一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．每題只有一個選項符合題意）
1. 若，且為直線l的一個方向向量，為平面的一個法向量，則m的值為（ ）．
A. B. C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線方向向量與平面法向量垂直數(shù)量積為0可得.
【詳解】由題知，，故，解得.
故選：C
2. 不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)排列數(shù)公式化簡不等式，然后即可求解.
【詳解】由得，
即，解得，
又，，所以不等式的解集為.
故選：B
3. 在四面體中，記，，，若點M、N分別為棱OA、BC的中點，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的線性運算，即可求得答案.
【詳解】由題意得：，
故選：B.
4. 已知橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)離心率的公式，求解，再根據(jù)方程求橢圓的長軸長.
【詳解】由條件可知，，，則，
由條件可知，，得，
所以，橢圓的長軸長.
故選：B
5. 若數(shù)列滿足，，則（ ）
A. B. 11C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】探索數(shù)列的周期性，根據(jù)數(shù)列的周期性求指定項.
【詳解】因為.所以數(shù)列周期為3的數(shù)列.
所以
，所以，
故.
故選：D
6. 已知空間向量，0，，，2，，則向量在向量上投影向量是（ ）
A. ，2，B. ，2，C. ，0，D. ，0，
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量在向量上的投影向量為，計算即可求出答案.
【詳解】解：向量，0，，，2， ，
則，， ，
所以向量在向量上的投影向量為
.
故選：C.
7. 從甲?乙?丙?丁四名同學(xué)中選出三名同學(xué)，分別參加三個不同科目的競賽，其中甲同學(xué)必須參賽，則不同的參賽方案共有（ ）
A. 24種B. 18種C. 21種D. 9種
【答案】B
【解析】
【分析】參賽方案可分兩步完成，第一步從乙，丙，丁三人中選兩人，第二步將甲和所選兩人安排去參加三個不同科目的競賽，故這是一個分步完成的排列組合綜合問題.
【詳解】參賽方案可分兩步完成，
第一步從乙，丙，丁三人中選兩人，有種方法，
第二步將甲和所選兩人安排去參加三個不同科目的競賽，有種方法，
由分步乘法計數(shù)原理可得共有種方法.
故選：B.
8. 如圖，正方體的棱長為1，動點在線段上，動點在平面上，且平面，則線段長度的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】以D為坐標(biāo)原點，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，則，
則，，
因為平面，則，解得，
故，則，
而函數(shù)在取到最小值，在時，取最大值2，
故，
故選：D
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．每題有多項符合題意，全對得6分，部分選對得3分，有錯選得0分．）
9. 下列說法中正確的是（ ）
A. 直線在軸上的截距是
B. 直線的傾斜角是
C. 直線恒過定點
D. 過點且在軸?軸上的截距相等的直線方程為
【答案】AC
【解析】
【分析】對于A，令，求出，即可判斷；對于B，求出直線的斜率，進(jìn)而可得傾斜角，即可判斷；對于C，直線方程可化為，再令即可判斷；對于D，分直線過原點和不過原點兩種情況討論即可判斷.
【詳解】對于A，令，則，
所以直線在軸上的截距是，故A正確；
對于B，直線的斜率為，所以其傾斜角為，故B錯誤；
對于C，直線化為，
令，得，
所以直線恒過定點，故C正確；
對于D，當(dāng)直線過原點時，直線方程，
當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為，
將代入解得，
此時直線方程為，
所以過點且在.軸?軸上的截距相等的直線方程為或，故D錯誤.
故選：AC
10. 已知數(shù)列的前項和為，下列說法正確的是（ ）
A. 若，則是等差數(shù)列
B. 若，則是等比數(shù)列
C. 若，則數(shù)列為遞增數(shù)列
D. 若數(shù)列為等差數(shù)列，，則最小
【答案】BC
【解析】
【分析】借助等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、數(shù)列的遞推關(guān)系逐項計算即可得.
【詳解】對于選項A，，，，
，不滿足是等差數(shù)列，故選項A錯誤；
對于選項B，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
因為時也滿足上式，所以，則，
所以是等比數(shù)列，故選項B正確；
對于選項C，因為，所以，
因為，所以，
因此數(shù)列為以為首項，4為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列，故選項C正確；
對于選項D，設(shè)數(shù)列的公差為，因為，所以，
即，當(dāng)時，沒有最小值，故選項D錯誤.
故選：BC．
11. 將正方形沿對角線翻折，使平面與平面的夾角為90°，如下四個結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 是等邊三角形
C. 直線與平面所成的角為D. 與所成的角為
【答案】ABD
【解析】
分析】取BD中點，連接OA，OC，根據(jù)給定條件探逐一分析各選項即可判斷作答.
【詳解】取BD中點，連接OA，OC，如圖，
依題意，，是以BD為斜邊的等腰直角三角形，則，，
而，平面，則平面，平面，所以，A正確；
是二面角的平面角，即，而，則，
于是得，即是等邊三角形，B正確；
因，，，平面，則平面，
則有是直線與平面所成的角，而，C不正確；
取AC，BC中點E，F(xiàn)，連接OE，OF，EF，則，(或其補角)是與所成的角，
而，即有，D正確.
故選：ABD
三、非選擇題（本題共3小題，共15分）
12. 公園計劃在小路的一側(cè)種植丹桂、金桂、銀桂、四季桂4棵桂花樹，垂乳銀杏、金帶銀杏2棵銀杏樹，要求2棵銀杏樹必須相鄰，則種植方法共有______種．
【答案】240.
【解析】
【分析】把兩棵銀杏樹看出一個元素，求得有2中不同的排法，再把四棵桂花樹和兩棵銀杏樹的整體的5個不用的元素，進(jìn)行全排列，即可求解，得到答案．
【詳解】由題意，把兩棵銀杏樹看出一個元素，共有種不同的排法，
則四棵桂花樹和兩棵銀杏樹的整體，共有5個不用的元素，共有中不同的排列，
所以兩棵銀杏樹必須相鄰，共有種不同的排法，
故答案為240種．
【點睛】本題主要考查了排列的實際應(yīng)用問題，其中解答中認(rèn)真審題，把兩棵銀杏樹看出一個整體，合理排列求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
13. 若雙曲線的離心率為2，則其兩條漸近線所成的銳角的大小為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由離心率公式可得，根據(jù)雙曲線的漸近線方程及斜率公式即可求解.
【詳解】由題意，即，可得，
所以漸近線的斜率為，所以兩條漸近線的傾斜角為和，
所以雙曲線的兩條漸近線所成的銳角為.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)．當(dāng)時，則曲線在點處的切線方程是______；若有兩個零點，則的取值范圍是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①求出，由可求出切線的斜率，根據(jù)點斜式即可求得切線方程；②分離變量可得，令，求導(dǎo)可得的單調(diào)性，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合可求的取值范圍.
【詳解】①當(dāng)時，，，
所以，曲線在點處的切線斜率，
所以切線方程為，化簡得.
②函數(shù)有兩個零點，等價于方程有兩解，
即與有兩個交點，
令，則，
令，得，解得，
因為為減函數(shù)，故有唯一解，
所以當(dāng)時，，當(dāng)，，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
又，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
作出函數(shù)如圖所示：

