考試時間：120分鐘 滿分：150分
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1. 已知點，則與向量方向相反的單位向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得，且，結合與向量方向相反的單位向量，即可求解.
【詳解】由點，可得，且
則與向量方向相反的單位向量.
故選：B.
2. 計算的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】應用誘導公式及和角正弦公式化簡求值.
【詳解】.
故選：C
3. 已知向量，滿足，，，則（ ）
A. B. C. 8D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】所求模平方后，根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律化簡求解即可.
【詳解】因為向量，滿足，，，
所以，
則，
故選：B．
4. 設，是兩個不共線的向量，已知，，，若三點A，B，D共線，則k的值為（ ）
A. －8B. 8C. 6D. －6
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，然后利用存在實數(shù)使，列方程求k的值.
【詳解】由已知得，
三點A，B，D共線
存在實數(shù)使
，
，解得.
故選：A.
5. 已知分別為三個內角的對邊，且，則是（ ）
A. 銳角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 鈍角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡得到，進而得到，得到，即可求解.
【詳解】因為，由正弦定理得，
又因為，可得，
所以，
因為，可得，所以，
又因為，所以，所以為鈍角三角形.
故選：D.
6. 若，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題干中的條件可得，，再由化簡求值即可.
【詳解】，，，
，，
，，
.
故選：B.
7. 在中，，，為線段上一點，且滿足，若，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三點共線求出，利用向量的線性運算用表示，結合數(shù)量積的運算律可得結果.
【詳解】
∵，∴，
∵，∴，
∵三點共線，∴，故，
∴.
∵，
∴，
∵，，，
∴.
故選：B.
8. 已知，且，則有（ ）
A. 最大值B. 最小值
C. 取不到最大值和最小值D. 以上均不正確
【答案】D
【解析】
【分析】注意到，將等式化成，展開整理得到，利用角的范圍，將其簡化為，代入中整理可得，利用基本不等式即可求得最大值.
【詳解】由可得：，展開得：，
即（*），因且，故，由（*）可得：.
由，
因，則，由,
可得：，當且僅當時，
即時，時，等號成立，故時，有最大值為.
故選：D.
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得6分，選對但不全得部分分，有選錯得0分.）
9. 在中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有唯一解的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理，余弦定理，逐一分析選項，即可得答案.
【詳解】對于A：，則，故三角形有2個解，故A錯誤；
對于B：三角形三邊確定，三角形唯一，故B 正確；
對于C：由余弦定理得，
所以，解得或（舍），
所以能唯一確定三角形，故C正確；
對于D：由余弦定理得，
所以，，方程無解，所以無法構成三角形，故D錯誤；
故選：BC.
10. 已知向量，，是與同向的單位向量，則下列結論正確的是（ ）
A. 與共線B. 與的夾角余弦值為
C. 向量在向量上的投影向量為D. 若，則
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線的坐標關系判斷選項A；利用兩個向量的夾角公式驗證選項 B；利用投影向量的公式求解判斷選項C；利用向量垂直關系的坐標表示驗證選項D.
【詳解】對于A，，又，，與不共線，故A錯誤；
對于B，，又，，故B正確；
對于C，向量在向量上的投影向量為，故C錯誤；
對于D，，則，故D正確；
故選：BD.
11. 已知三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則下列選項正確的是（ ）
A. 的取值范圍是
B. 若D是AC邊上的一點，且，則的面積的最大值為
C. 若三角形是銳角三角形，則的取值范圍是
D. 若O是的外心，，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用正弦定理及余弦定理求出角B，利用三角恒等變換公式化簡求出值域判斷A；利用向量線性運算及數(shù)量積的運算律解得，使用基本不等式即可求出面積最大值判斷B；利用正弦定理及三角恒等變換得，求出函數(shù)值域即可判斷C；根據(jù)模長關系可得，再結合基本不等式運算求解.
【詳解】因為，
由正弦定理可得，
整理可得，
由余弦定理可得，即，
且，所以.
對于選項A：因為
，
且，則，可得，
所以，故A錯誤；
對于選項B：因為，
則，
可得，
即，當且僅當，即時，等號成立，
所以，即的面積的最大值為，故B正確；
對于選項C：因為，
又因為，解得，
可得，則，
所以，故C正確；
對于選項D：因，則，
可知點在優(yōu)弧上（端點除外），
因為，則，
又因為，
且，可得，即，
又因為，即，
解得，當且僅當時，等號成立，
可得，故D正確；
故選：BCD.
【點睛】方法點睛：1．平面向量的線性運算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過作出向量，結合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標運算來實現(xiàn)；
2．正確理解并掌握向量的概念及運算注重數(shù)形結合思想、方程思想與轉化思想的應用；
提醒：運算兩平面向量的數(shù)量積時，務必要注意兩向量的方向．
