2025.3
一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）.
1. 已知，是夾角為兩個單位向量，則（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義計算可得.
【詳解】因為，是夾角為的兩個單位向量，
所以.
故選：C
2. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正切的二倍角公式展開后，代入tana值即可求出.
【詳解】，
故選B.
【點睛】本題考查正切函數(shù)二倍角公式的運用，屬于基礎(chǔ)題.
3. 要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（ ）
A. 向左平移個單位B. 向右平移個單位C. 向左平移個單位D. 向右平移個單位
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系求解.
【詳解】,
所以要得到函數(shù)的圖象，
只需將的圖象向右平移個單位，
故選:D.
4. 已知，，其中，的夾角為，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用投影向量的定義求解.
【詳解】因為，，其中，的夾角為，
所以在上的投影向量為，
故選：D
5. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和二倍角公式即可求解.
【詳解】.
故選：.
6. 設(shè)扇形的周長為，面積為，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)扇形的周長為，面積為，得到，解得l，r，代入公式求解.
【詳解】因為扇形的周長為，面積為，
所以，
解得 ，
所以，
所以扇形的圓心角的弧度數(shù)是2
故選：B
7. 《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，其中有一種幾何圖形與正六邊形相關(guān).假設(shè)正六邊形代表六種不同的卦象元素，邊長為20，點是正六邊形邊內(nèi)部（包括邊界）上的動點，則的最小值是（ ）
A. B. C. D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)與的夾角為，由向量數(shù)量積的定義可得當(dāng)在方向上的投影最小時即可求解.
【詳解】設(shè)與的夾角為，所以，
因為表示在方向上的投影，
當(dāng)點與點重合時，最小，
此時，，
所以的最小值是.
故選：.
8. 已知角，且，當(dāng)取得最大值時，角（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的兩角和公式將展開化簡，得到關(guān)于的表達(dá)式，再根據(jù)均值不等式求出取得最大值時的值，進(jìn)而求出.
詳解】已知，可得：，，
可得：，得：，
因為，所以，，等式兩邊同時除以和可得：
，上式可化為：，
又因為，代入上式可得： ，
令，則，，代入可得：
，
因為，所以，則.
根據(jù)均值不等式對于有：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立.
所以，即當(dāng)時，取得最大值.
因為，且，所以.
當(dāng)取得最大值時，角.
故選：D.
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）.
9. 下列等式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】利用二倍角公式判斷A、B，利用和差角公式判斷C、D.
【詳解】對于A：，故A錯誤；
對于B：，故B錯誤；
對于C：，故C正確；
對于D：，故D正確.
故選：CD
10. 已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. 直線是圖象的一條對稱軸D. 能使得
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，先求得的解析式，然后逐項判斷.
詳解】由，得，則，
因為函數(shù)的圖象過點，所以，
則，又，則，故A錯誤；
又函數(shù)的圖象過點，則，解得，故B正確；
所以，而，
所以直線是圖象的一條對稱軸，故C正確；
由，得，
因為函數(shù)的最小正周期為，
所以在上的值域，與在上的值域相同，
則，故D正確；
故選：BCD.
11. 如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo).若在坐標(biāo)系中，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 當(dāng)時，
C. D. 當(dāng)時，與的夾角為
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先求出，再根據(jù)所給定義及數(shù)量積的運算律、夾角公式計算可得.
【詳解】依題意，
對于A：因為，所以，
所以
，故A正確；
對于B：當(dāng)時，則，
所以
，
所以與不垂直，故B錯誤；
對于C：，
所以
，
所以當(dāng)時取得最小值，且，故C正確；
對于D：由C可知，
當(dāng)時，，
所以，
設(shè)與的夾角為，則，
又，所以，所以與的夾角為，故D正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 與向量平行的單位向量的坐標(biāo)為________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)單位向量坐標(biāo)為，根據(jù)向量共線公式及求模公式，化簡計算，即可得答案.
【詳解】設(shè)與向量平行的單位向量的坐標(biāo)為，
由題意得，解得或，
故答案為：
13. 已知，是方程的兩根，則__________．
【答案】##
【解析】
【分析】將所求式利用兩角和的正弦與兩角差的余弦公式展開，然后根據(jù)商數(shù)關(guān)系弦化切，最后結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.
【詳解】解：因為，是方程的兩根，
所以，
所以，
故答案為：.
14. 已知角，滿足，，且，.則________；________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由題意，利用兩角差的正弦公式求，先求得，再根據(jù)的范圍求解.