所以當(dāng)時，有兩個零點.
故答案為：① ；②.
四、解答題（本題共5小題，共77分）
15. 3名女生和5名男生排成一排．
（1）若女生全排在一起，有多少種排法？
（2）若女生都不相鄰，有多少種排法？
（3）其中甲必須排在乙左邊（可不鄰），有多少種排法？
（4）其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，有多少種排法？
【答案】（1）4320；（2）14400；（3）20160；（4）30960.
【解析】
【分析】
（1）相鄰問題用捆綁法法求解；
（2）不相鄰問題用插空法求解；
（3）由于甲在乙左邊與乙在甲左邊的各占，所以全排列再求解；
（4）特殊位置優(yōu)先排列，分情況討論即可,也可以用間接法求解，或者特殊元素法.
【詳解】（1）（捆綁法）由于女生排在一起，可把她們看成一個整體，
這樣同5名男生合在一起有6個元素，排成一排有種排法，
而其中每一種排法中，3名女生之間又有種排法，
因此，共有種不同排法；
（2）（插空法）先排5名男生，有種排法，
這5名男生之間和兩端有6個位置，從中選取3個位置排女生，有種排法，
因此共有種不同排法；
（3）8名學(xué)生的所有排列共種，其中甲在乙左邊與乙在甲左邊的各占，
因此符合要求的排法種數(shù)為；
（4）甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置，
法一（特殊元素法）：甲在最右邊時，其他的可全排，有種不同排法，
甲不在最右邊時，可從余下6個位置中任選一個，有種，
而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個中的任一個上，有種，
其余人全排列，共有種不同排法，
由分類加法計數(shù)原理知，共有種不同排法；
法二（特殊位置法）：先排最左邊，除去甲外，有種排法，
余下7個位置全排，有種排法，
但應(yīng)剔除乙在最右邊時排法種，
因此共有種排法；
法三（間接法）：8名學(xué)生全排列，共種，
其中，不符合條件的有甲在最左邊時，有種排法，
乙在最右邊時，有種排法，
其中都包含了甲在最左邊，同時乙在最右邊的情形，有種排法，
因此共有種排法．
【點睛】(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)；
(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．
16. 等差數(shù)列中，.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）（2）
【解析】
【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d.
因為所以.
解得a1＝1，d＝.所以{an}的通項公式為an＝.
(2)bn＝＝，
所以Sn＝
17. 已知函數(shù)在處取得極值．
（1）求實數(shù)的值；
（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意得，代入求值即可得答案；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，求端點函數(shù)值，從而求出函數(shù)的最小值．
【小問1詳解】
函數(shù)，
又函數(shù)在處取得極值，
所以有；
所以實數(shù)的值為，經(jīng)檢驗符合題意；
【小問2詳解】
由（1）可知：，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以在上的最小值為和中較小的一個，
又，，
故函數(shù)的最小值為.
18. 如圖，在四棱錐中，平面平面，為棱的中點．

