一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 下列說法中正確的是（ ）
A. 單位向量都相等
B. 平行向量不一定是共線向量
C. 對于任意向量，必有
D. 若滿足且與同向，則
【答案】C
【解析】
【分析】對于A：根據(jù)單位向量的概念即可判斷；對于B：根據(jù)共線向量的定義即可判斷；對于C：分類討論向量的方向，根據(jù)三角形法則即可判斷；對于D：根據(jù)向量不能比較大小即可判斷.
【詳解】依題意，
對于A，單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯誤；
對于B，平行向量就是共線向量，故錯誤；
對于C，若同向共線，，
若反向共線，，
若不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及
兩邊之和大于第三邊知.
綜上可知對于任意向量，必有，故正確；
對于D，兩個向量不能比較大小，故錯誤.
故選：C.
2. 集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】對按奇偶分類討論可得．
【詳解】當k＝2n(n∈Z)時，2nπ≤≤2nπ＋(n∈Z)，此時的終邊和0≤≤的終邊一樣，當k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π≤≤2nπ＋π＋ (n∈Z)，此時的終邊和π≤≤π＋的終邊一樣．
故選：B．
3. 如圖所示，在正方形中，為的中點，為的中點，則（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圖形結合向量的線性運算求解.
【詳解】因為為的中點，為的中點，
所以.
故選：D.
4. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
依題意原式為，再利用誘導公式化簡計算可得；
【詳解】解：因為，所以
故選：B
5. 已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，對于，都有且時，則的值為（ ）
A. 0B. 1C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由,得到，即函數(shù)的周期是4 ,利用函數(shù)的周期性和奇偶性即可進行求值.
【詳解】，
，即函數(shù)的周期是4，
，
是上的奇函數(shù)，，
當時，，
，
所以，
故選：D.
6. 有以下變換方式：
①先向右平移個單位長度，再將每個點的橫坐標縮短為原來的倍；
②先向左平移個單位長度，再將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍；
③先將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，再向左平移個單位長度；
④先將每個點橫坐標縮短為原來的倍，再向右平移個單位長度.
其中能將函數(shù)的圖像變?yōu)楹瘮?shù)的圖像的是（ ）
A. ①和④B. ①和③C. ②和④D. ②和③
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用函數(shù)的圖像的平移變換和伸縮變換的規(guī)律求出結果.
【詳解】解：①函數(shù)的圖像先向右平移個單位長度，得到，再將每個點的橫坐標縮短為原來的倍，可得的圖像，故①正確；、
②函數(shù)的圖像先向左平移個單位長度，得到，再將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，可得，故②不正確；
③函數(shù)的圖像先將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到，再向左平移個單位長度，可得，故③不正確；
④函數(shù)的圖像先將每個點的橫坐標縮短為原來的倍，得到，再向右平移個單位長度，得到，故④正確，
故選：A
【點睛】此題考查了函數(shù)的圖像變換規(guī)律，屬于中檔題.
7. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位，到得函數(shù)的圖象，則的最小值為（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平移理論結合已知條件得，再利用誘導公式得，進而得到，從而求出，再結合已知條件即可求出的最小值.
【詳解】由題意得，
又
所以，
所以，，
又因為，所以的最小值為.
故選：A.
8. 如圖所示，平面內有三個向量，，，與的夾角為，與的夾角為，且，，若（），則（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出的相反向量，再以射線，為鄰邊，以為對角線作，根據(jù)向量加法求解即可.
【詳解】作出的相反向量，再以射線，為鄰邊，以為對角線作，
由題意知，
，，
所以，
所以，
即．
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.
9. 有下列命題中，正確的是（ ）
A. 在與角終邊相同的角中，最小的正角為 ；
B. ，則 ；
C. 函數(shù)的對稱中心為；
D. 若一扇形弧長為 ，圓心角為 ，則該扇形的面積為 ．
【答案】ABD
【解析】
【分析】由終邊相同的角的定義可得A正確；由正余弦函數(shù)的單調性和角度與弧度的轉化可得B正確；由正切函數(shù)的對稱中心可得C錯誤；由扇形的弧長與面積公式可得D正確.
【詳解】對于A，由，取可得，故A正確；
對于B，因為，所以，
即，故B正確；
對于C，由正切函數(shù)的對稱中心可得函數(shù)的對稱中心為，故C錯誤；
對于D，扇形的半徑為，由扇形的面積公式可得，故D正確；
故選：ABD
10. 筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用（圖1），明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖2）．若一半徑為2米的筒車水輪圓心O距離水面1米（圖3），已知水輪按逆時針轉動，每分鐘轉動4圈，當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖3中點）開始計時，點P距水面的高度可以用函數(shù)（）表示．下列結論正確的有（ ）
A. 點P所滿足的函數(shù)表達式為
B. 點P第一次到達最高點需用時5秒
C. P再次接觸水面需用時10秒
D. 當點P運動2.5秒時，距水面的高度為1.5米
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)模型的定義與性質，求出A、B和T、ω、φ，寫出函數(shù)解析式，再判斷選項中的命題是否正確．
【詳解】函數(shù)中，所以，
時，，解得，因為，所以，
所以，A錯誤；
令得，則，解得，
所以x的最小值為5，即點P第一次到達最高點需用時5秒，B正確；
由題意知，點P再次接觸水面需用時（秒），C正確；
當時，，點P距水面的高度為2米，D錯誤．
故選：BC
11. 若函數(shù)圖象的一個最高點為，且相鄰兩條對稱軸間的距離為，將的圖象向左平移個單位長度得到，則（ ）
A.
B.