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 若向量，已知與的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)與的夾角為鈍角，由，且與的不共線求解.
【詳解】解：由，得．
又與的夾角為鈍角，
∴，得，
若，則，即．
當時，與共線且反向，不合題意．
綜上，k的取值范圍為，
故答案為：．
13. 在中，角??所對的邊分別為??，，的平分線交于點，且，則的最小值為___________.
【答案】18
【解析】
【分析】先根據(jù)三角形面積公式得出，再利用基本不等式求最值.
【詳解】在中，由的平分線交于點，得，
而且，則，
化簡得，即，因此
，當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為18.
故答案為：18
14. 已知，函數(shù)，，在上單調，則的取值范圍是 ______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角恒等變換然后結合整體法結合三角函數(shù)性質對對區(qū)間上進行單調分析列不等式計算求解；
【詳解】因為，
因為， 當時，，
因為函數(shù)在上單調，
則，
所以 其中，解得，
所以，解得，
又因為，則．
當時，；
當時，；
因此的取值范圍是．
故答案為：．
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15. 已知，，.
（1）若與垂直，求實數(shù)值；
（2）若與方向相同，求實數(shù)的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量垂直的性質，兩垂直向量的數(shù)量積為，由此列出關于的方程求解；
（2）根據(jù)兩向量方向相同可知它們共線，利用向量共線的性質列出關于的方程，再結合方向相同的條件確定的值.
【小問1詳解】
已知，展開可得.
因為，所以，則，解得.
因為與垂直，所以.
展開可得：
將，，代入上式可得：,
化簡得，解得.
【小問2詳解】
因為與方向相同，所以與共線.
則存在實數(shù)，使得，即.
由此可得方程組，將代入可得：
，即，，解得.
因為，所以，則.
16. 已知，函數(shù).
（1）若，求函數(shù)最值及對應的的值；
（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）時，，時，；（2）.
【解析】
【分析】（1）先利用向量數(shù)量積的坐標表示和輔助角公式，化簡.由的取值范圍，求得的取值范圍，并由此得到函數(shù)的最大值和最小值及對應的值.
（2）將原不等式等價變形為恒成立，由（1）知且，解得.
【詳解】(1)因為，，
所以===，
∵x∈，∴，
當，即時，，
當，即時， .
(2)方法一:∵），
，故的取值范圍為.
方法二：∵），
，故的取值范圍是.
17. 在①，②，且，③，三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答．
在中，角所對的邊分別.已知______．
（1）求角的大?。?br>（2）若是的中點，，求面積的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）選擇條件，根據(jù)正弦定理邊角轉化，結合余弦定理、三角恒等變換可得結果.
（2）根據(jù)是的中點可得，等式兩邊同時平方結合基本不等式可得，利用三角形面積公式可得結果;.
【小問1詳解】
選擇條件①：∵，∴，
由余弦定理得，
∵，∴.
選擇條件②：∵，，，
∴，故，
∵，∴，∴，
∴，即，
∵，∴，
∴，即.
選擇條件③：∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴.
【小問2詳解】
∵是的中點，∴，即，
∴，即，
∴，
∵，∴，故，當且僅當時，等號成立，
∴面積，即面積的最大值為.
18. 如圖，在平面四邊形ABCD中，已知，，為等邊三角形，記，.
（1）若，求的面積；
（2）證明：；
（3）若，求面積的取值范圍.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）在中，由余弦定理得，，根據(jù)為等邊三角形，利用三角形面積公式即可求解；
（2）在中，利用正弦定理，結合三角恒等變換即可求解，
（3）利用余弦定理得，正弦定理得，結合（2）的結論以及三角形面積公式可得,利用三角函數(shù)的性質即可求解．
【小問1詳解】
在平面四邊形中，已知，，為等邊三角形，記，
在中，由余弦定理，，
所以，則，所以，
又因為等邊三角形，
所以，且，
所以，
則的面積為；
【小問2詳解】
在中，由正弦定理可得，
即且，
由于，
故，
由于三角形中，，因此，得證，
【小問3詳解】
在平面四邊形中，已知，，為等邊三角形，，設，
在中，由余弦定理，，
，
在中，由正弦定理，，即，所以，
結合
，
又因為，所以，
所以，
即的面積的取值范圍為．
19. 如圖，設是平面內相交成角的兩條射線，分別為同向的單位向量，定義平面坐標系為仿射坐標系.在仿射坐標系中，若，記.
（1）在仿射坐標系中.
①若，求；
②若，且，的夾角為，求；
（2）如圖所示，在仿射坐標系中，B，C分別在x軸，y軸正半軸上，，E，F(xiàn)分別為BD，BC中點，求的最大值.
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①由題意，，將其兩邊平方，再開方即可得到；
②由表示出和，再由已知用表示出，因為與的夾角為，然后由，即可得到；
（2）由題意，設出坐標，表示出，由，求出的表達式，在中依據(jù)余弦定理可得，代入得的表達式化簡，再在中，用正弦定理，求出，代入的表達式，通過三角恒等化簡可得出答案.
【小問1詳解】
①因為，
，
所以；
②由，即，
得，
，
，
因為與的夾角為，
則，得；
【小問2詳解】
依題意設，
，
因為為中點，則，
為中點，所以，
所以
，
因為，
則，
在中依據(jù)余弦定理得，所以，代入上式得，
，
在中，由正弦定理，
設，則，
，其中，是取等號，
則.
【點睛】關鍵點點睛：設出坐標，求出的表達式是解決第三問的關鍵.

