A．在單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱B．在單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．在單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D．在單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱【答案】B【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性即可得答案.【詳解】，因?yàn)?/span>，所以，所以在單調(diào)遞增，又，所以得圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.故選：B.6．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B、D，再取特值排除C.【詳解】對(duì)于函數(shù)，∵，故為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B、D錯(cuò)誤；又∵，且，故，C錯(cuò)誤；故選：A.7．已知銳角中，角的對(duì)邊分別為，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)余弦定理以及正弦定理結(jié)合已知條件找出角的關(guān)系式，然后利用正切的二倍角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)角的范圍求出取值范圍即可.【詳解】由得：，所以，所以，，，，在中，由，所以，因?yàn)殇J角三角形，所以，所以，所以.所以的取值范圍是：，故選：A.8．已知實(shí)數(shù)，則它們的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由三角函數(shù)線和正弦函數(shù)的圖象，結(jié)合扇形的面積公式和三角形面積公式，以及兩點(diǎn)間的斜率公式，用排除法，即可得出.【詳解】作單位圓及角的三角函數(shù)線，如圖，設(shè)扇形OAP面積為，三角形OAT面積為，弧長(zhǎng)為，扇形圓心角為，單位圓半徑，由三角函數(shù)線可知，，，，因?yàn)樯刃?/span>OAP面積小于三角形OAT面積，所以，所以，故，即，，所以，即，故，排除選項(xiàng)C，D.在在的圖象取點(diǎn)和點(diǎn)，由在的圖象形狀可知， ，則，化簡(jiǎn)得到，所以，所以，，排除A.故選：B. 二、多選題9．已知，下列說法正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】分別設(shè)，，，，根據(jù)復(fù)數(shù)的加法、乘法、模的運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)，求解即可得出答案.【詳解】設(shè)，，，.對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?/span>，故A對(duì)；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?/span>，所以.又，所以，所以，故B錯(cuò)；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?/span>，所以，故C對(duì)；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?/span>，所以，故D對(duì).故選：ACD.10．函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A．的定義域?yàn)?/span> B．是奇函數(shù)C．是周期函數(shù) D．既有最大值又有最小值【答案】ACD【分析】利用奇函數(shù)和周期函數(shù)的定義可判斷BC的正誤，利用正切函數(shù)的定義域可得A的正誤，利用正切函數(shù)的單調(diào)性可判斷D的正誤.【詳解】對(duì)于A，，因?yàn)?/span>，所以對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有意義，所以A正確；對(duì)于B，，不與恒等，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以C正確；對(duì)于D，，在單調(diào)遞增，所以，所以D正確.故選：ACD.11．給出下列四個(gè)關(guān)系式，其中正確的是（    ）A．B．C．D．【答案】BD【分析】根據(jù)兩角和與差的正弦以及余弦公式，展開化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?/span>，，所以，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?/span>，，所以，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?/span>，，所以，所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?/span>，，所以，所以，故D項(xiàng)正確.故選：BD.12．在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，則下列說法正確的是（    ）A．B．若，則C．若，則D．當(dāng)取得最小值時(shí)，【答案】AB【分析】運(yùn)用余弦定理求出BC，運(yùn)用平面向量的運(yùn)算逐項(xiàng)分析.【詳解】由余弦定理得 ，故正確；若.5，則 ， ，故正確；若，由上圖，以A為圓心， 為半徑畫圓，則圓A與BC有2個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤； ，設(shè) ， ，當(dāng)時(shí)取最小值，故D錯(cuò)誤；故選：AB. 三、填空題13．在中，，則滿足此條件的三角形有__________個(gè).【答案】2【分析】利用余弦定理建立方程，結(jié)合韋達(dá)定理和判別式，求方程正根的個(gè)數(shù)即為解的個(gè)數(shù).【詳解】由余弦定理，得，即，其判別式，因?yàn)?/span>，設(shè)的兩根為和，由韋達(dá)定理，得，又因?yàn)?/span>，所以方程有兩個(gè)不等的正根，所以滿足此條件的三角形有2個(gè).故答案為：2.14．將在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解為__________.【答案】【分析】先求解判別式，再利用求根公式得出兩個(gè)根，寫出因式分解式即可.【詳解】令，，所以，即.故答案為: .15．如圖，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組要測(cè)量地面上一棵大樹的高度（大樹垂直于地面），在與樹底同一水平面內(nèi)選取兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)和，在點(diǎn)測(cè)得大樹頂部的仰角是，在點(diǎn)測(cè)得大樹頂部的仰角是，測(cè)得水平面上的，米，則大樹的高度為__________米.【答案】10【分析】設(shè)，在以及中，求出以及.在中，根據(jù)余弦定理，得出方程，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，.