（1）證明：平面；
（2）若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在線段上是否存在點Q，使得點Q到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）（i）；（ii）存在，
【解析】
【分析】（1）通過證明四邊形是平行四邊形，可得，即可證明；
（2）（i）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解；（ii）利用點到面距離的向量法求解即可.
【詳解】（1）取的中點N，連接，如圖所示：為棱的中點，

，
，
∴四邊形是平行四邊形，，
又平面平面平面．
（2），
∵平面平面，平面平面平面，
平面，
又平面，而， ∴以點D為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖：則，
為棱的中點，


（i），
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，則，
平面的一個法向量為，
，
根據(jù)圖形得二面角為鈍角，則二面角的余弦值為
（ii）假設(shè)在線段上存在點Q，使得點Q到平面的距離是，
設(shè)，
則，
由（2）知平面的一個法向量為，
，
∴點Q到平面的距離是
，
．
19. 已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為、，為坐標(biāo)原點，點在橢圓上，且有，.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知過點的直線與橢圓交于、兩點，點，設(shè)直線、的斜率分別為、（、均不為），求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、的方程組，求出這兩個量的值，可求得的值，由此可得出橢圓的方程；
（2）分析可知直線不與軸重合，可設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理計算得出，即可得解.
【小問1詳解】
解：在△中，，，
由余弦定理得，
即，
解得，，所以，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
解：若直線與軸重合，則、均為零，不合乎題意.
設(shè)直線方程為，設(shè)點、，
聯(lián)立，消去得，
，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，，
所以，，
又、均不為0，故，
綜上可知的值為.

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