相關試卷

2024-2025學年江蘇省南京市五校共同體高一（下）第一次段考數(shù)學試卷（含答案）：

這是一份2024-2025學年江蘇省南京市五校共同體高一（下）第一次段考數(shù)學試卷（含答案），共9頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。

2024-2025學年江蘇省南京市高一下冊第一次月考數(shù)學階段檢測試題（附解析）：

這是一份2024-2025學年江蘇省南京市高一下冊第一次月考數(shù)學階段檢測試題（附解析），共20頁。試卷主要包含了多項選擇題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。

江蘇省海安高級中學2024-2025學年高一下學期第一次階段檢測數(shù)學試卷：

這是一份江蘇省海安高級中學2024-2025學年高一下學期第一次階段檢測數(shù)學試卷，共10頁。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

2024-2025學年江蘇省南京市高一上冊第一次月考數(shù)學質量檢測試題（含解析）

2024-2025學年江蘇省南京市高一上冊第一次月考數(shù)學質量檢測試題（含解析）
2024-2025學年江蘇省南京市高一上學期12月月考數(shù)學階段性檢測試卷（含解析）

2024-2025學年江蘇省南京市高一上學期12月月考數(shù)學階段性檢測試卷（含解析）
2024-2025學年江蘇省南京市六校高一(上)12月聯(lián)合調研數(shù)學試卷(解析版)

2024-2025學年江蘇省南京市六校高一(上)12月聯(lián)合調研數(shù)學試卷(解析版)
2023-2024學年江蘇省南京市中華中學等校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年江蘇省南京市中華中學等校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學試卷（含解析）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部