設(shè)，在中，有，所以.在中，有，所以.在中，由余弦定理得，即，解得或（舍去負(fù)值）.故答案為：10.16．在中，，若的平面內(nèi)有一點(diǎn)滿足，則的最小值為__________.【答案】【分析】建立直角坐標(biāo)系，運(yùn)用平面向量求出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡，再利用幾何意義求解.【詳解】由題意，由余弦定理得 ， ， ，即以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則 ，由已知 ，即點(diǎn)D是在以AC的中點(diǎn) 為圓心，半徑為1的圓周上， ，即是求 的最小值，其幾何意義為圓周上的一點(diǎn)D到AB的中點(diǎn) 的距離的平方的最小值，顯然當(dāng)D，E，O共線時(shí)DE最小（如上圖），即 ， 的最小值為 ；故答案為： . 四、解答題17．已知平面向量，，，，且與的夾角為．(1)求；(2)若與垂直，求的值．【答案】(1)(2)1 【分析】（1）先用平面向量運(yùn)算法則求出，從而求出模長(zhǎng)；（2）根據(jù)平面向量垂直得到方程，求出的值.【詳解】（1），所以.（2）由題意得：，解得：.18．已知復(fù)數(shù)(1)求復(fù)數(shù)；(2)記復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)的點(diǎn)為，已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，若，且，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)；（2）先根據(jù)角的終邊經(jīng)過點(diǎn)得到，結(jié)合，解方程可得答案.【詳解】（1）.（2）由（1）得，所以，因?yàn)?/span>，所以，解得；因?yàn)?/span>，所以.19．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若.(1)求；(2)若，的面積為.（i）求；（ii）邊上一點(diǎn)，記面積為，面積為，當(dāng)達(dá)到最小值時(shí)，求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)（i）；（ii） 【分析】（1）由正弦定理可得，進(jìn)而得出，即可得出答案；（2）根據(jù)面積公式可推得，然后根據(jù)余弦定理可求得；設(shè)，，推得，.代入，根據(jù)“1”的代換，即可根據(jù)基本不等式得出取最小值時(shí)的值，進(jìn)而得出.根據(jù)余弦定理，在中，求出.然后在中，根據(jù)余弦定理，即可求出的長(zhǎng).【詳解】（1）由正弦定理以及可得，.因?yàn)?/span>，所以.又，所以.（2）（i）由已知可得，，所以.由余弦定理可知，，所以，.（ii）設(shè)，，則.所以，則，所以.同理可得，.所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).所以，.又在中，有，在中，有，所以，.20．已知函數(shù)，有以下四個(gè)命題：甲：該函數(shù)的最大值為；乙：該函數(shù)的周期與的周期相同；丙：該函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)為；?。涸摵瘮?shù)像可以由的圖像左右平移得到：以上四個(gè)命題中有且僅有一個(gè)命題是假命題.(1)請(qǐng)找出這個(gè)假命題，不需要說明理由，并求出的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的最小值.【答案】(1)假命題為丁，(2) 【分析】（1）對(duì)4個(gè)命題逐一推理找出矛盾所在；（2）對(duì) 作恒等變換，運(yùn)用換元法求解.【詳解】（1）假命題為丁，理由如下：由甲得，由乙得，此時(shí)由丙得 ，又因?yàn)?/span>，所以 ，即 ；由丁可得：  ，其中 ，若丁正確，則乙丙錯(cuò)誤，不符合題意；（2） 設(shè) ，則有，所以設(shè)，當(dāng)時(shí)，取最小值，即的最小值為 ；綜上，（1）丁是假命題，（2）的最小值為.21．若函數(shù)滿足：存在非零實(shí)數(shù)，對(duì)任意定義域內(nèi)的，有恒成立，則稱為函數(shù).(1)求證：常數(shù)函數(shù)不是函數(shù)；(2)若關(guān)于的方程且有實(shí)根，求證：函數(shù)為函數(shù)；(3)如果函數(shù)為函數(shù)，那么是否仍為函數(shù)？請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)不為函數(shù)，理由見解析 【分析】（1）根據(jù)題意，求出，即可得出證明；（2）代入化簡(jiǎn)可得，然后根據(jù)題意知有解，即可得出證明；（3）假設(shè)為函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的定義可推出為常數(shù)函數(shù).根據(jù)（1）的結(jié)論，即可得出矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，，故常數(shù)函數(shù)不是函數(shù).（2）因?yàn)?/span>，由題意得存在解，所以，存在，使得，即函數(shù)是函數(shù).（3）由題意，則.若為函數(shù)，則，則應(yīng)有，化簡(jiǎn)得為常數(shù)函數(shù).由（1）知，常數(shù)函數(shù)不是函數(shù)，這與已知矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，所以不為函數(shù).22．在中，均為銳角.(1)若，求證：是直角三角形；(2)若，求證：是直角三角形；(3)若，那么還一定是直角三角形嗎？【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)不一定 【分析】（1）由已知可推得，進(jìn)而由正弦定理邊化角，結(jié)合余弦定理得出證明；（2）由已知可得.分別討論、、，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，放縮即可得出證明；（3）當(dāng)，即時(shí)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可推得，所以，根據(jù)方程有解，即可說明.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，由正弦定理可得，，由余弦定理可得，，所以，所以是直角三角形.（2）由已知可得，①時(shí)，，所以，所以是直角三角形；②時(shí)，有，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，此時(shí)有，與已知矛盾；③時(shí)，有，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，同理可得，，所以，與已知矛盾.綜上所述，，即三角形為直角三角形得證.（3）由（2）有時(shí)，，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知所以，即，因?yàn)?/span>，所以，顯然此不等式有解，即存在非直角三角形滿足題意. 

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