【詳解】因為角，滿足，，且，.
所以，，
所以，
，
因為，所以，
則，
所以，
，
因為，且，
所以，則，
所以.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知為第一象限的角，終邊經(jīng)過點，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義求解；
（2）由（1）得到，代入求解
【小問1詳解】
因為為第一象限的角，終邊經(jīng)過點，且，
所以，解得，
【小問2詳解】
由（1）知：，
所以，
.
16. 已知向量，，.
（1）當(dāng)，求x，y；
（2），且，求向量與的夾角.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量相等構(gòu)造方程求得；
（2）先利用平面向量共線的坐標(biāo)表示求解向量，再利用向量的夾角公式計算即得.
【小問1詳解】
依題意，
即，解得
所以.
【小問2詳解】
由向量，，所以
由，得，解得，
所以，
所以，
所以，又，所以.
17. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（2）若，且，求的值.
（3）在中，若，求的取值范圍.
【答案】（1）最小正周期為；單調(diào)增區(qū)間
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、正弦的二倍角公式以及輔助角公式化簡，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（2）由已知可得，根據(jù)的范圍和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，由兩角差的正弦函數(shù)求解即可；
（3）由可得，根據(jù)三角恒等變換結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【小問1詳解】
，
最小正周期為，
令，，
所以，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
【小問2詳解】
，
因為，所以，
所以
所以
；
【小問3詳解】
因為，所以，
因為，所以，
，
因為，所以，所以，
所以的取值范圍為.
18. 某養(yǎng)殖公司有一處正方形養(yǎng)殖池，邊長為100米.
（1）如圖1，P，Q分別在，上，且，求證：.
（2）如圖2，為了便于冬天給養(yǎng)殖池內(nèi)的水加溫，考慮到整體規(guī)劃，要求是邊的中點，點在邊上，點在邊上，且，該公司計劃在養(yǎng)殖池內(nèi)鋪設(shè)兩條加溫帶和，并安裝智能照明裝置，經(jīng)核算，在兩條加溫帶增加智能照明裝置的費用均為每米400元.
問：①設(shè)，求的取值范圍；
②如何設(shè)計才能使安裝智能照明裝置的費用最低?說明理由，并求出最低費用.（參考數(shù)值：，）
【答案】（1）證明見解析
（2）①；②當(dāng)米時，安裝智能照明裝置的費用最低，最低費用為元，理由見解析
【解析】
【分析】（1）延長到，使，連接，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系即可證明；
（2）①由已知當(dāng)點與點重合時，最小，當(dāng)點與點重合時，最大，即可求解；②先表示出，然后通過三角換元，令，由此可得關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求解出的最小值，則結(jié)果可知.
【小問1詳解】
延長到，使，連接，
因為為正方形，所以，，
所以與全等，所以，，
因為，所以，即，
所以與全等，所以，
所以，
所以，又，
所以；
【小問2詳解】
①因為，所以，
當(dāng)點與點重合時，最小，，所以，
，
當(dāng)點與點重合時，最大，，所以，
所以的取值范圍為；
②設(shè)，由①知，
，，
，
設(shè)，
因為，所以，
又，
所以，
因為在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，最小，此時，即，
所以的最小值為，
因為在兩條加溫帶增加智能照明裝置的費用均為每米400元，
所以當(dāng)米時，安裝智能照明裝置的費用最低，最低費用為元.
19. 定義函數(shù)的“積向量”為，向量的“積函數(shù)”為.
（1）若，，求最大值及對應(yīng)的取值集合；
（2）若向量的“積函數(shù)”滿足，求的值；
（3）已知，，設(shè)，且的“積函數(shù)”為，其最大值為，求的最小值，并判斷此時，的關(guān)系.
【答案】（1）最大值為，的取值集合為
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）由已知可得，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（2）令，有已知根據(jù)三角恒等變換求解即可；
（3）由已知可得，根據(jù)三角函數(shù)的有界性可得最大值和與的關(guān)系，將代入根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【小問1詳解】
若，，則，
當(dāng)時，即，，函數(shù)有最大值，
函數(shù)的最大值為，對應(yīng)的取值集合為；
【小問2詳解】
，
令，所以，
所以，，
即，，所以；
【小問3詳解】
因為，，
所以
，
所以
，
此時存在滿足，，，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，
即，，
所以成立，
且，
則，
，
當(dāng)時有最小值，
所以的最小值為.

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