一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知向量 ，，若向量，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標運算求解即可.
【詳解】因為，所以，解得.
故選：C
2. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由、，結(jié)合已知即可求.
【詳解】∵，
∴.
故選：C
3. 已知向量，滿足，，，夾角為，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由投影向量計算公式，可得答案.
【詳解】在上的投影向量.
故選：C.
4. 在中，若，則是（ ）
A. 銳角三角形B. 鈍角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦兩角和差公式即可判斷三角形的形狀.
【詳解】由于，故，從而.
所以是直角三角形，
故選：C.
5. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用兩角和差的正弦公式求出，，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系變形求解即可.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
解得，，
由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得，
，故D正確.
故選：D
6. 一艘船在A處，燈塔S在船正北方向，船以100海里/小時的速度向北偏東30°航行，30 分鐘后船航行到B處，從B處看燈塔S位于船南偏西75°方向上．此時燈塔S與船B之間的距離為（ ）海里
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意作圖，利用正弦和角公式與正弦定理，可得答案.
【詳解】由題意可作圖如下：
在中，，，，
，
由正弦定理可得，則.
故選：A.
7. 如圖，在直角，，，點，是邊上兩個三等分點，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理求解即可.
【詳解】因為，,
在中，.
故選：B
8. 在中，角所對的邊分別為，若，且，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由得，由利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦求得，進而得，再根據(jù)利用兩角差的正弦公式結(jié)合輔助角公式得到并求值域即可.
【詳解】在中，因為，
所以，，所以
因為，
由正弦定理得,
所以，即，
所以,
由，解得
所以，
所以的范圍是.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．
9. 下列化簡結(jié)果是的選項為（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】逆用兩角和與差的正弦公式計算可判斷A；逆用二倍角的正弦公式可判斷B；逆用兩角和與差的正弦公式結(jié)合誘導(dǎo)公式計算可判斷C；與對比可判斷D.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，
.
對于D，，故D不正確.
故選：AB.
10. 下列命題正確的是（ ）
A. 在中，是的充要條件
B. 在中，角所對的邊分別為，若，則
C. 在中，角所對的邊分別為，若三角形有兩解，則的取值范圍為
D. 在中，，則為銳角三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】利用正弦定理，可得判定A正確；結(jié)合正弦定理求得，的有兩種情況可判定B錯誤；由正弦定理可得求得的取值范圍為，可判斷C正確；由正弦定理得，結(jié)合余弦定理得，可判斷D錯誤.
【詳解】對于A中，在中，由得，可得，可得，反之，由得，即，則，所以A正確；
對于B中，在中，，由正弦定理知，即，得或.故B不正確；
對于C，在中，，若三角形有兩解，則即故C正確；
對于D，在中，，由正弦定理得，則，根據(jù)余弦定理知,所以是鈍角，故D不正確.
故選：AC.
11. 在中，點分別滿足與相交于點，則下列說法中正確的是（ ）
A.
B 若，則
C.
D. 若外接圓的半徑為2，且，則的取值范圍為
【答案】AC
【解析】
【分析】對于A，設(shè)，以向量為基底表示向量，根據(jù)共線求出即可判斷A正確；對于B，由得，再利用數(shù)量積求模即可判斷B不正確；對于C，由知分點的位置求出即可判斷C正確；對于D，由題意利用正弦定理求得得或，當時，由此判斷D不正確.
【詳解】對于A，設(shè)，因為則，
，
由共線，得解得，所以，故A正確；
對于B，由得，
所以
所以，故B不正確；
對于C，由知是的中點，所以，，又，所以，所以，，故C正確；
對于D，設(shè)的三邊分別為，依題意得，由外接圓的半徑為2，根據(jù)正弦定理得，所以，由，得或，當時，
，故D不正確.
故選：AC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知向量 ，滿足，，且，則 ，夾角的余弦值為________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根據(jù)得到，再利用夾角公式求解即可.
【詳解】，解得，
所以.
故答案為：
13. ________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用余弦二倍角，輔助角公式和誘導(dǎo)公式化簡求解即可.
【詳解】
.