C. 為偶函數(shù)
D. 的解集為
【答案】AD
【解析】
【分析】由題意求出、及可判斷A B；點在圖象上結合的范圍求出，再利用奇偶性的定義可判斷C；根據(jù)圖象平移規(guī)律得到的解析式，再解不等式可判斷D.
【詳解】由題意知，，則，故A正確，B不正確；
對于C，由，得，
即，由得，
所以，因為，定義域關于原點對稱，
，
所以不是偶函數(shù)，故C不正確；
對于D，將的圖象向左平移個單位得到
，
由，得，
可得，
解得，
所以的解集為，故D正確.
故選：AD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 函數(shù)的定義域為________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根據(jù)題意得到，再解不等式組即可.
【詳解】由題知：，所以.
解得：，.
所以函數(shù)的定義域為
故答案為：
【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義域，同時考查了對數(shù)函數(shù)的定義域，屬于簡單題.
13. 在平行四邊形中，已知，，，且，，，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)得到是矩形，，計算得到答案.
【詳解】，，，故，則平行四邊形是矩形，
，，，
，則.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調遞增，且在區(qū)間上有且只有一個零點，則的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦函數(shù)性質求出單調遞增關系，進而確定單調遞增區(qū)間，建立不等式得到，利用正弦函數(shù)性質求出零點，得到，與，最后再求出參數(shù)范圍即可.
【詳解】令，
則，
解得，
令，則，而在區(qū)間上單調遞增，
得到，解得，
令，得到，解得，
令，，令，，令,得到，
因為在區(qū)間上有且只有一個零點，所以π6ω≤π7π6ω>π，
解得，綜上，的取值范圍是.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分. 請在答題卡指定區(qū)域內作答. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，且角的終邊上一點的坐標是.
（1）求及的值；
（2）求的值.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函數(shù)的定義求解即可；
（2）由誘導公式化簡并結合（1）即可求解；
【小問1詳解】
因為角的終邊上一點的坐標是，
由三角函數(shù)的定義可得，
，
.
【小問2詳解】
原式
.
16. 設是不共線兩個非零向量．
（1）若，求證：三點共線；
（2）若與共線，求實數(shù)k的值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）要證明三點共線，即證明三點組成的兩個向量共線即可.
（2）由共線性質求出參數(shù)即可.
【小問1詳解】
由，
得,
,
所以，且有公共點B，
所以三點共線.
【小問2詳解】
由與共線，
則存在實數(shù)，使得，
即，又是不共線的兩個非零向量，
因此，解得，或，
實數(shù)k的值是
17. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
（1）求函數(shù)的解析式及其單調遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位，再將所得圖象上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象.若方程在上有三個不相等的實數(shù)根，求的值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圖象可求周期與振幅，再根據(jù)最高點可求初相位，從而可得函數(shù)解析式；
（2）利用圖象變換可求，根據(jù)在上的單調性可求的值，從而可求的值.
【小問1詳解】
由圖可得
又，所以，所以，
所以，
又因為過點，
所以，
又，所以，
所以.
令，
所以遞增區(qū)間.
【小問2詳解】
將函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位，
則所得圖象對應的解析式為，
再將所得圖象上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）得的圖象，
則，
當時，，
而在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
在上為減函數(shù)，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，為減函數(shù)，
，，故當時， 函數(shù)的函數(shù)圖像如下，
因為在上有三個不相等的實數(shù)根，故.
且，，
所以，故.
18. 如圖1所示，在中，點在線段BC上，滿足是線段AB上的點，且滿足，線段CG與線段AD交于點．
（1）若，求實數(shù)x，y的值；
（2）若，求實數(shù)的值；
（3）如圖2，過點的直線與邊AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，設，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算以為基底表示，進而求解；
（2）根據(jù)向量的線性運算以為基底表示,又因為兩向量共線所以具有倍數(shù)關系，求出的值；
（3）根據(jù)向量的線性運算以為基底表示，又因為三點共線，所以系數(shù)之和為1，得出，然后應用基本不等式中1的代換求出的最小值.
【小問1詳解】
因為所以，
所以,
所以.
小問2詳解】
由題意可知：，
，
又因為三點共線，所以存在實數(shù)使得,
，
所以，解得：，
所以.
【小問3詳解】
易知，
由（2）知，
又因為三點共線,所以，又，
所以：，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為.
19. 已知，相鄰兩個最值點間的距離為.
（1）求函數(shù)的解析式及其對稱中心；
（2）求不等式在上的解集；
（3）若關于的方程在上有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），對稱中心見解析
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出參數(shù)，得到解析式后利用整體代入法求解對稱中心求解即可.
（2）利用余弦函數(shù)的性質求解不等式即可.
（3）先對目標式合理換元，再結合二次函數(shù)的性質建立不等式，求解參數(shù)范圍即可
【小問1詳解】
因為，所以，
因為相鄰兩個最值點間的距離為，
所以由勾股定理得，
解得，則，
令，解得，
故的對稱中心為.
【小問2詳解】
由，因此，
得，得，
因為，所以或，故或，
故不等式在上的解集為或.
【小問3詳解】
由，得，故，
因此函數(shù)的值域為，函數(shù)設，
要使關于的方程在上有三個不相等的實數(shù)根，
當且僅當關于的方程在和上分別有一個實數(shù)根，
或有一個實數(shù)根為1，另一實數(shù)根在區(qū)間上；
令，
①當關于的方程在和上分別有一個實數(shù)根時，
解得：；
②當方程的一個根是時，，
另一個根，不滿足條件；
③當方程的一個根是1時，，
另一個根為，不滿足條件.
綜上，滿足條件的實數(shù)的取值范圍是.

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