故答案為：2
14. 如圖所示，已知點是的重心，過點作直線與、兩邊分別交于、兩點，且，，則 ________；的最小值為________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由題可知，設(shè)，化簡得出，根據(jù)平面向量的基本定理可求出的值；由已知得出，可得出，再將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值.
【詳解】因為為的重心，延長交于點，則為的中點，且，

由重心的幾何性質(zhì)可知，
因為、、三點共線，設(shè)，即，
所以，，
因為，，則，，
則，
因為、不共線，所以，，，則，，
故，即，則，
所以，
，
當且僅當時，即當時，等號成立，
故的最小值為.
故答案為：；.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知，，且與的夾角為.
（1）求；
（2）若向量，求實數(shù)的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由向量數(shù)量積定義與運算律，可得答案；
（2）由向量數(shù)量積的運算律，根據(jù)垂直向量的數(shù)量積為零，可得答案.
【小問1詳解】
，
，
所以.
小問2詳解】
由，則，
即，
，即，
或.
16. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用差角的正切公式計算得解.
（2）由（1）的結(jié)論，利用齊次式法計算得解.
（3）由（1）及已知求出，再確定角的范圍即可.
【小問1詳解】
由，得.
【小問2詳解】
由（1）得.
【小問3詳解】
依題意，，
由，，得，，而，則，
所以.
17. 如圖，在 中，已知 ，是邊上一點，，，.
（1）求的值；
（2）求的長；
（3）求的面積.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求解即可.
（2）首先根據(jù)題意得到，從而得到，再利用正弦定理求解即可.
（3）首先利用正弦定理得到，從而得到，再利用面積公式求解即可.
【小問1詳解】
在中，，，，
由余弦定理可得：.
【小問2詳解】
因為，
所以，所以，
在中，，，，
由正弦定理可得.
【小問3詳解】
在中，，，所以，
在中，由正弦定理
可得，，
所以，
.
18. 已知函數(shù)．
（1）求的周期及在上的值域；
（2）已知銳角中,，且的面積為，，求邊上的中線的長．
【答案】（1），
（2）2
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得到，再求周期和值域即可.
（2）首先根據(jù)題意得到，根據(jù)面積公式得到，利用余弦定理得到，再根據(jù)求解即可.
【小問1詳解】
，
因為，所以，所以，
所以在上的值域.
【小問2詳解】
因為為銳角三角形，所以，，
又，所以，即，
因，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
因為為邊上的中線，所以，
所以，
所以.
即邊上的中線的長為
19. 我們知道，三角形中存在諸多特殊位置的點，并且這些特殊點都具備一定的特殊性質(zhì).意大利學(xué)者托里拆利在研究時發(fā)現(xiàn)：在三角形的三邊分別向其外側(cè)作等邊三角形，這三個等邊三角形的外接圓交于一點，該點即稱為托里拆利點（以下簡稱“點”）.通過研究發(fā)現(xiàn)三角形中的“點”滿足到三角形三個頂點的距離和最小.當?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時， 使得的點即為“點”； 當有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點為“點”.試用以上知識解決下面問題: 已知的內(nèi)角所對的邊分別為.
（1）若，則
①求；
②若，設(shè)點為的“點”， 求；
（2）若，設(shè)點為的“點”，，求實數(shù)的最小值.
【答案】（1）①；②；
（2）.
【解析】
【分析】（1）①由正弦定理，邊化角，利用兩角和的正弦公式化簡，即可求解；
②由三角形面積公式及向量數(shù)量積求解；
（2）由三角恒等變換可知，再設(shè)，，，，得到，結(jié)合三個余弦定理表示，和，勾股定理確定等量關(guān)系，再結(jié)合基本不等式，即可求解；
【小問1詳解】
①在 中，由正弦定理得，
，有，
，
，
，，又，
；
②由①知，則 的三個角都小于，
由“點”定義知：，
設(shè)，，，由得
，整理得，
所以
.
【小問2詳解】
由，結(jié)合正弦定理，
有，均為三角形內(nèi)角，（舍）
或，即，，
由點為的“點”，得，
設(shè)， ，，，
由， 得， 由余弦定理得
，
，
，
相加得，得，
整理得，
于是，當且僅當，即時取等號，
又 因為 而 解得，所以實數(shù)的最小值為.

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